二项式系数性质

1、关于二项式系数的性质第1页，共19页，2022年，5月20日，18点7分，星期四(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6二项式系数的性质二项式系数表11121133114641151010511615201561第2页，共19页，2022年，5月20日，18点7分，星期四详解九章算法记载的表杨辉 三角杨辉 以上二项式系数表,早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在详解九章算法一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经

2、用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。第3页，共19页，2022年，5月20日，18点7分，星期四a).表中每行两端都是1。b).除1外的每一个数都等 于它肩上两个数的和。4+6=102+1=3例如：cr ncr-1n+crn+1=当n不大时，可用该表来求二项式系数。C23C22C12+= 3C25C24C14+= 10因为：二项式系数的性质11121133114641151010511615

3、2015612134610第4页，共19页，2022年，5月20日，18点7分，星期四第1行第2行第6行-第5行-第4行第3行-11121133114641151010511615201561二项式系数的性质先增后减对称第5页，共19页，2022年，5月20日，18点7分，星期四函数定义：如果A、B都是非空数集，那A到B的映射f ：AB就叫做A到B的函数。可看成是集合0，1，n到二项式系数的集合的映射。 对于二项式系数，r与 之间也有对应关系，即：r 0 1 2 r n二项式系数与函数第6页，共19页，2022年，5月20日，18点7分，星期四 从映射、函数的观点看，二项式系数可以看作是一个定

4、义域为 0，1，2，n的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。 即：r是自变量，r自变量二项式系数是函数值，组合数公式就是相应函数的解析式。123二项式函数值二项式系数与函数第7页，共19页，2022年，5月20日，18点7分，星期四当n=6时，二项式系数 （0r6）用图象表示：7个孤立的点13n12322nOr f ( r )6361420 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等1：对称性2：增减性与最大值先增后减关于r= 3对称r=3时取得最大值第8页，共19页，2022年，5月20日，18点7分，星期四f（r）n为奇数；如n=7f（r）rnO6152013n为偶数；如n=62

5、0103035On743关于r=n/2对称r=3和r=4时取得最大值第9页，共19页，2022年，5月20日，18点7分，星期四二项式系数的性质 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等性质1：对称性性质2：增减性与最大值先增后减当n是偶数时，中间的一项 的二项式系数 取得 最大值 ；当n是奇数时，中间的两项 二项式系数 和 相等，且 同时取得最大值。 即 即 和第10页，共19页，2022年，5月20日，18点7分，星期四当 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部是逐渐减小的，且在中间取得最大值。 当n是偶数时，中间的一项 取得最大时 ；当n是奇数时，中间的两项 ， 相等，且同时取

6、得最大值。由于Ckn=n(n-1)(n-2)(n-3)(n-k+1)k (k-1) =Ck-1nkn k + 1Ck-1nkn k + 1Ckn所以相对于的增减情况由决定由于kn k + 11kn + 12因而2.增减性与最大值第11页，共19页，2022年，5月20日，18点7分，星期四性质3：各二项式系数的和二项式系数的性质2n + + + +令x=1；赋值法令x=-1；0+0nCC 2 n-+1nC3nC)()0 = +0nCC 2 n+1nC3nC = 也就是说, (1+x)n的展开式中的各个二项式系数的和为 ，且奇数项的二项式系数和等于偶数的二项式系数和2n第12页，共19页，202

7、2年，5月20日，18点7分，星期四1、在(ab)20展开式中，与第五项二项式系数相同的项是( ).C课堂练习:A.第6项 B.第7项C.第6项和第7项 D.第5项和第7项CA.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项2、在(ab)11展开式中，二项式系数最大的项( ).4，化简 + + + +=3， 已知 展开式中只有第10项二项式系数最大，则n=_。 18第13页，共19页，2022年，5月20日，18点7分，星期四例1、证明 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。ban)(+证明：1a10-CCn+rnan1-bban+=bCCnnrnrnnban)(+

8、在展开式中1+=1n)(-Cnnn )(-10nC1nCC 2 n3nC-+b = -1，令a = 1，则得+0nCC 2 n-+1nC3nC)()0 = +0nCC 2 n+1nC3nC = 就是即在ban)(+的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项系数的和。证毕。上述证明过程中用到了什么方法？赋值法例题讲解第14页，共19页，2022年，5月20日，18点7分，星期四变式练习：+7210)(+=-72721xaxaxaax已知则=+6420aaaa71a=+2aa7=+531aaaa简解:令x=1,则则令x= -1,7a+5a6a102+aaa+=+3a4a(=)-7211-17a=a1a0+a2+-+5a3a6a4a-)+(7211=37121由 得71a=+2aa-212-)(2由 得12+)(2由 得-2-109410937=+531aaaa-1094=+6420aaaa1093( x=0 时,a0=1 )第15页，共19页，2022年，5月20日，18点7分，星期四123n123注意： 求解二项式系数和时，灵活运用赋值法可以使问题简单化。通常选取赋值时取1，1，0。第16页，共19页，2022年，5月20日，18点7分，星期四小结: （2） 数学思想：函数思想a 图象、图表； b 单调性；c 最值。（3） 数学方法 ： 赋值法 （1）二项式系数的三个性