哥德巴赫猜想初等证明1

1、哥德巴赫猜想”初等证明王若仲1 谭谟玉 2彭晓 3徐武方1（1.务川自治县实验学校 2.务川自治县农业局 3.务川中学 贵州564300）摘要：“哥德巴赫猜想”确实存在一种最简捷的证明方法，即就是证明存在有“奇素数+ 奇素数”的情形可以转换到奇素数的个数和奇合数的个数上来加以分析，即通过顺筛和逆筛 的办法，从而得到“哥德巴赫猜想”的一种初等证明。关键词：哥德巴赫猜想 奇素数 奇合数 顺筛 逆筛哥德巴赫猜想：任何一个不小于 6 的偶数均可表为两个奇素数之和。我们知道，只能被 1 和本身整除的正整数，称为素数。定义 1：我们把即是奇数又是合数的正整数，称为奇合数。定义2：对于某一偶数 加（m2）,

2、若a+b=2m, aN, bN,则称a和b为偶数加的对应加数，记为加（ab）。定义3：对于2m （ab）, m2 ， mN,若a和b中至少有一个数为奇合数，则称a和b为偶数加的合对子，记为加（a早b）。定义4：对于2m （ab）, m2 , mN,若a和b均为奇素数，则称a和b为偶数加的素对子，记为加（a b）。引理1：对于任一正整数M （M2）,关于某一奇素数p, pVM,设集合p, 2p, 3p,，mp中元素个数与集合 1, 2, 3, 4,5,6,，M 中元素个数的比值为t,贝U（1）、当 mp=M 时，t=1/p；（2）、当 mpHM 时，tV1/p。其中 mp 为不大于正整数 M 的

3、最大正整数。证明：因为集合p, 2p, 3p,，mp有m个元素，集合1, 2, 3,4, 5, 6,，M有M个元素，、当 mp=M 时，t二m/mp=l/p；、当mpHM时，又因为mp为不大于正整数M的最大正整数, 那么 mpVM，而 t二m/MVm/mp=l/p。综上所述，引理 1 成立。引理2：对于任一奇数M (M2),关于某一奇素数p，pWM,设 集合p，3p，5p，7p，9p，(2mT) p中元素个数与集合1，3, 5，7，9，M中元素个数的比值为t,贝U、当(2m-1) p=M 时，t1/p；、当(2m-1) p+p-1二M 时，t = 1/p；、当(2m-1) p+pTVM 时，t

4、V1/p；、当(2m-1) p+p-1 M 时，t1/p；其中(2m-1) p为不大于正整数M的最大奇数。证明：因为集合p，3p，5p，7p，9p，(2m-1) p有m个元素, 集合1，3，5，7，9，M有(M+1)/2 个元素、当(加-1 ) p=M 时，贝U (M+1)/2=(2mT)p/2mp,所以 t=2m/(M+1) 1/p ；、当(2mT) p+pT二M 时，贝U(M+1)/2=mp，所以 t=m/mp=1/p ；、当(2m-1) p+p-1 mp，所以 t=2m/(M+1) M 时，贝U (M+1)/2 1/p。综上所述，引理2 成立。引理3：对于一个相当大的正整数M,关于任一小

5、于正整数M的奇 素数P，设集合p, 2p, 3p,，mp中元素个数与集合1, 2, 3, 4,5,6,，M中元素个数的比值为t,则t1/p (其中mp为不大于 正整数M的最大正整数)。证明：对于任一奇素数p,集合p, 2p, 3p,，mp有m个元素, 集合1, 2, 3, 4, 5, 6, M有M个无素、当 mp=M 时，t二m/mp=1/p；、当mpHM时，因为mp为不大于正整数M的最大正整数， 那么 mpVM,我们令 M二mp+h，那么 hVp,所以 mpVM二mp+hV(m+1) p,则m/ (m+1) pVt二m/MVm/mp，因为正整数M相当大，那么正整 数m也相当大，故t1/p。综

