函数单调性定义

1、关于函数的单调性定义第1页，共21页，2022年，5月20日，11点3分，星期四问题提出 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：时间间隔 t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8-9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图.123tyo20406080100第2页，共21页，2022年，5月20日，11点3分，星期四函数的单调性思考1:当时间间隔t逐渐增 大你能看

2、出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识?思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？tyo20406080100123第3页，共21页，2022年，5月20日，11点3分，星期四画出下列函数的图象，观察其变化规律： 1、从左至右图象上升还是下降 _?2、在区间 _上，随着x的增大，f(x)的值随着 _ f(x) = x(-,+)增大上升第4页，共21页，2022年，5月20日，11点3分，星期四1、在区间 _ 上，f(x)的值随着x的增大而 _2、 在区间 _ 上，f(x)的值随着x的增大而 _ f(x) = x2(

3、-,0(0,+)增大减小画出下列函数的图象，观察其变化规律： 图象在y轴左侧”下降“图象在y轴右侧”上升“第5页，共21页，2022年，5月20日，11点3分，星期四x-4-3-2-101234f(x)=x216941014916第6页，共21页，2022年，5月20日，11点3分，星期四思考：如图为函数f(X)在定义域I内某个区间D上的图象，对于该区间上任意两个自变量x1和x2，当x1x2 时，f(x1) 与f(x2)的大小关系如何？思考:我们把具有上述特点的函数称为增函数，那么怎样定义“函数f(x)在区间D上是增函数”？yxox1x2f(x1)f(x2)y=f(x)对于函数定义域I内某个区

4、间D上的任意两个自变量的值x1,x2，若当x1 x2时，都有f(x1) f(x2)则称函数f(x)在区间D上是增函数. 第7页，共21页，2022年，5月20日，11点3分，星期四考察下列两个函数:xyoxoy二者有何共同特征？f(x) = -xf(x) = x2(x0)第8页，共21页，2022年，5月20日，11点3分，星期四思考：如图为函数f(X)在定义域I内某个区间D上的图象，对于该区间上任意两个自变量x1和x2，当x1x2 时，f(x1) 与f(x2)的大小关系如何？思考:我们把具有上述特点的函数称为减函数，那么怎样定义“函数f(x)在区间D上是减函数”？对于函数定义域I内某个区间D

5、上的任意两个自变量的值x1,x2，若当x1 f(x2)则称函数f(x)在区间D上是减函数. xyox1x2f(x1)f(x2)y=f(x)第9页，共21页，2022年，5月20日，11点3分，星期四一、函数单调性定义 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数 1增函数第10页，共21页，2022年，5月20日，11点3分，星期四一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在

6、区间D上是减函数 2减函数 第11页，共21页，2022年，5月20日，11点3分，星期四 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. 二函数的单调性定义第12页，共21页，2022年，5月20日，11点3分，星期四（1）对于某函数，若在区间(0，+)上，当x1时， y1；当 x2时，y3 ，能否说在该区间上 y 随 x 的增大而增大呢?问题：xy21013思考第13页，共21页，2022年，5月20日，11点3分，星期四（2）若x1，2，3，4，时，相应地 y1，3，4，6，能否说在区间(0，

7、+)上，y 随x 的增大而增大呢？xy10342第14页，共21页，2022年，5月20日，11点3分，星期四（3）若有n个正数x1 x2x3 xn，它们的函数值满足: y1 y2y3 yn能否就说在区间(0，+) 上y随着x的增大，而增大呢？ 若x取无数个呢? xyx10 x2x3xny1y2y3yn第15页，共21页，2022年，5月20日，11点3分，星期四思考 :一般地，若函数 在区间A、B上是单调函数，那么 在区间 上是单调函数吗？注意： 1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1

8、)f(x2) 分别是增函数和减函数.第16页，共21页，2022年，5月20日，11点3分，星期四yoxoyxyoxyoxyox在 增函数在 减函数在 增函数在 减函数在(-,+)是减函数在(-,0)和(0,+)是减函数在(-,+)是增函数在(-,0)和(0,+)是增函数yox第17页，共21页，2022年，5月20日，11点3分，星期四例1、下图是定义在区间-5，5上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？解：函数y=f(x)的单调区间有 -5,-2),-2,1),1,3),3,5 其中y=f(x)在区间-5,-2), 1,3)是减函数， 在区

9、间-2,1), 3,5 上是增函数。第18页，共21页，2022年，5月20日，11点3分，星期四 例2、物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+)上的任意两个实数，且V1V2，则由V1，V2 (0，+)且V10, V2- V1 0又k0,于是 所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.取值定号变形作差结论第19页，共21页，2022年，5月20日，11点3分，星期四三判断函数单调性的方法步骤 1 任取x1，x2D，且x1x2；2 作差f(x1)f(x2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差f(x1)f(x