连续计息问题

1、实验二连续计息问题【实验目的】.加深对极限、微分求导、极值等基本概念的理解。.讨论了微分学中的实际应用问题。.掌握MATLA歆件中有关极限、级数、导数等命令。【实验内容】若银行一年活期年利率为 r ,那么储户存10万元的人民币，一年到期后结算额为10 x(1+ r)万元。如果银行允许储户在一年内可任意次结算，在不计利息税的情况下，若每三月结算一次，由于复利，储户存的10万元一年后可得10X (1+r/4 )4万元，显然这比一年结算一次要多，因为多次结算增加了复利。结算越频繁，获利越大。现在我们已进入电子商务时代，允许储户随时存款或取款，如果一个储户连续不断存款取款，结算本息的频率趋于无穷大，每

2、次结算后将本息全部存入银行，这意味着银行要不断地向储户支付利息，称为连续复利问题。连续复利会造成总结算额无限增大吗随着结算次数的无限增加，一年后该储户是否会成为百万富翁如果活期存款年利率为 那么一年、三年、十年定期存款的年利率就定为多少才是等 价的【实验准备】.极限和连续极限是高等数学最基本的概念，它带来了很多深刻的结果。数列极限：如果对 0,存在正整数 N ,使得当n N时有I Xn a 1V则称a为数列Xn的极限，或称Xn收敛于a o记为lim Xn = a ,或 Xn- a( 2)n直观上表示：n趋于无穷大时，xn无限接近a。函数极限：如果当x-xo时，有f(x) 一 A,则称A为函数f

3、 (x)当x-xo时时的极限。 记为lim f (x) = A(3)x xo若仅当x x0且x x0,(或x v x0)时有f (x) 一 A ,则称A为f (x)当x - x0时的右极 限(或左极限)，记为 f(x0 0)(或 f(x 0)。当 f(x0 0) = f(x 0)时，f(x)的 极限存在且等于这个值。连续：若f(x0 0)=f(x)(f(x 0) = f(x),则f(x)在x0处右连续(或左连续)。 若f(x)在x0处右连续且左连续国，则称f (x)在x0处连续。若f (x)在区间(a, b)内每一点都连续，则称 f (x)在开区间(a, b)连续。进一步，若f(x)还在a处右

4、连续而且 在b处左连续，则称f (x)在闭区间a, b连续。定理1连续函数在闭区间上必然能达到最大值和最小值，且可取得最大值和最小值间的任意值。.微分与导数设x与y是相关联的两个变量，用函数表示为y = f (x)。对于x的一个无限小的增量x = x - x0 (称为差分)，引起y的一个无限小的增量y = f(x) f (x0),若 TOC o 1-5 h z y = A x + o( x)(4)其中A是不依赖于 x的常数，而o( x)是x的高阶无穷小量(即 o( x)/ x-0),那么 称f (x)在x0可微，并记为dy = A dx(5)其中dx, dy分别称为x和y的微分。函数f (x)

5、在点x = x0的导数定义为f(x0 h) f(x0)f (x0) = lim - (6)h 0 h它反映了在x0点附近函数f(x)的变化率。当f (x0)0,函数在x0点附近是上升的，反 之f (x0) 0,(或 f (X0)0且足够小，由(6)式的右极限得f仪)由(6)式的左极限得f仪)f仪)由(6)式的左极限得f仪)分别称为向前差商和向后差商。式平均得f (x0)hf(x) f(x h)h事实上，对于连续函数，两式正好求得右导数和左导数，两f(x h)f(x h)2h称为中心差商，用中心差商求得的导数精度较高。Taylor公式是微分学中一个非常重要的结论，当 f (x)在含有x0某个开区

6、间内具有直到n + 1阶的导数，那么当x ( a , b )有 TOC o 1-5 h z f (xn)2f (x) = f (x。)+ f (x) (x x) + (x x0) +2(x),、n J(n1)( ),.n1H(x x0) +- (x x0)(8)n!(n 1)!其中 是x0与x之间的某个值。Taylor公式表明，一个可微性很好的函数可局部地用多项 式函数近似地代替。特别地，当n = 0可得到 微分中值定理f (x) f 区)=f ( ) (x x)(9)它表明在x0与x之间存在一点，使得f ()恰为f(x)从x0到x的平均变化率，但中值定理不能给出的确定位置。当x离x0不远，且