6、上所述,引理3成立。引理4：对于一个相当大的奇数M,关于任一小于奇数M的奇素数 p,设集合p, 3p, 5p, 7p, 9p, (2m-1) p中元素个数与集合1, 3, 5, 7, 9,，M中元素个数的比值为t,贝Ut1/p (其中(2m-1) p为不大于奇数M的最大奇数)。证明：对于任一奇素数p,集合p, 3p, 5p, 7p, 9p, (2mT) p有m个元素，集合1, 3, 5, 7, 9, M有(M+1)/2个元素(i)、当(2mT) p=M 时，(M+1)/2 二mp- (p-1) /2，因为 m/ (mp-p) = m/ (m-1) p, M为相当大的奇数，那么m也为相当大的正

7、整数，则 m/ (mp-p) = m/ (mT) p1/p,即 m/mp- (p-1) /21/p, tl/p; 、当(2m-1) p+p-1=M 时，(M+l)/2二mp，则 t=m/mp=1/p；、当(2m-1) p+pTVM 时，我们令(2mT) p+p-l+h二M，然 而lWhVp+1,这是因为(2m-1) p为不大于奇数M的最大奇数，我 们令 h=p，则(M+1)/2 =mp+p/2 (m+1) p，即 mp mp- (p-1) /2 (m+l)p, M为相当大的奇数，那么m也为相当大的正整数，m/ (m+1) p 1/p，故 tl/p；、当(2m-1) p+p-lM 时，我们令(2

8、mT) p+pT-h二M，然 而lWhWp-1，这是因为(2m-1) p为不大于奇数M的最大奇数，我 们令 h=p-1，则(M+1)/2 =mp- (p-1) /2(mT)卩，即(mT) p mp-(p-1) /2mp， M 为相当大的奇数，那么 m 也为相当大的正 整数，m/ (m-1) pl/p，故 tl/p。综上所述，引理4 成立。引理5:对于任一比较大的正整数M,设奇素数p，p，p， 123p均为不大于，页的全体奇素数(p】 p , ic, b和c均为奇合数，那么奇合数c 中必有一个奇素数因子q小于丫旷;、当M =bc，如果b c, b和c均为奇素数，那么奇素数c 小于;、设奇数a为区

9、间丫，M中的一个奇合数，令奇合数a=bc, a M,如果b=c, b和c均为素数，那么b素数为小于奇素数；(7 )、设奇数a为区间,M中的一个奇合数，令奇合数a=bc, a M,如果b=c, b和c均为奇合数，那么奇合数b中必有一个素数 因子P小于;、设奇数a为区间丫，M中的一个奇合数，令奇合数a=bc, a M,如果bc, b和c中一个为素数和一个为合数，那么奇数b 和 c 必为一大一小的奇数，不妨设小的一个奇数为素数，则小的一个 素数必为小于j的奇素数；、设奇数a为区间叮，M中的一个奇合数，令奇合数a=bc, a M,如果bc, b和c中一个为素数和一个为合数，那么奇数b 和 c 必为一大

10、一小的奇数,不妨设大的一个奇数为素数，那么小的一 个奇数必为奇合数，不妨令小的一个奇数为C,则奇合数C总可以分 解为素因子的乘积，其中任何一个素因子必为小于”的奇素数；(10)、其它情形同理可得出同样的结论。综上所述，引理5 成立。引理6:对于一个相当大的奇数M,关于任何两个均小于正整数M 的奇素数p和q (pHq),若在集合1, 3, 5, 7, 9,，M中筛除 属于集合p, 3p, 5p, 7p, 9p, (2m-l) p中的全体元素和筛除 属于集合q, 3q, 5q, 7q, 9q, (2mT) q中的全体元素，则有 下列等式成立：W1-( 1/p+1/q) +1/pq=W( 1-1/p

