2023学年浙江省宁波市镇海区仁爱中学数学九上期末达标检测试题含解析

1、2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1如图，O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点若PB切O于点B，则PB的最小值是（ ）ABC3D22四位同学在研究函数（是常数）时，甲发现当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当时，已知这四位同学

2、中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）A甲B乙C丙D丁3正三角形外接圆面积是，其内切圆面积是（ ）ABCD4如图，以点A为中心，把ABC逆时针旋转m，得到ABC（点B、C的对应点分别为点B、C），连接BB，若ACBB，则CAB的度数为（ ）ABCD5如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AEBD，垂足为F，则sinBDE的值是 （ ）ABCD6下列事件中，是必然事件的是（）A两条线段可以组成一个三角形B打开电视机，它正在播放动画片C早上的太阳从西方升起D400人中有两个人的生日在同一天7在平面直角坐标系中，将关于轴的对称点绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标是（ ）ABCD8已知关于

3、x的函数yx22mx1，若x1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）Am1Bm1Cm1Dm19如图，四边形ABCD是矩形，BC4，AB2，点N在对角线BD上（不与点B，D重合），EF，GH过点N，GHBC交AB于点G，交DC于点H，EFAB交AD于点E，交BC于点F，AH交EF于点M设BFx，MNy，则y关于x的函数图象是（）ABCD10用配方法解一元二次方程时，方程变形正确的是（ ）ABCD二、填空题(每小题3分,共24分)11如图，在ABC中，ABAC，A120，BC4，A与BC相切于点D，且交AB，AC于M，N两点，则图中阴影部分的面积是_（保留）12如图，已知二次函数yax2+

4、bx+c（a0）的图象与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点B在（0，2）和（0，1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x1下列结论：其中正确结论有_abc0；16a+4b+c0；4acb28a；a；bc13如图，在平面直角坐标系中，已知点E（4，2），F（1，1）以原点O为位似中心，把EFO扩大到原来的2倍，则点E的对应点E的坐标为_14如图，点A是反比例函数y=（x0）图象上一点，直线y=kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B，C，过点A作ADx轴，垂足为D，连接DC，若BOC的面积是4，则DOC的面积是_15如图，是的中线，点在延长线上，交的延长线于点，若，则_.16如图是一个正方形及

5、其内切圆，正方形的边长为4，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率是_17经过点（1，4）的反比例函数的解析式是_18如图，反比例函数的图象与矩形相较于两点，若是的中点，则反比例函数的表达式为_三、解答题(共66分)19（10分）已知等边ABC，点D为BC上一点，连接AD. 图1 图2（1）若点E是AC上一点，且CEBD，连接BE，BE与AD的交点为点P，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出APE的大小；（2）将AD绕点A逆时针旋转120，得到AF，连接BF交AC于点Q，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CD的数量关系，并证明.20（6分）如图，ABC中，ABAC10，BC

6、6，求sinB的值21（6分）用适当的方法解下列一元二次方程（1）；（2）22（8分）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本（单位：元）、销售价（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；（2）求线段AB所表示的与x之间的函数表达式；（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？23（8分）抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，连接BC（1）如图1，求直线BC的表达式；（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，连接PC，PB，当PCB面积最大时，一动点Q

7、从点P从出发，沿适当路径运动到轴上的某个点G处，再沿适当路径运动到轴上的某个点H处，最后到达线段BC的中点F处停止，求当PCB面积最大时，点P的坐标及点Q在整个运动过程中经过的最短路径的长；（3）如图2，在（2）的条件下，当PCB面积最大时，把抛物线向右平移使它的图象经过点P，得到新抛物线，在新抛物线上，是否存在点E，使ECB的面积等于PCB的面积若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由24（8分）如图，抛物线经过点A（1,0），B（4,0）与轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值

8、；若不存在，请说明理由（3）如图，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使CQM为等腰三角形且BQM为直角三角形？若存在，求M的坐标；若不存在，请说明理由25（10分）如图，是的直径，点在上，平分，是的切线，与相交于点，与相交于点，连接 （1）求证：；（2）若，求的长26（10分）某商贸公司以每千克元的价格购进一种干果，计划以每千克元的价格销售,为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量(千克)与每千克降价(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示: .（1）求与之间的函数关系式;（2）函数图象中点表示的实际意义是 ;（3）该商贸公司要想获利元，则

