人口模型及生态模型

1、实验八人口模型及生态模型一、实验目的本实验主要涉及微积分，介绍利用微积分建立简单数学模型的基本思想和方法，掌握Maple 在微分方程中的应用。二、实际问题马尔萨斯人口模型马尔萨斯（ 17661834，是英国经济学家和社会学家）在研究百余年的人口统计时发现：单位时间内人口的增加量与当时人口总数是成正比的。马尔萨斯于 1798 年提出了著名的人口指数增长模型。模型的基本假设：人口的增长率是常数，或者说，单位时间内人口的增长量与当时的人口数成正比。以 N (t ) 表示第 t 年时的人口数，N (tt) 就表示第 tt 年时的人口数。N ( t ) 是整数，为了利用微积分这一数学工具，将( t )

2、视为连续、可微函数。这样有N (tt )N ( t )tkN (t )其中 k 为人口的增长率，当t0 时，由上式得dN ( t )（）dtkN (t )设初始条件为 t0时， N(0)N 0 ，马尔萨斯人口按几何级数增加 ( 或按指数增长 ) 的结论就是来源于方程（） 。方程（）称为 马尔萨斯人口发展方程 。逻辑斯蒂克人口模型这里将考虑自然资源和环境对人口的影响。以 N m 记自然资源和环境条件所能允许的最大人口数。把人口增长的速率除以当时的人口数称为人口的净增长率。按此定义，在马尔萨斯人口模型中净增长率等于常数1dN (t )N ( t)dtk在马尔萨斯后，荷兰数学家威赫尔斯特（Verhu

3、lst ）提出一个新的假设：人口的净增长率随着N (t ) 的增加而减小，且当N (t )N m 时，净增长率趋于零。因此人口方程可写成dN (t )r (1N ( t) )N ( t )（）dtN m其中 r 为常数。模型（）称为 逻辑斯蒂克人口模型 。马尔萨斯模型对于1800 年以前的欧洲人口拟合得较好。 而此处的逻辑斯蒂克模型对于 17901930 年间的美国人口拟合较好，但对于 1930 年以后的人口估计不准。 但是逻辑斯蒂克模型在生物总数分析中还是有其广泛的应用的。只要某种特定自然环境中该物种是独立生存的，或与其它物种相比它占有绝对优势。捕食者食饵模型自然界中不同种群之间存在着这样一

4、种非常有趣的相互依存、相互制约的生存方式，种群甲靠丰富的自然资源生长，而种群乙靠捕食甲为生，兔子和山猫、落叶松和蚜虫都是这种生存方式的典型。生态学上称种群甲为食饵 （Prey ），称种群乙为捕食者Predator ）, 二者共处组成捕食者食饵生态系统。 下面是由意大利数学家 Volterra 提出的一个简单的生态学模型：食饵甲和捕食者乙在时刻 t 的数量分别记作 x ( t) 、 y(t ) ，当甲独立生存时它的（相对）增长率为r ，即 x (t )rx ，而乙的存在使甲的增长率减小，设减小的程度与种群数量成正比， 于是 x( t ) 满足方程x(t )x( ray)rxaxy（）比例系数a

5、是反映捕食者掠取食饵的能力。捕食者离开食饵无法生存，设乙独自存在时死亡率为d ，即y( t )dy ，甲为乙提供食物相当于使乙的死亡率降低，并促使其增长。设这个作用与甲的数量成正比，于是y( t ) 满足方程y(t)y(dbx )dybxy（）比例系数 b 是反映食饵对捕食者的供养能力。设食饵和捕食者的初始数量分别为x (0)x 0 , y( 0)y0（）微分方程（）、（）及初始条件（）确定了食饵和捕食者数量x (t ), y( t)的演变过程，但是该方程组无解析解。三、练习与思考1.取 N 03.910 6 ， k0.31，求方程（）的解析解，并描绘解的图形。2. 方程（）是个分离变量方程，

6、 取 N 03.9 10 6 ，r0.31 ，N m19710 6 ，求方程（）的解析解，并描绘解的图形。求lim N ( t ) 。t1650 年世界人口为 5 亿，当时的年增长率为 3，用指数增长模型计算什么时候世界人口达到10 亿（实际上 1850 年前已超过 10 亿）。 1970 年世界人口为 36 亿，年增长率为21，用指数增长模型预测什么时候世界人口会翻一番（这个结果可信吗）。你对用同样的模型得到的两个结果有什么看法4.假定人口的增长服从这样的规律：时刻t 的人口为N (t ) ， t 到 tt 时间内人口的增长与N mN (t ) 成正比，其中N m 为环境的最大容量。试建立模型并求解，作出解的图形。对于由微分方程 （）、（）及初始条件（）确定的方程组，试用数值解讨论以下问题：1）设 r1, d0.5, a0.1, b0.02, x 025, y02 ，求方程（）、（）在条件（）下的数值解，画出函数x( t), y( t) 的图形以及相图( x , y) ，观察解 x (t ), y( t ) 的周期变化，近似地确定解的周期和x, y的最大、最小值，近似计算x, y 在一个周期内的平均值。2）从方程（）、（）消去 dt ，得到dxx (ray)（）dyy(dbx )解方程（），得到解即相