11、) -( 1-1/p) /q=W( 1-1/p) (1-1/q)。其中W为集合1, 3, 5, 7, 9, , M中元素的个数，(2m-1) p为不大于奇数M的最大奇数，(2m-l) q为不大于奇数M的最大奇 数。证明：对于一个相当大的奇数M,由引理4可知，关于任一小于 奇数M的奇素数g,那么集合g, 3g, 5g, 7g, 9g, (2m-1) g 中元素个数与集合1, 3, 5, 7, 9,，M中元素个数的比值约等于 1/g,其中(2m-l) g为不大于奇数M的最大正整数；那么任何两个 均小于正整数M的奇素数p和q (pHq),若要在集合1, 3, 5, 7, 9, M中筛除属于集合p,

12、3p, 5p, 7p, 9p, (2m-1) p中的 全体元素和筛除属于集合q, 3q, 5q, 7q, 9q, (2mT) q中的 全体元素，则有 W-( W/p+W/q) +W/pq= W1-( 1/p+1/q) +1/pq= W (1-1/p) - (1-1/p) /q=W (1-1/p) (1-1/q),其中 W 为集合1, 3, 5, 7, 9, M中元素的个数。故引理6成立。引理7:对于一个相当大的奇数M,设奇素数p , p , p，p23t 均为不大于的全体奇素数(Pi p , ij, i、j=l, 2, 3,， t),若要在集合1, 3, 5, 7, 9,，M中筛除全体奇合数，

13、那么只 须在集合1, 3, 5, 7, 9,，M中筛除属于集合p , 3p , 5p , 7p ,11119p ,，(2m-1) p 中的全体元素，筛除属于集合p , 3p , 5p , 7p , TOC o 1-5 h z 122229p ,(2m-1) p 中的全体元素,筛除属于集合p , 3p , 5p , 7p ,233339p ,(2m-1) p 中的全体元素，筛除属于集合p , 3p , 5p ,3ttt7p , 9p，(2m-1) p 中的全体元素；并且有下列等式成立：tttWl(1/p+l/p+l/p+l/p ) + (1/p p+l/p p+l/p p+l/p p )123t

14、1 21 31 4t-1 t(1/ppp+1/ppp +1/p p p + +1/p p p ) + + ( -1 ) tl/ppp12312 4125t-2t-1 t123 p p p =W (1-1/p ) (1-1/p ) (1-1/p )(1T/p ) (1-1/p )。其 t-2t-1 t123t-1t中W为集合1, 3, 5, 7, 9, M中元素的个数，(2m-1) p为不1大于奇数 M 的最大奇数(, 2m-1)p 为不大于奇数 M 的最大奇数(, 2m-1)2p为不大于奇数M的最大奇数，(2m-1) p为不大于奇数M的最 TOC o 1-5 h z 3t-1大奇数，(2m-1

15、) p为不大于奇数M的最大奇数。t证明：因为 W(1-1/p )(1-1/p )(1-1/p ) =W1-(1/p+1/p+1/p )123123+ (1/p p +1/p p +1/p p ) - (1/p p p ),又因为在区间, M中的121323123v任何一个奇合数a,奇合数a均能被集合p , p , p，p 中某一123t个奇素数 p 整除，故由引理 4 和引理 5 以及引理 6 可知引理 7 成立。 i定义4：对于某一偶数加，mN, m$4,若p+a=2m,其中p为奇 素数，a为奇合数或者1,则称奇素数p为关于偶数加的虚合数，记 为2m (p早)。定义5：在集合1, 3, 5,

16、 7, 9, (M-3), (M-1) 中筛除属 于集合p, 3p, 5p, 7p, 9p,，(2mT) p中的全体元素，这种筛 除方式，称之为顺筛；其中M为比较大的偶数，p为小于偶数M的奇 素数，(2m-l) p为小于偶数M的最大奇数。定义6：在集合1, 3，5，7，9，(M-3), (M-1) 中筛除属 于集合 (M-p), (M-3p), (M-5p), (M-7p), (M-9p),，M- (2m-1) p 中的全体元素，这种筛除方式，称之为逆筛；其中 M 为比较大的 偶数，p为小于偶数M的奇素数，(2m-1)p为小于偶数M的最大奇数。引理8：设有一个相当大的正整数M,对于任一小于正整

