选修45不等式选讲讲义

1、优选文档优选文档PAGEPAGE41优选文档PAGE选修4-5不等式选讲讲义河南省三门峡市卢氏县第一高级中学山永峰不等式选讲是新课标的新增内容，也是选考内容。从题型上看小题、大题都有，难度不大。从能力要求上看，主要观察学生认识不等式、应用不等式的能力，解析问题和解决问题的能力。（1）在填空题或解答题中观察含绝对值不等式的解法与含绝对值符号的函数的最值、恒成立问题。（2）直接运用柯西不等式、排序不等式或证明不等式，经常难度不大。加以适合的训练是完好能够掌握的。预计在2015年高考中：（1）本专题仍为选考部分内容，且以绝对值不等式的解法和证明内容为主，把不等式的综合应用放在次重点地址上，把不等式的

2、证明放在一般地址上。从题型上看，仍为填空题或解答题，难度不大。现结合考纲领求和自己多年授课经验整理以下，以餙读者！第一节绝对值不等式备考方向要了然考什么怎么考1.理解绝对值不等式的几何意义，并能利用绝从近两年的高考试题能够看出，本节重对值不等式的几何意义证明以下不等式：点观察含绝对值不等式的解法(可能含(1)|ab|a|b|；(2)|ab|ac|cb|.参)或以函数为背景证明不等式，题型为2.会利用绝对值的几何意义求解以下种类的不解答题，如2012年新课标T24等.等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.归纳知识整合1绝对值不等式的解法(1)|axb|c(c0)和|axb|c(c0

3、)型不等式的解法|axb|c?caxbc.|axb|c?axbc或axbc.(2)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，表现了数形结合思想；法二：利用“零点分段法”求解，表现了分类谈论思想；法三：经过构造函数，利用函数的图象求解，表现了函数与方程的思想研究1.解含绝对值不等式或含绝对值方程的重点是什么？提示：重点是依照绝对值的定义或性质去掉绝对值2绝对值三角不等式(1)定理1：若是a，b是实数，则|a|b|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立(2)定理2：若是a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc

4、)0时，等号成立研究2.绝对值的三角不等式的向量形式及几何意义是什么？提示：当a，b不共线时，|ab|a|b|，它的几何意义是三角形的两边之和大于第三边自测牛刀小试1求不等式|2x1|3的解集2已知函数f(x)|x2|x1|，求f(x)的值域3(2011西江)关于xR，求不等式|x10|x2|8的解集4已知关于x的不等式|x1|x|k无解，求实数k的取值范围5若是关于x的不等式|xa|x4|1的解集是全体实数，求实数a的取值范围考点一：绝对值不等式性质的应用例1确定“|xa|m且|ya|m”是“|xy|2m(x，y，a，mR)”的什么条件两数和与差的绝对值不等式的性质|a|b|ab|a|b|(

5、1)对绝对值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时(2)该定理可增强为|a|b|ab|a|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式变式训练：1若不等式|x1|x2|a对任意xR恒成立，求的取值范围考点二：绝对值不等式的解法例2(2012新课标全国卷)已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围绝对值不等式的解法(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零点；划区间、去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值(2)

6、用图象法，数形结合能够求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既平时易懂，又简洁直观，是一种较好的方法变式训练：2设函数f(x)|x1|xa|(1)若a1，解不等式f(x)3；(2)若是?xR，f(x)2，求a的取值范围3(2011辽宁高考)已知函数f(x)|x2|x5|.(1)证明：3f(x)3；(2)求不等式f(x)x28x15的解集种方法求解绝对值不等式的方法形如|xa|xb|c(或c)型的不等式主要有以下解法：(1)零点分段谈论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(，a，(a，b，(b，)(此处设ac(c0)的几何意义：数轴上到点x1a和x2b的距离之和大于c的点的会集(

7、3)图象法：作出函数y1|xa|xb|和y2c的图象，结合图象求解.创新交汇含参数的绝对值不等式的恒成立问题1含参数的绝对值不等式的恒成立问题是高考的热点内容之一，此类问题常与二次函数、对数函数、三角函数结合命题，需要有必然的综合知识的能力2解答此类问题时，依照绝对值的定义，分类谈论去掉绝对值符号，转变成分段函数，尔后利用数形结合解决，是常用的思想方法典例(2012辽宁高考)已知f(x)|ax1|(aR)，不等式f(x)3的解集为x|2x1(1)求a的值；x(2)若fx2f2k恒成立，求k的取值范围名师谈论1本题有以下创新点把绝对值不等式与会集、函数知识、恒成立问题亲密结合起来研究，尽管难度不

