概率论与数理统计公式

1、第 1 章 随机事件及其概率关系：如果同时有，则称事件A与事件B等价，或称A等于：。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为，也可表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。同时发生：A ，或者B=，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。iiAA为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：AA3 对于两两互不相容的事件 ， 2，有ii i1常称为可列（完全）可加性。A则称P(A)为事件 的概率。 , 12n1 P P ) )。12nn , 12m ) ) ) P ) P ) P )P(A)=12m

2、12mmnL()P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)0时，P(A+B)=P(A)+P(B)P(A-B)=P(A)-P(AB)（10）加法公式（11）减法公式当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)1定义 设A、B是两个事件，且P(A)0，则称P(AB)为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为P()P(B /A)=1-P(B/A)2n12)A(1P1n231n1两个事件的独立性P(AB) P(A)P(B)P(A) 0多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同

3、时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。设事件1212inii1P(A) P(B )P(A| B ) P(B )P(A| B ) P(B )P(A| B )1122n设事件 ， 2，BB BnBnBBnnBii1P(B )P(A/B )iiinjjnP B A( / ) i 1 2， ， n， ， iin我们作了 次试验，且满足A发生或A不发生；A发生的概率每次均一样；每次试验只有两种可能结果，n次试验是重复进行的，即A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。每次试验是独立的，即每次试验n这种试验称为伯努利概型，或称为 重伯努利试验。1pAA表示每次试验 发生的

4、概率，则 发生的概率为n表示 重伯努利试验中出现P p qknnk ，。第二章 随机变量及其分布的可能取值为 X (k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=X )的概率为X设离散型随机变量P(X=x )=p ，k=1,2,，kkkkX则称上式为离散型随机变量X|12k12kp 1kk 1k。fX的分布函数，若存在非负函数xf，fXX。f积分元似。在离散型随机变量理论中所起的作用相类kk1F(x) P(X x)称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(a X b) F(b) F(a)可以得到X落入区间(a,b的概率。分布函数F(x)表示随机变量落入区间（ ，x内的概率。分布函数具有

5、如下性质：0 F(x) xF(x)是单调不减的函数，即x xF(x) F(x )121F() limF(x)0， F() limF(x)1；xx5P(X x)F(x)F(x0)。F(x)pF(x) f(x)kk布n在 重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则可能取值为,n。P(X k) P (k)C p qkknnXn p服从参数为 ， 的二项分布。记为P(X k) p q，k0.1，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分Xk0，k，k!XX ()服从参数为 的泊松分布，记为( , )k1随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。11X的值只落在a，

6、b内，其密度函数1,b aX在a，b上服从均匀分布，记为XU(a，b)。，,F(x) f(x)dx x，x ,x当 axx b 落在区间（ 1 2）内的概率为122112,ex0,0，则称随机变量 X 服从参数为 的指数分布。x e !01X(x)2e2f(x) 0为常数，则称随机变量的正态分布或高斯（Gauss）X2x 1x f() 2X若1(t)2F(x)ex21时的正态分布称为标准正态分布，记为X N(，其密度函数记为112是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。1。(-x)1-(x)且(0)2X2P(x X x ) 2112XX2n12niY g(X)的分布列（yiig(x g(

7、x Y12np, i12npiii先利用X的概率密度f(x)写出Y的分布函数F(y)P(g(X)y)，再利用变上下限积分的求导公YX式求出f(y)。Y第三章 二维随机变量及其分布1对f(x,y)( x , y )，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域 D，即 D=(X,Y)|axb,cyx 时，有F（x,y）F(x,y);当y y 时，有F(x,y ) );12121221x x ，y y ，1212F(x ，y ) F(x ，y ) F(x，y ) F(x，y )0.22211211P(X ，Y y) P(x X x，yY y dy) f(，y)f (x) f x y dy ( ,

8、) ；X布f (y) f(x,y).Y1Y布XF(X,Y)=F(x)F(y)YXp p p有零不独立XY直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形21 2( ) xxyy112 f(x, y)e2 ) , 21122 1 212若X,X,X,X ,X相互独立，h,g为连续函数，则：12mn12mn态分布21 2( ) xxyy1112 e22) 1122 1 212 , 0,0,| 1是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，112记为（X，Y）N（1 , ( 211 , ),Y N( )2122但是若XN（，(X，Y)未必是二维正态分布。12,1F (z) P(Z z) P(X Y

9、 z)根据定义计算：Z布f(x,zx对于连续型，f (z)Z , 12n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。22iiiiiiZ=max,min(X ,1若12nxX ,X )n2nZ=max,min(X ,X ,X )的分布函数为：12nxnF (x) 1 F (x) F (x) F (x)xn第四章 随机变量的数字特征离散型) 设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，设 X kEnkkk1（要求绝对收敛）函数的期望Y=g(X)nEY) g(x )pkkk1方差DD(X) xE(X f(x)D(X)=EX-E(X) ，222标准差kkk，1对于正整数X的k次幂的数学期望 对于

10、正整数X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vkkkkiiki对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的kk，即k(kk(.kk.=kiix E Xik切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E（X）=，方差D（X）=，则对于任意正数，有下列切比雪夫不等式22P(X )2切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率 nniiiii1i1充要条件：X和Y不相关。（1） D(C)=0；E(C)=C（2） D(aX)=aD(X)； E(aX)=aE(X)（3） D(aX+b)= aD(X)； E(aX+b)=aE(X)+b2（4） D(X)=E(X)

11、-E(X)21211niiXi1nEjYj1函数的期望G(x , y )pijijij方差2Xiiipj2j协方差为 X 与 Y 的协方差或相关矩，记为 (X E X Y EY与记号相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为与。1相关系数为X与Y的相关系数，记作 （有时可简记为P X b)1(正相关，当 (0)，a负相关，当 (a 0)，以下五个命题是等价的：0；协方差矩阵(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).若随机变量X与Y相互独立，则XY , , , ,2121则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。第五章 大数定律和中心极限定理设是n次独立试验中事件A是事件

12、AP p nn伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即P p nn这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。1( ; , , ).F x它的 k 阶原点设总体 X 的分布中包含有未知数12m12m估计 , ,v v , , )vmk中也包含了未知参数k12mkk12mx ,x ,121nxknnv (x,112mii1nv (x212mnii11nnv , , )mm12mii1 , ,）的矩估计量。12m12mg ) g( )为n, 0 kC p p) ekknkk!n其中 k=0，1，2，n，。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章 样本及抽样分布第七章 参数估计1f(; , ,当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为1m1m221n2nL , , )( ; , , )f x1mi1m22i1为样本的似然函数，简记为L.1m2nL(x ,x ,x ;p x( ; , , )1n1mi1m222i1为样本的似然函数。L(x ,x ,x ; , , ) , , , ,若似然函数12m12m1n1m22 , ,的最