向量空间与向量内积学习总结

1、向量空间与向量内积学习总结向量空间又称线性空间，是现代数学中的一个基本概念，是线性代数研究的基本对象。 在解析几何学里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进 一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。向量空间是线性代数的中心内容和基本概 念之一。它的理论和方法在科学技术的各个领域都有广泛的应用。一、向量空间的概念定义：设V为n维向量的非空集合，R是实数域。若V对加法和数乘运算封闭，即va ,0 ev,有a +p eV；va ev, A eR,有入 a ev,则称集合V为向量空间(vectorspace )。向量空间的一个直观模型是向量几何，几何上的向量及相关的运算

2、即向量加法，标量乘 法,以及对运算的一些限制如封闭性,结合律,已大致地描述了“向量空间”这个数学概念 的直观形象。三维向量的全体R3,就是一个向量空间。因为任意两个三维向量之和仍为三维向量， 数久乘三维向量也仍为三维向量，它们都属于R3。可以用有向线段形象地表示三维向量， 从而向量空间R3可形象地看作以坐标原点为起点的有向线段的全体。类似地，n维向量的 全体Rn,也是一个向量空间。不过当n3时，它没有直观的几何意义。向量空间的子集有时也可以构成一个向量空间。定义：设a , 0是两个已知的n维向量，则由其一切线性组合形成的集合V=x=A a +p 0 IA , p eR是一个向量空间，称为向量a

3、 , 0的生成空间(spanning vector space)。一般地，向量组a，a k的生成空间是V=x=A 1a 1+A ka k|A 1，A keR，向量组a 1，, a k的生成空间记作V(a 1，a )定义：设有向量空间V, V2，如果Vf V2，就称V是V2的子空间(subspace).对给定的向量空间V,其常见的一类子空间是由V中有限个向量的全体线性组合形成的 生成空间，而n元齐次线性方程组的解空间就是由基础解系生成的Rn的子空间。例如，向量空间V=xx=(0,x2,xn)T,x2,xneR是Rn的子空间。特别地，Rn也可以 看作是自身的子空间。二、向量空间的基与维数定义：设a

4、 i, a 2，a f是向量空间V的向量，且满足a 1, a 2，, a r线性无关 V中任一向量都可以由j，a线性表示，则称a 1，a 2，a r为向量V的一个基(basis), r称为向量空间V的维数(dimension), 记为dimV=r，并称V为r维向量空间。只含零向量的集合也是一个向量空间，它没有基，它的维数规定为0。若把向量空间V看作向量组，这V的基就是向量组的最大线性无关组，V的维数就是向 量组的秩。定义：设a i, a 2，a f是向量空间V的一个基，a ev，若a =x1a 1+x2a 2+xra r，则称有序数组Of”，,x) T为向量a在基a 1, a 2，,a r下的

5、坐标(coordinates),记为(xX/ ,x) To由向量组线性表示的有关性质可知，一个向量在给定基下的坐标是唯一的。注意：向量空间的维数与向量的维数是两个不同的概念向量空间维数：其基所含的向量个数 向量维数：此向量所含的坐标个数。向量空间V中的a是n维向量，而a在给定基下的坐标是r维向量，两者不同。向量空间V的基不是唯一的，在V中取定两个基时，任一向量a WV就有两种坐标。下 面给出当向量空间由一个基(旧基)a 1, a 2, a 3变成另一个基(新基)0 1, p 2, P 3时, 空间任一向量a = (aa 2, a 3)t的旧坐标xi?x2,x3与新坐标科豆畀3之间的联系。由 A

6、A-1=E,BB-1=E知 ( a 1，a 2，a 3)A-1=E=(p 1，p 2，p 3)B-1，记 P=A-1B,得 (p 1，p 2，p 3)=(a 1，a 2，a 3)P，(1)上式称为从基aa 2，a 3到基p , p 2, p 3的基变换公式，矩阵P称为从基aa 2, a 3到基P 1, p 2, p 3的过渡矩阵。由 Ax=By=a有 y=B-1Ax=P-1x，(2)上式称为从基a，a 2, a 3到基p 1，p 2, p 3的坐标变换公式。三、内积的定义及性质定义：设有Rn中向量a二a 1a2,p =r b)1b2i a 丿i b丿nna b + a b Hb a b称ii

7、2 2n n为向量a与B的内积(innerproduct),记作/a，p J,即a b + a b bb a ba ，p J= i i 2 2n n向量的内积是一种运算，其结果是一个实数，将向量看作列矩阵，由矩阵乘法内积还可表示为a ，p J=a Tp内积的运算性质对称性:a, p = p, a；线性性:iai+k2a2,P = q叫 P+k2a2,卩；正定性:a, a 0；且a, a = 0 oa = 0 定义：n维实向量d的长度或模为llall =llall =2向量长度的性质(1)(2)(3)(4) 单位向量:正定性：|a| 0;且|a| = 0oa = 0; 齐次性:|ka| = |k

8、|a| (kwR);Cauchy 不等式：|a, 0| | 叫| 0|; 三角不等式:|卩| |a|+|0|.|a| = 1的向量.非零向量a单位化或标准化:a0= |a|卜1a五、向量的夹角与正交向量组设a,険旳 若a, P0,则定义a,卩的夹角为9=arccos tia正交向量组:两两正交，若a, 0 = 0,即申=兀/2,则称a与卩正交；a, 0 = 0,则a0,即0与任意a正交向量组:两两正交，J= 0, if i 工 j工 0, ifi = j标准正交向量组:由单位向量组成的正交向量组， ij ij设a】,a2,as是正交向量组，则a” a2,as线性无关.线性无关的向量组a】,a2

9、,，as不一定是正交向量组，不过总可以将其改造成为正交向 量组01,P2, 0s，且与a】,a2,a等价。下面给出施密特正交化法。施密特正交化过稈:0 = %禹=逐_必011 久_施密特正交化过稈:0 = %禹=逐_必011 久_A-ilIA-d A-iJ组髦施密特正交化方法再将0赧；单位化得：A AA顾*商 7炳六、正交矩阵定义：若阶方阵A满足At A = E得到一 组标准 正交向 量组称A为正交矩阵.定理：N阶方阵A为正交矩阵的充要条件是A的n个列(行)向量组成的向量组是标 准正交向量组正交矩阵的性质如果A为正交矩阵，则A可逆，且A-】=AT；如果A为正交矩阵，则|A|=1；如果 A, B 都是 n 阶正交矩阵，则 AB 也是 n 阶正交矩阵；如果A为正交矩阵，则AT，A-i，Ak也是正交矩阵。七、正交变换定义：设A为n阶正交矩阵，x, y为n维向量，则称线性变换y=Ax为正交变换。 定理：正交变换