17、数M的奇 素数p，集合p，2p，3p，mp中的元素个数为m，其中mp为不 大于正整数M的最大正整数，则mWM/p。证明：(i)、当 mp=M 时，则 m=M/p；、当mpHM时，因为mp为不大于正整数M的最大正整数， 则 mVM/p。综上所述，引理 8 成立。引理9：设有一个相当大的奇数M,对于任一小于奇数M的奇素数 p，集合p, 3p, 5p, 7p, 9p, (2m-1) p中的元素个数为m,其 中(2m-1) p为不大于奇数M的最大奇数，则mM/p。证明：对于任一小于奇数M的奇素数p,集合p, 3p, 5p, 7p, 9p,，(2m-1)p有 m 个元素，集合1, 3, 5, 7, 9,

18、，M有(M+1)/2 个元素(i)、当(2m-1) p=M 时，(M+1)/2 二mp- (p-1) /2，因为mp- (p-1) /2/p(m-1) p/p= (m-1), M为相当大的奇数，那么m也 为相当大的正整数，故mM/p；、当(2m-1) p+p-1=M 时，(M+l)/2二mp，则 m=M/p；、当(2m-1) p+pTVM 时，我们令(2mT) p+p-l+h二M，然 而lWhVp+1,这是因为(2m-1) p为不大于奇数M的最大奇数，我 们令 h=p，则(M+1)/2 =mp+p/2 (m+1) p，即 mp mp- (p-1) /2 (m+1) p， M为相当大的奇数，那么

19、m也为相当大的正整数，故m M/p；、当(2m-1) p+p-lM 时，我们令(2mT) p+pT-h二M，然 而lWhWp-1，这是因为(2m-1) p为不大于奇数M的最大奇数，我 们令 h=p-1，则(M+1)/2 =mp- (p-1) /2(mT)卩，即(mT) p mp-(p-1) /2mp， M 为相当大的奇数，那么 m 也为相当大的正 整数，故mM/p。综上所述，引理 9 成立。哥德巴赫定理：任何一个不小于 6 的偶数均可表为两个奇素数之 和。证明：对于“ 33 x 106以内的偶数均可表为两个奇素数之和”已经 被前人验证，我们现在设有一个非常大的偶数2m，加不小于33 x 106

20、。设奇素数p，p，p， ，p均为不大于J2T的全体奇素数(p23t*i p ， ij， i、j=1， 2， 3，t)，tWN。j因为当m为奇数时，偶数加=1+ (2m-1) =3+ (2m-3) =5+ (2m-5) =7+ (2m-7)二二(m-2) + (m+2) =m+m= (2m-7) +7= (2m-5) +5=2m-3) +3=(2m-1) +1。当 m 为偶数时，偶数 2m=1+（2m-1）=3+（2m-3 ）=5+（2m-5）=7+ （2m-7）=（m-3）+（m+3）=（m-1）+（m+1）=（2m-7）+7= （2m-5）+5=（2m-3）+3=（2m-1）+1。关于“奇数

21、+奇数=2m ”的情形，我们具体分析如下：（i）、对于偶数加，当m为奇素数时，令m=p，则加二p+p，显 然偶数加可表为两个奇素数之和。（ii）、对于偶数2m，当m为奇合数或者偶数时，设不大于偶数 加的全体奇数组成的集合为1, 3，5，7，9,，M，W为集合1, 3, 5, 7, 9，M中元素的个数，由引理5可知，若要在集合1， 3，5, 7, 9, M中筛除全体奇合数，那么只须在集合1, 3, 5, 7, 9, M中筛除属于集合3p , 5p , 7p , 9p , , （2m -1） p 1 1 1 1 1中的全体元素，筛除属于集合3p , 5p , 7p , 9p , , （2m -1）