9、这种干果每千克应降价多少元?参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】由切线的性质可得OPB是直角三角形，则PB2OP2OB2，如图，又OB为定值，所以当OP最小时，PB最小，根据垂线段最短，知OP3时PB最小，然后根据勾股定理即可求出答案【详解】解：PB切O于点B，OBP90，PB2OP2OB2，如图，OB2，PB2OP24，即PB，当OP最小时，PB最小，点O到直线l的距离为3，OP的最小值为3，PB的最小值为故选：B【点睛】此题主要考查了切线的性质、勾股定理及垂线段最短等知识，属于常考题型，如何确定PB最小时点P的位置是解题的关键2、B【分析】利用假设法逐一分析，分别求出二

10、次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论【详解】解：A假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确由乙、丁同学的结论可得解得：二次函数的解析式为：当x=时，y的最小值为，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；B假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确由甲、丙的结论可得二次函数解析式为当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=70此时符合假设条件，故本选项符合题意；C 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确由甲乙的结论可得解得：当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；D 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确由甲、

11、丙的结论可得二次函数解析式为当x=-1时，解得y=70，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意故选B【点睛】此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b、c的值是解决此题的关键3、D【分析】ABC为等边三角形，利用外接圆和内切圆的性质得OBC=30，在RtOBD中，利用含30的直角三角形三边的关系得到OD=OB，然后根据圆的面积公式得到ABC的外接圆的面积与其内切圆的面积之比，即可得解.【详解】ABC为等边三角形，AD为角平分线，O为ABC的内切圆，连OB，如图所示：ABC为等边三角形，O为ABC的内切圆，点O为ABC的外心，ADBC，OBC=30，在RtOBD中，O

12、D=OB，ABC的外接圆的面积与其内切圆的面积之比=OB2：OD2=4：1正三角形外接圆面积是，其内切圆面积是故选：D.【点睛】本题考查了正多边形与圆：正多边有内切圆和外接圆，并且它们是同心圆也考查了等边三角形的性质4、B【分析】根据旋转的性质可得、，利用等腰三角形的性质可求得，再根据平行线的性质得出，最后由角的和差得出结论【详解】解：以点为中心，把逆时针旋转，得到，故选：B【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等；也考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质及角的和差5、C【分析】由矩形的性质可得A

13、BCD，ADBC，ADBC，可得BECEBCAD，由全等三角形的性质可得AEDE，由相似三角形的性质可得AF2EF，由勾股定理可求DF的长，即可求sinBDE的值【详解】四边形ABCD是矩形ABCD，ADBC，ADBC点E是边BC的中点，BECEBCAD，ABCD，BECE，ABCDCB90ABEDCE（SAS）AEDEADBCADFEBF2AF2EF，AE3EFDE， sinBDE，故选C【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的运用，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键6、D【解析】一定会发生的事件为必然事件，即发生的概率是

14、1的事件根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可【详解】解：A、两条线段可以组成一个三角形是不可能事件；B、打开电视机，它正在播放动画片是随机事件；C、早上的太阳从西方升起是不可能事件；D、400人中有两个人的生日在同一天是不必然事件；故选：D【点睛】本题考查的是必然事件.不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.7、C【分析】先求出点B的坐标，再根据旋转图形的性质求得点的坐标【详解】由题意，关于轴的对称点的坐标为（-1，-4），如图所示，点绕原点逆时

15、针旋转得到，过点B作x轴的垂线，垂足为点C则OC=4，BC=1，所以点B的坐标为故答案选：C.【点睛】本题考查平面直角坐标系内图形的旋转，把握旋转图形的性质是解题的关键.8、C【解析】根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小【详解】解：函数的对称轴为x=，又二次函数开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，x1时，y随x的增大而增大，-m1，即m-1故选：C【点睛】本题考查了二次函数的图形与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键9、B【分析】求出 ，yEFEMNF2BFtanDBCAEtanDAH，即可求解【详解】解：，y

16、EFEMNF2BFtanDBCAEtanDAH2xx（）x2x+2，故选：B【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数，此类问题关键是确定函数的表达式，进而求解10、B【详解】，移项得：，两边加一次项系数一半的平方得：，所以，故选B.二、填空题(每小题3分,共24分)11、4【分析】连接AD，分别求出ABC和扇形AMN的面积，相减即可得出答案.【详解】解：连接AD，A与BC相切于点D，ADBC，ABAC，A120，ABDACD30，BDCD，AB2AD，由勾股定理知BD2+AD2AB2，即+AD2（2AD）2解得AD2，ABC的面积，扇形MAN得面积，阴影部分的面积故答案为：【点睛】本题