7、f (x)在x0附近连续，有f (x) = f (x0)+ f (x) (x x)(10)它表明任意光滑函数可局部线性化，常用于非线性函数的近似分析和计算。.求极限、导数和 MATLA瑜令求函数的极限，使用命令limitlimit( F , x , a )返回符号表达式 F当x-a时的极限；.limit( F , x , a ,right)返回符号表达式 F当x-a时的右极限；limit( F , x , a, left)返回符号表达式 F当x一 a时的左极限。求函数的导数和Taylor展开式，可使用命令 diff、polyder和TaylorY = diff( X )返回向量X的差分；Y =

8、 diff( X , n )返回向量 X的n阶差分；diff( S , v)返回符号表达式 S对变量v的导数；diff( S , v , n )返回符号表达式 S对变量v的n阶导数；k = polyder( p )返回多项式 p的导数；k = polyder( a , b )返回多项式 ax b的导数；r = taylor( f , n , v , a )返回符号表达式 f关于变量v在a点处Taylor展开到n次式；有关上述命令的详细用法可查阅MATLA即助。例1,导函数的值能反映函数的变化。当当 f (xo) 0,函数在xo点附近是上升的，反 之f (xo) syms x;%定义x syms

9、 x; fun=x*x*cos(xA2+3*x-4); fun=x*x*cos(xA2+3*x-4);流义函数的表达式 fplot(fun,-2,2)%绘函数fun在区间2, 2内的图象 grid grid%添加网格h -15h -15-1 Q5 00.511.5图 函数f(X)= x2 cos(x23x4)在2, 2内的图象在图中可以明显看到 f (x)在和附近各有一个局部极小值点，在 1附近有一个局部极大%求函数%求函数fun的导函数 dfun=diff(fun)dfun = 2*x*cos(xA2+3*x-4)-xA2*sin(xA2+3*x-4)*(2*x+3) dfun=char(d

10、fun);%1 各 fun 转换成字符串 hold on%在图里继续绘图，图 1中fun的图形不变 fplot(dfun,-2 2,r)%在图里用红色线绘制导函数在区间 2, 2的图形图函数的单调性和导函数化情况： 化情况： hold off fplot(dfun, ,r)通过图可以直观地看到f(x)与f (x)的关系，进一步我们考虑区间,内函数的变%重新在另一个图形窗口绘图脍制f (x)在区间,内的图形 grid图区间,内极值点的发现从图可以明显地看到，在一和0附近f (x)还有两个零点，从 f (x)的变化趋势知道前从图可以明显地看到，在一和者为f (x)的极小值点，后者为 f (x)的极

11、大值点。【实验方法与步骤】1.引例问题的分析求解一般地，设储户结算结算频率为n ,年利率为r ,第k次结算本息的结算额为ak,那么可以得到下列差分方程一 r、ak = (1 一 )ak1, a0 = 100000 n对上述差分方程化简，得-r、nan = 100000(1 一) n随着结算次数的无限增加，即在上式中n 随着结算次数的无限增加，即在上式中n 一 ，故一年后本息共计:._ r nlim 100000(1 -) nn在MATLA瑜令窗口输入下述命令： syms n a=limit(100000*(1+n)An,n,inf)a =+005可见，随着结算次数的无限增加，一年后本息总和将稳

12、定于+005元，储户并不能通过该方式成为百万富翁，实际上，年利率为r , syms n r a=limit(100000*(1+r/n)An,n,inf)a =100000*exp(r)一年结算无限次，总结算额有一个上限，即100000*exp(r)元，它表明在n 一 时，结果将稳定于这个值。我们把连续活期存款利率作为连续复利率，r0 = %设一年定期白年利率为r ,那么应有1 + r = er0从而有r = er0 - 1 = %同理，三年定期的年利率为r = ( e3r0 -1) /3 =%相应，十年定期的年利率为r = ( e10r 1) /10 =%一般情况下，银行的定期利率要更高，以鼓励长期定期存款。【练习与思考】.本世纪初，瘟疫还常常在某些地区流行。现假设有这样一种