随机过程答案2

1、2. （1） 求参数为pb的 分布的特征函数，其概率密度为 b ppx x bx ,x 0b 0, p是正整数（2）求其期望和方差。p0 x 0（3）证明对具有相同参数b 的 p 具有可加性。（1） 首先，我们知道 函数有下面的性质：p p 1!根据特征函数的定义，有f X t jtX jtxpxdx e b ppp1ebx dx 0b p0 x p1eb jt x dx bp1p1b jt x bpp p2b jt xp jtx0 pb jt0 xedx b pp xp2ebjtxdxp b jt 0 b pp 0 b jt xpb jtp1 0 x edxp bppbppb jtpb jt

2、所以bpfX b jt（2）根据期望的定义，有 bp1bxbpp bxmX EX xp x dx xpedx p0 x edx bp1p bx bpp p1bxpbx 0 pb 0 edx p ppp1bx p pb 0 p x类似的，有edxp x dxb bEX2 x 2pxdx 2 b px p xp1ebx dx pbpbx bx dxbp1p1bx b p p 1 p bx pbx0 p0 x edx b pp p 1bxpebx dx p 1p b pp1bxp1p b20 p 1p b 2peb2 p x dxX 的方差为DXX2mXpb 2 p 2b pb2（3）5. 试证函数

3、 e jt e jnt 为一特征函数，并求它所对应的随机变f tejt量的分布。解. 1.3.2（10页）, f连续非负定， f01。注意到ejt 1ejnt ejt 1ejt ejt njkt1jktf t ejt1en k 0en k f f 0 1 . f 是非负定的（1.3.3，第 8 页。对任意给定的自然数 M t1 t2 ,tMMa1 , a2 , aM ，由于M以及复数MMi1 k 1AMMi1 k 1fttkai ak ejtitkejntitkMi1 k 1n1 e j ti tMi1 k 1ai akMMi1 k 1AMMi1 k 1fti tk ai ak ejtitke

4、jntitkMMMi1 k 1n1 e j ti tk MMMi1 k 1ai akMM e j tk tii 1 e jntk ti ejtktiak aik 1 i1 A所以 A 是实数。其次，容易证明对任意l 1,2,n, 函数e n是非负定f f 是特征函数。f 1.3.1（第10 页px 1 ftejtxdt 1 ejtxejktdt2 2n k1 1 n2n k12 x k 1 nn k 1 x k 5. f分布。11t为一特征函数，并求它所对应的随机变量的MM解. ff01f任意给定的自然数M ，实数t1t2,tM 以及复数a2,aM ，首先， 由于MMMMA MMft a a

5、1a a ，2i k2i ki1 k 1iki i1 k 11ttk MM显然 A 是实数。其次，MMMMA MMft a a 1a a2i k2i ki1 k 1iki i1 k 11ttk M 1M a aM1maxti i,ktk2i ki1 k 11 1 max1t t 2i,kikf是非负定的。a1 a2 2 0最后，根据定理1.3.1（第10 页，px 1 e jtx f 11e jtx dt x , 1t2ex127. X X ,X 相互独立服从正态分布 N a, 2 n 维向量12X1,2,X1 nX in i1的概率密度函数。12解. X X ,X 相互独立服从正态分布 N

6、a, 2 n 12X 1 , X 2 , X n 的均值向量为 a, a, a，协方差矩阵为B X 1 X 2 ,X n 的分布为N B。 2 nX in i1。令l 1则 a，n211 2lBl nnn根据性质1.4.4（第14 页， 2 2X N ,lBl Na,n X1X2和X3 N X1 X2和2 X1 X3组成的随机向量Y1,2 的特征函数。解 . X X , X , ，则112X N 0,11Y Y ,Y X , X X , X , X0 XA121213110113 021A1 A 10 10112根据性质1.4.5（第15 页，21Y NY, N12根据定理1.4.1（第13

7、页，11 1 22f t exp j t tB t expt t t t YY122 12211 2212X X 和X N12（1）随机向量X 1 X 2 X 3 的特征函数（2）设S1 X1,S2 X1 X2,S3 X1 X2 X3,求随机向量S1,S2,S3 的特征函数。（3）1 X2 X1和2 X3 X2组成的随机向量1,2 的特征函数。跟上题的解法完全一样。15. 设 X ,Y是相互独立同服从正态分布 N 的随机变量，讨论U X 2 Y 2 和 V XY的独立性。解. 我们知道，随机向量X ,Y 的概率密度函数为f X ,Yx,y 1 e2 x2 y22根据U X 2 Y 2 ，有U

