指数的运算与指数函数

1、 PAGE PAGE 16 / 16【知识梳理】指数的运算与指数函数指数的运算整数指数幂我们把 a nan次幂a叫做幂的底数n叫做幂的指数。在上述定义中， n为整数时， 这样的幂叫做整数指数幂。整数指数幂的运算法则：（1）aman=（2）(am )n （3）ama（4）(ab)m an3) 此外， 我们作如下规定： 零次幂： a0 0；负整数指数幂： a n 1 (a n N)；an根式：n次方根： 一般地， 如果 xn axan次方根n1nN 。注：n an a当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数，分别表示为n an a负数的偶次方根在实数范围内不存在；n a当n是奇数时正

2、数的n次方根是一个正数负数的n次方根是一个负数都表示n an 00 的任何次方根都是 0n 0 0。a n次方根叫做 a n次算数根。n an a当n an a叫做根式n 叫做根指数a 叫做被开方数注：当 n 是奇数时， 当 n 是偶数时， a ；n ann anan ann ana(a 0)有理指数幂我们进行如下规定：n a1an （ a 0）n a1m那么， 我们就将整数指数幂推广到分数指数幂。此外， 下面定义也成立：ma n n am (a 0, m, n N * , n 1)ma nm1ma n1(a m,nN*,nn am注0 的正分数指数幂等于 0n am规定了分数指数幂的意义后，

3、 指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数幂。3) 有理指数幂的运算性质：（1）a r a a r s (a 0, r, s Q) ；（2）(ar)s ars(a 0,r,sQ)；（3）(ab)r ar as (a 0, b 0, r Q)题型一 根式与幂的化简与求值【例 1】.求下列各式的值：32232252663223225266427432【例 2】.计算下列各式的值：2173 2（1）0.06432()0 23 8160.75（2）383 0.002105 2301【例 3】.化简下列各式：1a2b3abab3a2b3abab31 b 0（2）1 a1 1a222a1 a1221 a

4、2【过关练习】41ab 413 253 253 253 253 a（2）38a3b12322a 4b3 23 ab a3x 112.1）12 x 1xx31x3 x3 11x 3 1x 3 1（2）(a3 a3)(a3 a3) a2(1a4)a2(1a4)2 a4 a4 1 aa1aa1a （2）4 (1x)3aa21343.下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的4 (1x)3aa2134x11(1) x11 1 (x 0);(2)6 y y3(y0);(3)x3 (x 0)(4) a4 (a 0)题型二 含附加条件的求值问题11若3a ，则下列等式正确的是（）3A.ab1B.ab1C.a

5、1D.a1（2）x3 x2 x x28 x27x2 x1 1x1 x2 x27x28 的值.2x 1y2的值；xxyxyxyxy已知abx2 6x40的两个根，且axyxy【过关练习】abaabab已知2x2 a(常数），求8x 8 x的值.12已知a2 a133aa 的值.22a1 a122已知a2x 21，求2a3 x a3 x的值ax a x题型三 解含幂的方程与等式的证明【例 1】解下列方程（1）()x（2）4x 2x1 31411111111【例 2】已知ax3 by3cz4 ，且 1，求证(ax2 by2 cz2)3 a3 b3 c3xyz【过关练习】解下列方程 1x2（1）813

6、2x 9（2）22 x2 32x 1 0设abc 都是正数，且 4b 6c ，求证c 2 1 .2ab指数函数及其性质【知识梳理】指数函数函数 y ax(a0,a叫做指数函数.指数函数的性质（1） 定义域 :实数集合 R ；（2）值域 ：y 0;（3） 奇偶性： 指数函数是非奇非偶函数（4）a 1时， 函数 y ax (a 0a (,上为增函数； 0 a 1y ax (a 0, a 1) 在 (,) 上为减函数；（5）函数值：x 0时，y 1,图象恒过点（0，1；（6）a x 0 y 1a x 0 0 y 1.0 a 1, x 0时，0 y 1; 0 a 1, x 0 时， y 1.yax(a

7、2)(a)的图像经过点，求a.若指数函数f(x)的图像经过点9，求f(x)的解析式及f()的值.题型二 指数型复合函数的定义域和值域【例 1】.求下列函数的定义域和值域13x（13xx(（3）y2x(3（2）y 2 x41 1 x22 x31（4）y 22】 1xyy31x 2, x 2,2的值域.4 23】ya22ax 1(a0且a14a的值.111x 2y的定义域和值域.12已知集合Ayy()x1, x R ,则满足 A B B 的集合B 可以是（ ）121x 0 x.x1 x.xx223.3.y22x 2x1 2的定义域为P ，则下列结论一定正确的个数是（ ）。 M M M ； M ,1