22、 p 22222中的全体元素，筛除属于集合3p , 5p , 7p , 9p , , （2m -1） p 33333中的全体元素，筛除属于集合3p , 5p , 7p , 9p ,（2m T）t t t t tp 中的全体元素。其中（2m T）p为不大于奇数M的最大奇数,（2m T）t 1 1 2p为不大于奇数M的最大奇数，（2m-1） p为不大于奇数M的最大奇33数，（2m -1） p为不大于奇数M的最大奇数，（2m-1） p为不 t-1 t-1 t t大于奇数M的最大奇数。我们令集合 A=3p , 5p , 7p , 9p , , （2m -1） p U 3p , 5p ,1 1 1 1

23、1 2 27p 9p （2m-1） pU3p 5p 7p 9p （2m-1） p2222333333UU 3p , 5p , 7p , 9p ,（2m -1） p ,则集合A中的元素均t t t t t t为奇合数。设关于偶数 2m 的全体虚合数组成的集合为 B 由定义 4 可知，因为集合AUB中的任一元素都能组成合对子，所以只要我们 探讨得出关于偶数 2m 的全体虚合数组成的集合 B 与全体奇合数组成 的集合A的并集不包含集合1, 3，5，7, 9,，M；那么集合1, 3, 5，7，9，M与集合AUB的差集中的任一元素必然都能组成 素对子，即集合1, 3, 5, 7, 9, M与集合AUB的

24、差集中至少 有两个奇素数P和q，使得p+q=2m。、当偶数加中含有奇素数因子p (i=1, 2, 3,，t)时，i对于集合p , 3p , 5p , 7p , 9p , , (2m T)p中任一奇数g,奇iiiiii数(2m-g)仍能被奇素数p整除；说明奇数(2m-g)为奇合数或者为 i关于偶数2m的虚合数。若在集合1, 3, 5, 7, 9, M中筛除属 于集合p , 3p , 5p , 7p , 9p , , (2m T)p中的全体元素，由iiiiiii引理 4 和引理 6 以及引理 7 可知 那么筛除后集合1 3 5 7 9 M中剩下元素的个数X可转化为下列计算公式：X=W-W/p =W

25、 (1-1/p )。ii、对于两个均不大于pi丁的奇素数p和q , pq ,根据引理4 ,对于奇数 M 关于任一小于奇数 M 的奇素数 q 又因为偶数 2m 相当大 那么集合q , 3q , 5q , 7q , 9q ,(2uT) q中元素的个数与集合 1 , 3 , 5 , 7 , 9, , M中元素的个数的比值约等于1/q ,其中(2u-1) q 为不大于奇数 M 的最大奇数；又因为在集合13 5 7 9M中筛除属于集合p , 3p , 5p , 7p , 9p ,(2v-1) p中全体元素 的个数不少于在集合1 , 3 , 5 , 7 , 9,M中筛除属于集合q , 3q , 5q ,

26、7q , 9q ,(2u-1) q 中全体元素的个数，其中(2vT) p为 不大于奇数M的最大奇数；我们设在集合1, 3, 5, 7, 9,，M 中筛除属于集合p, 3p, 5p, 7p, 9p, (2vT) p中的全体元素 后，剩下的元素组成的集合为C,设集合C中能够被奇素数q整除的 元素组成的集合为D,那么集合D中元素的个数与集合C中元素的个 数的比值不小于集合q, 3q, 5q, 7q, 9q, (2uT) q中元素的 个数与集合1, 3, 5, 7, 9, M 中元素的个数的比值。这是因 为对于集合 D 中元素的个数与集合 C 中元素的个数的比值而言,假设 我们返还回去，分母中返还的奇