8、0 。由V Y知 X YV ，代入U X 2 Y 2 ，可得U YV2 Y2 1V2Y2，所以Y 由两个解，即：U1 V 2U1 V 2U1 V 2U1 V 2类似的，UV1UV1V2 1V2UX 1 Y UV1VUV1V2 1V2U Y 1 1下面我们求Jacobi 行列式。容易验证：X1 U，1 ，U1U1V23/2V2 U 1 V 2所以，Y1 2 U 1 2 U 1 V 2J 1，X1UUX1UU ，UV1UV1V23/2X1VX1VV1,V21 V 2 类似地，J X 2 ,Y2 12,VV2因此，随机向量U ,V 的概率密度函数为gU vf X,Y uv1 v 2u1 uv1 v

9、2u1 v 2f X ,Yuv1 v 2u1 v 2uv1 v 2u1 v 211uv2u2 1 2exp 2 1v2 1 v 2 21 v 2 2 11exp u2 v2由上式可得U 和V 的概率密度函数：g u gu, vdv 11exp udvUU v221 expu 1dv 2u 2 1v2exp22g v gu, vdu 21exp udu2VU v2 1 exp u du 11 exp u 1v20 v222 02 1222所以， 1 vgUV u,v gU ugV v即U和V 是独立的。17. X ,Y 的概率密度函数为试求EX Y y。 1 px,y yxey,0 x 0, y

10、 0其它解.容易验证，Y 的概率密度函数为pY y px,ydx yxeydxe y e y0 y1x0 y 0 e0y dxey 1yy e y所以 X 在Y y 下的条件概率密度函数为（第 24 页）px | ypx,y1 y ey 1 ex yX |Y相应的条件数学期望等于pY yeyyEX Y y xpXx | ydx xxe y dx y,y 000 y习题二2设 X t Acost B sin t ，其中 A, B 是相互独立且有相同的 N 0, 2 分布的随机变量，是常数， t , 。试求：X的一个样本函数；X的一维概率密度函数；X的均值函数和协方差函数。解（1）B N2A B

11、0 X t 0 是一个样本函数。（2） 由于 X t A, B cost : A, BC 。根据性质 1.4.4（第 sint知，对任意t ，2X N0,CC N2 2 X 的一维概率密度函数为 2 2 x2 t （3）容易计算：pX e 2 2mX t EX t 0CX s, t covX s, X t covA coss B sin s, A cost B sin t coss cost covA, A coss sin t covA, BsinscostcovB,AsinssintcovB,B coss cost sin s sin t 2 2 coss t 4设W t , t 0是参数

12、为 2 的 Wiener 过程，求下列过程的均值和相关函数：（1）XW2 t0（2）XtW1 t 0 （3）Xc2t t0（4）X W tW t 0解 （1） EX2t 2 tWX假设t s ，有WXXR s,tEXsX22X EWsW02WtWsWs2 EWsW02 WtWs2 WtWsW2s EWsW02WtWs2 2EWsW02WtWsEWsW02W2s由于t 是过程，所以是独立增量过程，所以EWsW02 WtWs2 EWsW02 EWtWs2 2s2 t s EWsW02 WtWs EWsW02 EWtWs 0EWsW02W2s EW4st 2 s 2t因为 fW s t e 2，所以

13、根据性质1.3.6（第9 页，有W (4sW (j4f 4 0 4 s 2所以，XR s, t 2 s 2 s 4 s 2 4 s 2 4 s 2 4 st 4 s 2X类似的，当s t 时，有XR s, t 4 st 2 4t 2X（2）EX 1 0XEtWt R s,tEXsX 1 tW 1XEsWs t 11 st2 min1,12tstEs t s t X（3） EX 2t 0X假设 t sXR s, t EX sX t Ec 1W c 2 sc 1W c 2t c 2 EW c 2 sW c 2t X c 2 2 2t W 2 s W 2 c 2 EW c 2 s W c 2 0W