17、考查的是圆中求阴影部分的面积，解题关键在于知道阴影部分面积等于三角形ABC的面积减去扇形AMN的面积，要求牢记三角形面积和扇形面积的计算公式.12、【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标、顶点坐标等知识，逐个判断即可【详解】抛物线开口向上，因此a0，对称轴为x=10，a、b异号，故b0，与y轴的交点B在（0，2）和（0，1）之间，即2c1，所以abc0，故正确；抛物线x轴交于点A（1，0），对称轴为x=1，因此与x轴的另一个交点为（3，0），当x=4时，y=16a+4b+c0，所以不正确；由对称轴为x=1，与y轴交点在（0，2）和（0，1）之间，因此顶点的纵坐标小于1

18、，即1，也就是4acb24a，又a0，所以4acb28a是正确的，故是正确的；由题意可得，方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=1，x2=3，又x1x2=，即c=3a，而2c1，也就是23a1，因此a，故正确；抛物线过（1，0）点，所以ab+c=0，即a=bc，又a0，即bc0，得bc，所以不正确，综上所述，正确的结论有三个：，故答案为：【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提13、（8，4），（8，4）【分析】根据在平面直角坐标系中，位似变换的性质计算即可【详解】解：以原点O为位似中心，把EFO扩大到原来的

19、2倍，点E（4，2），点E的对应点E的坐标为（42，22）或（42，22），即（8，4），（8，4），故答案为：（8，4），（8，4）【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k14、11【分析】先用三角形BOC的面积得出k=，再判断出BOCBDA，得出a1k+ab=4，联立求出ab，即可得出结论【详解】设A（a，）（a0），AD=，OD=a，直线y=kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B，C，C（0，b），B（，0），BOC的面积是4，SBOC=OBOC=b=4，b1=8k，k=ADx轴，OCA

20、D，BOCBDA，a1k+ab=4，联立得，ab=44（舍）或ab=44，SDOC=ODOC=ab=11.故答案为11【点睛】此题主要考查了坐标轴上点的特点，反比例函数上点的特点，相似三角形的判定和性质，得出a1k+ab=4是解本题的关键15、5【分析】过D点作DHAE交EF于H点，证BDHBCE，FDHFAE，根据对应边成比例即可求解.【详解】过D点作DHAE交EF于H点，BDH=BCE，BHD=BEC,BDHBCE同理可证：FDHFAEAD是ABC的中线BD=DC 又 故答案为：5【点睛】本题考查的是相似三角形，找到两队相似三角形之间的联系是关键.16、【分析】根据题意算出正方形的面积和内

21、切圆面积，再利用几何概率公式加以计算，即可得到所求概率【详解】解：正方形的边长为4，正方形的面积S正方形=16，内切圆的半径r=2，因此，内切圆的面积为S内切圆=r2=4， 可得米落入圆内的概率为： 故答案为：【点睛】本题考查几何概率、正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，属于中档题17、【分析】直接利用反比例函数的性质得出解析式【详解】反比例函数经过点（1，4），xy4，反比例函数的解析式是：y故答案为：y【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，是近几年中考的热点问题，要熟练掌握.18、【分析】设D（a，），则B纵坐标也为，代入反比例函数的y=，即可求得E的横坐标，则根据三角形的面积公式即可

22、求得k的值【详解】解：设D（a，），则B纵坐标也为，D是AB中点，点E横坐标为2a，代入解析式得到纵坐标：，BE=BCEC=，E为BC的中点，SBDE=，k=1反比例函数的表达式为；故答案是：【点睛】本题考查了反比例函数的性质，以及三角形的面积公式，正确表示出BE的长度是关键三、解答题(共66分)19、（1）补全图形见解析. APE=60；（2）补全图形见解析.，证明见解析.【分析】（1）根据题意，按照要求补全图形即可；（2）先补全图形，然后首先证明ABDBEC得出BAD=CBE，之后通过一系列证明得出AQFEQB，最后进一步从而得出即可.【详解】（1）补全图形如下，其中 APE=60，（2）

23、补全图形. 证明：在ABD和BEC中，ABDBEC（SAS）BAD=CBE.APE是ABP的一个外角，APE=BAD+ABP=CBE+ABP=ABC=60.AF是由AD绕点A逆时针旋转120得到，AF=AD，DAF=120.APE=60，APE+DAP=180.AFBE1=2ABDBEC，AD=BE.AF=BE.在AQF和EQB中，AQFEQB（AAS）AQ=QEAE=ACCE，CD=BCBD，且AE=BC，CD=BD.AE=CD.【点睛】本题主要考查了全等三角形的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.20、【分析】过点A作于D，根据等腰三角形的三线合一性质求出根据勾股定理求出，最后用正弦的定