27、数个数为(W/p),分子中返还的奇数 个数为(W/pq),因为(W/p)(W/pq),所以分母中返还的奇数个 数至少不少于分子中返还的奇数个数；故有(W/q) /WWW (1-1/p) /q/W(1-1/p) ，也就是说按照上述计算的情形可得出这样的结论， 即含有奇素数因子q的全体奇数在集合1, 3, 5, 7, 9,，M中所 占的比例不大于集合 D 中的奇数在集合 C 中所占的比例，而实际上在 公式计算中集合 D 中的奇数在集合 C 中所占的比例反而被扩大了。同理可得，W(1-d/p )(1-d/p )(1-d/p )(1-d /p )(1-d/p ) TOC o 1-5 h z 11223

28、3i-1i-1i i(1-d /p )(1d /p ) /p /W (1-d /p )(1d/p )(1d/p ) i+1i+1t-2t-2t112233(1d /p )(1-d/p )(1-d /p ) (1d /p ) WW(1-d/p )i1 i1 i i i+1 i+1 t2 t2 1 1(1d /p (1d /p )( 1d /p )(1d/p)(1d /p )( 1d /p )233i1i1i ii+1i+1t2t2(1d /p ) /p /W (1d /p ) (1d /p ) (1d /p ) (1-d /p ) t1t1t112233i1i1(1d /p ) (1d /p )

29、 (1-d /p ) (1d /p )，其中 d =1 或i i i+1 i+1 t2 t2 t1 t1 i2 (i=1, 2, 3,，t)；原因是由W (1d /p ) (1d/p ) (1d/p ) 112233( 1d /p ( 1d/p ( 1d /p ( 1d /p ( 1d /p /p/Wi1i1i ii+1i+1t2t2t1t1t(1-d /p )(1-d /p )(1-d /p )(1-d /p )(1-d /p )(1-d /p )1 1 2 2 3 3 i-1 i-1 i i i+1 i+1(1-d /p )(l-d /p )还原到W(l-d/p ) (1-d/p ) (1

30、-d/p )t-2 t-2 t-1 t-1 1 1 2 2 3 3( 1-d /p ( 1-d/p ( 1-d /p ( 1-d /p /p/W( 1-d/pi-1 i-1 i i i+1 i+1 t-2 t-2 t 1 1( 1-d/p( 1-d/p ( 1-d /p ( 1-d/p( 1-d /p 2 3 3 i-1 i-1 i i i+1 i+1(1-d /p，那么分母中要返还实际上被筛除的含有奇素数因子t-2 t-2p 的某些奇数，分子中要在这些奇数中返还实际上被筛除的既含有 t-1奇素数因子p又含有奇素数因子p的某些奇数。t-1 t(3 、当偶数 2m 中不含有奇素数因子 p (i=

31、1，2，3， ，t 时i对于集合p , 3p , 5p , 7p , 9p，(2m T ) p中任一奇数g,则i i i i i i i奇数(2m-g)不能被奇素数p整除；说明奇数(2m-g)(除g二p夕卜)ii为奇合数或者为关于偶数加的虚合数。若在集合1, 3, 5, 7, 9,M中除了要筛除属于集合p , 3p , 5p , 7p , 9p，(2m T)pi i i i i i i中的全体元素，同时在集合1, 3, 5, 7, 9,，M中还要筛除属于集合 (2m-3p ), (2m-5p ), (2m-7p ), (2m-9p ), (2mTlp ),，i i i i i2m- (2m-1

32、) p中的全体元素，那么由第(2)的情形和引理4以ii及引理 6 和引理 7 以及引理 8 和引理 9 可知,则筛除后集合1, 3, 5,7, 9, M中剩下元素的个数X可转化为下列计算公式：、当(2m-p )为奇合数时，计算公式为X=W-2W/p=W (1-2/p )。i i i、当(2m-p )为奇素数时，计算公式为X=W-2W/p +2=W (1-2/p )i i i+2。上面第情形的计算公式中等式右边为什么要加上 2 呢,原因是奇素数p和奇数(2m-p )未必要筛除，当奇数(2m-p )为奇素数时,i i i奇素数p和奇数(2m-p )都不能筛除，当奇数(2m-p )为奇合数时,i i