14、c 2t W c 2 s c 2 EW 2 c 2 s c 2 2c 2 s 2 sX所以 R s, t 2 mins, tX（4） X EX tW 0RX s, t EX sX s sW tW EW sW t tEW sW t sEW sW t stEW sW t stststst2tNPoisson 3次电报。求：一上午（8 12 点）没有接到电报的概率；解. （1）N是Poisson流，满足 t3tP N s t N s n ,t 0所以一上午（8 点到 12 点）没有接到电报的概率等于 340 P N 8 4 N 8 0 e 3 4 e 120!（2）类似的，用T1 表示下午第一个电报

15、的到达时间。那么T1 的分布为（定理 2.6.3,第 41 页）T1F T1t1t101e3t设N1t,t 和N2t,t 分别为强度为12的独立的Poisson过X N 1 N 2 t 0 ，求t 0的均值函数和相关函数。解. t 0的均值函数为Xt EXt EN1t N2 t 0X t , t 0的相关函数为RX s, t EX sX t EN1s N2 sN1t N2 t EN1sN1t EN1sN2 t EN2 sN1t EN2 sN2 t根据定理 2.6.1（第 40 页）, 有EN sNRs,t2stmins, t 1EN 21N111sN2s,t stN2N22222mins,t

16、因为N1t,t 和N2t,t 相互独立，所以1EN1sN2 t N sN t121EN2 sN1t12st因此R s, t 2 mins, t 2 st1X12121 21 12 st mins, t 习题三设随机过程(t),tTX(ta， 其中a, 服从0,2 上的均匀分布，为常数，证明RX (s, t) a22cos sX 解. （1）RX s, t EX sX t Ea coss a cost a 22Ecoss a 2t2tEcosst2 a2 cosst a2 2 cosst2r 1 dr（2）后先，2 a2coss2 0tX (t) a cost a cost cos a sint

17、 sin 根据性质3.3.3（第57 页，X (t) a sint cos a cost sin a sint X(t)均方可微， f (t)是普通的可微函数，则 f (tX (t)均方可微，且有f t)Xt) f (t) X (t) f (t) X (t)证明。 根据随机变量可微的定义3.3.1（第54页，只需证明 ftXt fXf(t)X(t) f(t)X(t)0tas t 0因为， f t t X t t f t X t f (t) X (t) f (t) X (t)t ftXt fXt fXt fXf(t)X(t) f(t)X(t)t ftXt fXt f (t)X(t) t f X

18、t f X f (t) X (t)t ftXt fXt f(t)Xt t f X t f X f (t) X (t)tf (t)X t t X t ft f f (t)tXtf (t)XtXf X t X X (t)tX f 是普通的可微函数，所以 ft f f (t) 0, XtXX(t) 0当 t 0tt另外，由定理3.3.1（第54，Xt均方可微推出Xt均方连续，XtX 0 当t 0 。综上所述，我们有 ftXt fXf(t)X(t) f(t)X(t)0t当t 0 。所以，根据定义，f t)Xt) f (t) X (t) f (t) X (t)习题四11t的自相关函数为 e ，对满足X

19、X Y 的宽平稳过程,t X 的均值函数、自相关函数和功率谱密度；X 和Y 的互相关函数和互功率谱密度。解.由题意可知， A 1, B 1, C 1, D 0 ，所以脉冲相应函数为CeAtBett 0m X (t ) mY h (t ) dt m e tY Y m Y（定理 4.4.2，第 83 页）下面我们先求SY ，由维纳-辛钦公式（定理 4.3.1，第 76 页）知S R ej d e ej d 2 Y 1 2另外，脉冲相应函数的Fourier 变换为H dt ete jtdt 1 j，12所以H2 1Y1Y。根据定理4.4.2（第83 页，我们有SX H2S2122所以，根据定理4.3

20、.2（第76 页，R 1 S ei dX X12ei d 12 2 ?X 和Y 的互功率谱密度为（定理 4.4.3,第 84 页）SH1 j2 jYXX 和Y 的互相关函数为Y12 12122Rh* hsR sdsYXY hsR sds es e s ds当 0 时，0 Ys s 0 se3s当 0 sRYX 0 e eds e eds 2RYX 0 eesds e2因此，我们有 e3,2e 0 0215. 已知平稳过程（参数连续）的谱密度a, b0X0SXb2其它a 2aa 0 0n n其它2 SXk 1kk2 2k( k ,k为正数)解.（）根据定理4.3.2（第76 页，R 1 S j

