2021课标版理数高考总复习专题专题十四数系的扩充与复数的引入（讲解练）理科数学教学讲练

1、专题十四数系的扩充与复数的引入高考理数考点一复数的概念及几何意义考点清单考向基础1.复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如a+bi(aR,bR)的数叫做复数,其中实部为a,虚部为b若b=0,则a+bi为实数;若a=0且b0,则a+bi为纯虚数复数相等a+bi=c+dia=c且b=d(a,b,c,dR) 共轭复数a+bi与c+di共轭a=c且b=-d(a,b,c,dR) 复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫实轴,y轴叫虚轴实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,各象限内的点都表示虚数复数的模设对应的复数为z=a+bi,则向量的长度叫做复数z=a+bi的模

2、(其中a,bR)|z|=|a+bi|=(a,bR)注意(1)复数构成的集合叫做复数集,记为C.(2)虚数单位i具有周期性,且最小正周期为4,其性质如下(nN):i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i;i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0.(3)互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合,且在实轴上.2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的.其中a,bR.考向突破考向一复数的有关概念问题例1(2019河北唐山第一次

3、模拟,2)设复数z满足(1+i)z=2i(其中i为虚数单位),则下列结论正确的是()A.|z|=2B.z的虚部为iC.z2=2D.z的共轭复数为1-i解析由(1+i)z=2i,得z=1+i,|z|=,z的虚部为1,z2=(1+i)2=2i,z的共轭复数为1-i,故选D.答案D考向二复数的几何意义例2(2020届河南百校联盟9月联合检测,2)设复数z满足=i(i是虚数单位),则z+2在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由=i可得z=-1+i,所以z+2=1+i,则z+2在复平面内对应的点为(1,1),位于第一象限.答案A考点二复数的运算考向基础1.复数的

4、加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则(1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;(2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;(3)乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;(4)除法:=+i(c+di0).2.复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).3.复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z1、z2对应的向量、不共线,则复数z1+z2

5、是以、为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.(2)复数减法的几何意义复数z1-z2是-=所对应的复数.考向突破考向复数的四则运算例(2018课标,1,5分)=()A.-iB.-+iC.-iD.-+i解析本题主要考查复数的四则运算.=-+i,故选D.答案D方法1求解与复数概念相关问题的技巧(1)复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数概念有关的问题时,需先把所给复数化为a+bi(a,bR)的形式,再根据题意列方程(组)求解.(2)求复数的模时,可以根据复数的模的公式|a+bi|=和性质|=|z|,|z2|=|2=z,|z1z2|=|z1|z2|,

6、=(z20)进行计算.(3)复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法.方法技巧例1(1)(2019广东六校联考)已知i是虚数单位,复数(1+2i)2的共轭复数的虚部为()A.4iB.3C.4D.-4(2)(2017天津文,9,5分)已知aR,i为虚数单位,若为实数,则a的值为.解析(1)复数z=(1+2i)2=1+4i+(2i)2=-3+4i,所以=-3-4i,所以复数的虚部为-4.故选D.(2)解法一:因为=为实数,所以-=0,解得a=-2.解法二:令=t(tR),则a-i=t(2+i)=2t+ti,所以解得a=-2.答案(1)D(2)-2方法2复数四则运算的解题方法1.利用复数

7、相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.2.在复数代数形式的四则运算中,加、减、乘运算按多项式运算法则进行,除法则需分母实数化.3.在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高计算速度:(1)(1i)2=2i;=i;=-i.(2)-b+ai=i(a+bi)(a,bR).(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,nN.例2(1)(2019广东江门第一次模拟,2)已知i是虚数单位,则=()A.iB.-iC.1D.-1(2)已知复数z满足(1+i)z=i(i是虚数单位),则z=()A.+iB.-iC.+iD.-i解析(1)=i,=i2 019=(i4)504i3=-i.故选B.(2)解法一:由