24、义即可.【详解】解：过点A作于D，又ABC中，ABAC10，BC6，,.【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质、勾股定理、锐角三角函数的定义，构造直角三角形是解题的关键.21、（1），；（2），【分析】（1）把原方程化成一元二次方程的一般形式，利用公式法解方程即可；（2）按照平方差公式展开、合并，再利用十字相乘法解方程即可【详解】（1）整理得：，（2）整理得：，x+4=0或x-2=0，解得：，【点睛】本题考查解一元二次方程，一元二次方程的常用解法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键22、（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130k

25、g时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；（2）y=0.2x+60（0 x90）；（3）当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为1【解析】试题分析：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；（2）根据线段AB经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；（3）利用总利润=单位利润产量列出有关x的二次函数，求得最值即可试题解析：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；（2）设线段AB所表示的与x之间的函数关系式为，的图象过点（0，60）与

26、（90，42），解得：，这个一次函数的表达式为：y=0.2x+60（0 x90）；（3）设与x之间的函数关系式为，经过点（0，120）与（130，42），解得：，这个一次函数的表达式为（0 x130），设产量为xkg时，获得的利润为W元，当0 x90时，W=，当x=75时，W的值最大，最大值为1；当90 x130时，W=，当x=90时，W=，由0.60知，当x65时，W随x的增大而减小，90 x130时，W2160，因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为1考点：二次函数的应用23、（1）（2）点Q按照要求经过的最短路径长为（3）存在，满足条件的点E有三个，即（，），（，）, （

27、，）【分析】（1）先求出点，的坐标，利用待定系数法即可得出结论；（2）先确定出，再利用三角形的面积公式得出，即可得出结论；（3）先确定出平移后的抛物线解析式，进而求出，在判断出建立方程即可得出结论【详解】解：（1）令，得， A（，0），B（，0）令，得C(0,3)设直线BC的函数表达式为，把B（，0）代入，得解得，所以直线BC的函数表达式为（2）过P作PD轴交直线BC于M 直线BC表达式为 ， 设点M的坐标为 ，则点P 的坐标为则此时，点P坐标为（，）根据题意，要求的线段PG+GH+HF的最小值，只需要把这三条线段“搬”在一直线上如图1，作点P关于轴的对称点，作点F关于轴的对称点，连接，交轴于

28、点G,交轴于点H根据轴对称性可得，此时PG+GH+HF的最小值= 点P坐标为（，）， 点的坐标为（，） 点F是线段BC的中点， 点F的坐标为（，） 点的坐标为（，） 点，P两点的横坐相同，轴 ，P两点关于轴对称，轴 即点Q按照要求经过的最短路径长为（3）如图2，在抛物线中，令，或，由平移知，抛物线向右平移到，则平移了个单位，设点，过点作轴交于，直线的解析式为，的面积等于的面积，由（2）知，或或或（舍，或，或，综上所述，满足条件的点E有三个，即（，），（，）, （，）【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，利用轴对称确定最短路径，平移的性质，解绝对值方程，解本题的关

29、键是确定出和24、（1）；（2）9；（3）存在点M的坐标为（）或（）使CQM为等腰三角形且BQM为直角三角形【分析】(1)根据抛物线经过A、B两点，带入解析式，即可求得a、b的值.（2）根据PA=PB，要求四边形PAOC的周长最小，只要P、B、C三点在同一直线上，因此很容易计算出最小周长.（3）首先根据BQM为直角三角形，便可分为两种情况QMBC和QMBO，再结合QBMCBO，根据相似比例便可求解.【详解】解：（1）将点A（1,0），B（4,0）代入抛物线中，得： 解得： 所以抛物线的解析式为.（2）由（1）可知，抛物线的对称轴为直线.连接BC，交抛物线的对称轴为点P,此时四边形PAOC的周长最小，最小值为OA+OC+BC=1+3+5=9. (3) 当QMBC时，易证QBMCBO 所以 , 又因为CQM为等腰三角形 ，所以QM=CM.设CM=x, 则BM=5- x 所以 所以.所以QM=CM=，BM=5- x=,所以BM:CM=4:3. 过点M作NMOB于N，则MN/OC, 所以 ,即 ，所以, 所以点M的坐标为（） 当QMBO时, 则MQ/OC, 所以 , 即 设QM=3t, 则BQ=4t,