8、；1 M ； 1 MA.2 A.2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个大小关系是（）。A:大小关系是（）。A:a b1c dB:ba 1d cC:1 a b d cD:a b1d c【例2】二次函数y=ax2+bx 与指数函数y=()x 的图象只能是下图中的（）ba【例3】函数yax3 3（a0，且a1）的图象恒过定点P，则定点P的坐标.【例 4】.画出函数 y=2|x-1|的图像，并根据图象指出这个函数的一些重要性质.，值域为 ，则区间 的长度的最大值与最小值的差.【例 【例 1】.如图是指数函数： y ax ， y bx ， y cx ， y d x 的图象，则 a、b、c、d 与 1

9、 的【例【例5.定义区间,x x )的长度为xx .已知函数y 2x的定义域为1212214.f (4.f (x axb 的图象如图所示，其中ab 为常数，则下列结论正确的是（）3.x01b xa （）A.BCD【过关练习】ff(x) ax(a0a) 0,2内的值域是a2，则函数y f(x) 的图像大致是（）2.2.已知y =()x ,y =3x,y =10-x,y =10 x,则在同一坐标系它们的图象 (113234)A.0A.0ba1B.0ab1C.1baD.1ab5.5.已知ab1f(xax b的图象不经过（）。A: 第一象限B: 第二象限C: 第三象限D: 第四象限6.6.yax b1

10、(a0a的图像不经过第二象限，则有（ ）ab1B.0ab1C.0ab0D.ab0题型四 指数及指数型复合函数的单调性的应用题型四 指数及指数型复合函数的单调性的应用a【例 1】函数 且 a1）在1，3上的最大值比最小值大 2 ，则 a=。【例 2【例 2】.比较下列各题中两个值的大小：（1） 5 1.8 5 2.5 7, 7（2） 2 0.5 3 0.5 3, 4（3）0.20.3,0.30.2【例 3】.求满足下列条件的x 的取值范围（1）3x1 9x（2）0.2x 25a5x ax7 (a 0,a 11x22x33的单调区间；y【例4】求函数5f (x) 2x1 4x在区间（0,1）上的单

11、调性，并证明【过关练习】【过关练习】4 4 133,23,223 313 , 42 1()x 1()x7,x0 2，若f(a)1，则实数a 的取值范围.x,x 03.3.f( )x 21x 2(a1) x2在区间(,4上单调递增，求实数 a 的取值范围.4.4.讨论函数y 的单调性 1x 1x14 2(1 3a)x 10a, x 75.已知函数 f (x) ax7,x ，是定义在R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围.题型五 指数型复合函数的奇偶性题型五 指数型复合函数的奇偶性【例【例】设函数f(x)kx-（a，且）.（1）求常数k 的值；（2）a1，试判断函数f(x)的单调性（不需要证明

12、），f (x2 2x) f (4 x2 ) .【例 2】.已知f(x)是定义在（-1,1）上的奇函数，当x ) f(x)2x4x 1求 f(x在（-1,1）上的解析式；求 f(x.【过关练习】f(x2x 1是奇函数，则使f(x)3成立的的x的取值范围.2x a已知 f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间,0上单调递.若实数a满足 f(2a11 ) f(2) 则a的取值范围.15x,x0函数 f(x)则该函数为（）5x ,x0A.单调递增函奇函数B.单调递减函数，偶函数C.单调递增函数，偶函数D 单调递减函数，奇函【题型六】 指数函数模型的实际应用【题型六】 指数函数模型的实际应用【例 1】.某

13、地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常4 分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm4 32ppm，经检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与棑气时间t(分存在函数关系 2(c，m 为常). 1mt(1)c，m 的值；(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm 为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含童才能达到正常状态？【过关练习】1.1.某工厂2016 年12 月份的产值是这年1 月份产值的k 倍则该厂在2016 年度产值的月平均增长率 我国我国2010 年底的人口总数为M,人口的年平均自然增长率为p,到2020 年我国

14、人口总数.【补救练习】35 135 13 a5311B.3 x2 x2C.a2a4a 81 a11(1)2 48A.aD. 2xD. 2x13 (x 3 2x 32112) 14x2.求下列各式的值：3（1）252（2）253225271 4 （3）9 643 03.化简下列各式3 a3.化简下列各式3 a2 a 6 a（2）a3b2 2b3 3a6b6 21 11 115 4.4.设a 213 123 113 3, b 3, c 3，则 a，b，c 的大小关系是。【巩固练习】【巩固练习】.已知函数f (x) ax1(x0)的图像经过点，其中a ,a 1，求a 的值以及f(x)的值域.2.已知函数f(x)5x ,g(x)ax2 x(aR)，若f(g(1)1，则a=.a, a 定义运算ababa b，如121，则函数f(x)2x 2x 的值域.xax (a xax (a 1) 的图象的大致形状是(x)A.B.C.D.设0 xA.B.C.D.y 4x 2 3 2x 的最大值和最小值y a2x 2ax 1a1，在区间上的最大值是14a 的值【拔高练习】1.1.f (x)cx 1,0 x cf (c2) 98c2x21,c x1（