21、dX X 1b ae j d 1 e j b a1 e jb b2 jb j a1 j2jsinb asinb 平均功率为R0lim lim a sinb lim ab sinb abX000 b（2）R 1 S e j d 12ab2ejd 1a b 2 e j dX a 2a b2 1 j 2a ja ja j 2a b2 2 j 2 j b2 e e 2 jsin 2asin a 2 cos1 sin ab2 ab2sina ab2RX 0lim R 0limX 0 X2 cos asin alim 0 2cos a1（3） 1 1 2RX Se j k kn22 n2e j dn1 /

22、 j kkkk kk kke kdk 1k / 2 1n 21 kk 1 k2ek XX 1 2RX 0lim R 0limn0nkk 2ekk kn2kn19.tSX 为其谱密度函数，试证： 对任意的h0Y XhX是平稳过程（即平稳过程具有平稳增量，并求Y 的谱函数。解. 显然， EX h X 0RY EY Y t Y t EX h X h X EXhXhEXhXEXXhEXX RX RX h RX h RX 2RX RX h RX h根据定义4.1.2（第71页，Y 是平稳过程。根据定理4.3.2（第76 页，S R t e jt dtY Y 2 RX tedt jt Rhejtdt Rt

23、 he jt dtX 2 e jh e jh S X 1coshSX 22. 设X n , n 0,1,2,是白噪声序列，试证明Y 1 XnmX nm1 是平稳时间序列，并求其相关函数及谱密度。nn是白噪声序列，所以EX n 0,n 0,1,2,RX n,nlEXXnl l 0l 0由上面两式可得，EnE1XmX nm1 0Y n,nl Ennl E1 Xmn X nm11 mnl X nl Xnl m1 1 n n l m 1 1m 2 m l m2根据定义4.1.2（第71页n 是平稳过程。YS R ejk Ym k e jkm 2kk26.设Y 是均方二次可导的平稳过程， X 是均方连续

24、的平稳过程，且满足：0Y Y 2Y X 0试用 X 的谱函数表示Y 的谱函数及 X 与Y 的互谱函数1解。令Y Y 。则11Y Y1Y Y 2Y X t ，11，即Y 001 Y 0 2 Y 1X0 1 Y 1Y 1 所以A 01 ,B 0, C 1D 0 ， 2 10 At 1 0ht CeB 0exp1,t 00 H ht e jtdt ，SY H S ，X2XS XY HRH H S ei d30设X Acostt,，其中，是常数，是相互独 服从区间X 的均值函数的各态历经性。解. 容易验证，mX EX EAcost RX EX t X t EA A EA2 cost EA2 1 cos

25、 2下面我们验证均值遍历性（定理4.6.1，第93 页：lim 1 2T 1 m2 T T 0 X lim 1 2T 1 EA2 1 cos dT T 0 2EA2 EA22T 容易验证，limT 2Tcos0dT20cosdEA22T EA2 2TlimT 2Tcos0dlimT 2T0sin0 limTEA2 TEA2 T0EA2 2T EA22T limTT2 cosdlim2T 4T 0 02d sinEA22T 00 所以，limT 4T2sinsind 0EA22T EA2 limT0EEA22T0dEA2limT limEA2EA2sin4T 20 sindlimTlimTsin

26、d00所以均值具有遍历性。习题五nn 是随机差分方程Xn Xn1 In 的解其中是已知常数，X 0 0 ，而I n , n 1,2,是独立同分布的取可数值的随机变量。试证明X n , n 1,2,是马氏链。证明.容易证得：PX n1 j | X n in , X n1 in1 , X 1 i1 , X 0 0 PX n1 X n j in | X n in , X n1 in1 , X 1 i1 , X 0 0 n1 In1 类似的，j in | X n in , X n1 in1 , X 1 i1 , X 0 0j in PX n1 j | X n in PX n1 X n j in | X n in In1 jin所以n1 j| Xn in,Xn1 in1,X1 ,X0 n1 j | X n in ，即X n , n 1,2,是马氏链。有两个状态0和1的马氏链Xn,n ,p q 1 。试征：P pqqpqp（1）n 阶状态转移概率矩阵为 11pqn1pqn P n 2 pq1pqn （2）0 ，求0 1 | X 1 证明：1 ）首先，根据 C-K 方程（推论 5.2.1 ，第 105 页Pn Pn ,n 1,2, 。下面我们用数学归纳法证明式（1）成立。当