33、 i奇素数p和奇数(2m-p )都要筛除。然而在计算筛除的计算公式中,ii奇素数P实际上计算了两次，即当奇数(2m-p )为奇素数时，奇素ii数p和奇数(2m-p)都筛除了，那么多筛除的要返还，所以就有计ii算公式 X二W-2W/p +2=W (1-2/p ) +2；然而 W (1-2/p ) +2W (1-2/p )。i i i i(4)、在集合1，3，5，7，9,，M中筛除属于集合p，3p，115p，7p，9p，(2m -1) p 中的全体元素，筛除属于集合p，3p， TOC o 1-5 h z 11111225p，7p，9p，(2m -1) p 中的全体元素，筛除属于集合p，3p，222

34、2335p，7p，9p，(2m -1) p 中的全体元素，筛除属于集合p，3333t3p，5p，7p，9p， ，(2m T)p中的全体元素，以及筛除关于偶 t t t t t t数 2m 的全体虚合数；根据上述(1)和(2)以及(3)中分析的情形由引理 5 和引理 7 以及引理 8 可知，我们可以把按照上述这样的情形 筛除后集合1, 3, 5, 7, 9,，M中最后剩下元素的个数转化为下 列计算公式：Y= W( 1-d/p ) +e ( 1-d/p ) +e ( 1-d/p ) +e t t-13 2 1111 1222 2333 3( 1-d /p ) +e ( 1-d/p ) +e ，其中

35、 d=1 或 2， e=0 或 2，t-2 t-1 t-1 t-1 t-1 t t t t i i(i=1, 2, 3,，t)。第1、当偶数加中含有奇素数因子p时，那么d取值为1, eiii取值为 0；第 2、当偶数 2m 中不含有奇素数因子 p ，(2m-p )为奇素数时那ii么 d 取值为 2， e 取值为 2；ii第 3、当偶数 2m 中不含有奇素数因子 p ，(2m-p )为奇合数时，那么 d 取值为 2，e 取值为 0。ii对于上述计算公式 Y= W（1-d /p ）+e （1-d /p ）+et t-1 3 2 1 1 1 1 1 2 2 2（1-d /p ）+e （1-d /p

36、）+e（1-d /p ）+e 而言，3 3 3 3 t-2 t-1 t-1 t-1 t-1 t t t t由上述第（2）和第（3）分析的情形可得，原因是：Y=W （1-d /p ）+e ；11 11Y =W（1-d /p ）+e - W（ 1-d/p ）+e d /p +e = W（1-d /p ）+e21 111 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1（1-d /p ）+e ；1 2 2 2 2Y=W （1-d /p ）+e （1-d /p ）+e - W（1-d /p ）+e 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1（ 1-d/p ）+e d/p+e=W（1-d/p

37、）+e （1-d /p ）+e 2 2 2 2 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2（1-d /p ）+e ；3 3 3IIIY =Y= W（ 1-d/p ）+e （1-d /p ）+e （1-d /p ） t t t-1 3 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3+e （1-d /p ）+e（1-d /p ）+e 。3 t-2 t-1 t-1 t-1 t-1 t t t t又因为剩余个数W （1-2/p ） +2剩余个数W （1-2/p ）,我们不妨 ii令 Y，二 W （1-d/p ） （1-d/p ） （1-d/p ）（l-d /p ） （1-d/p ）1 1 2 2 3 3 i-1 i-1 i i（1-d /p ）（1-d /p ）（1-d/p ）；其中 d=1 或 2（i=1， 2， 3， i+1 i+1 t-1 t-1 t t it）。第1、当偶数加中含有奇素数因子p时，那么d取值为1； ii第