8、大，但需要有必然的知识综合能力2解决本题的重点点解答本题的重点点：(1)先求解不等式|ax1|3，并将解集与已知解集比较求出a的值；(2)利用零点分段谈论去掉绝对值，将问题转化为恒成立问题3在解决恒成立问题时应注意Cf(x)恒成立?Cf(x)max，Cf(x)恒成立?Cf(x)min.变式训练1(2014陕西高考改编)若存在实数x使|xa|x1|3成立，求实数a的取值范围2(2014苏北四市调研)已知函数f(x)|x1|x2|.若不等式|ab|ab|a|f(x)对a，bR，且a0恒成立，求实数x的范围模拟测试题：1(2014青岛模拟)若不等式x2|2x6|a关于一的确数x均成立，求实数a的最大

9、值2(2013江西高考)在实数范围内，求不等式|2x1|2x1|6的解集13若不等式xx|a2|1关于所有非零实数x均成立，求实数a的取值范围4解不等式x|2x1|3.5设函数f(x)|2x1|x4|.(1)解不等式f(x)2；(2)求函数yf(x)的最小值备选习题：1若不等式|3xb|0)(1)当a1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围3已知f(x)|6xa|.15(1)若不等式f(x)4的解集为x|x2或x6，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x1)f(x1)b对一的确数x恒成立，求实数b的取值范围第二节不等式证明的基本方法备考方向要了然考什么怎么

10、考1.认识以下柯西不等式的几种不同样形式理解它们的几何意义，并会证明柯西不等式的向量形式：|.(a2b2)(c2d2)(acbd)2.1.该部分是对必修5中“不等式”的x1x22y1y22x2x32y2y32补充和深入，属选学选考内容单独x1x32y1y32(平时称为平面三角不等式)命题时，以解答题形式出现，属中等2.会用向量递归方法谈论排序不等式难度题目3.认识数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归2.高考观察的重点是不等式的证明、纳法证明一些简单问题基本不等式、柯西不等式、数学归纳4.会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1x)n1法的应用，利用基本不等式、柯西不等式求函数的最值等，如201

11、2年新课nx(x1，x0，n为大于1的正整数)，认识当n标T24等.为大于1的实数时贝努利不等式也成立5.会用上述不等式证明一些简单问题能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值6.认识证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.归纳知识整合1比较法：作差比较法与作商比较法的基根源理：方法原理作差法作商法2综合法与解析法方法ab0?abab1?ab(a0，b0)特色证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公义、定理、性质等，综合法经过推理论证而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法证明命题时，从待证不等式出发，渐渐追求使它成立的充分条件，解析法直到将待证不等式

12、归纳为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)这是一种执果索因的思虑和证明方法.研究1.在证明不等式时综合法和解析法如同何的关系？提示：综合法：由条件出发推导出所要证明的不等式成立解析法：从结论出发搜寻使结论成立的充分条件，综合法与解析法是对峙一致的两种方法在实质解题时，经常用解析法研究解题思路，用综合法表达2在什么条件下用解析法证明不等式？提示：若是不合合用反证法、归纳法，而综合法又不易操作时，经过解析又简单找到使要证明结论成立的已知条件，这时用解析法3反证法：先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公义、定义、定理、性质等，进行正确的推理，获取和命题的条件(或已证明的定理、性

13、质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法4放缩法：证明不等式时，有时要把所证不等式的一边适合地放大或减小，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立这种方法称为放缩法5数学归纳法：数学归纳法证明不等式的一般步骤(1)考据：当n取第一个值n0(比方n01,2等)时结论正确；(2)假当nk正确，明当nk1也正确合(1)(2)可知，于任意nn0，且n0，nN*都成立6柯西不等式：a，b，c，d均数，(a2b2)(c2d2)(acbd)2等号当且当adbc成立自牛刀小bb11ta，sa1(ba0)，确定s与t的大小关系2

14、求函数yx3x的最大1493已知a，b正数，求：abab.4ab0，求：3a32b33a2b2ab2.数列的通公式nn(n2)求：1113naa2n0，b0，c0，求：bcacab2.解析合法解析法与合法经常合起来使用，称解析合法，其是既充分利用已知条件，又刻瞄准解目，即不要搞清已知什么，要明确干什么，平时用解析法找到解思路，用合法写程式2已知a，b，c均正数b2c2a2求：abccbaacbbac.考点三：用反证法证明不等式例3已知f(x)x2pxq，求|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中最少有一1个不小于2.互研究若本例已知中的q1，求：f(1)与f(1)中最少有一个不小于2.反法的

15、合用状况(1)当要明的与条件之的系不明，直接由条件推出很困，常用反法(2)若是从正面下手明需分多种状况行分，从反面行明，即“正反”的思想变式训练：3若是a，b，c，d均数，ab1，cd1，且acbd1.明a，b，c，d中最少有一个数考点四：用放缩法证明不等式例4已知：an122334nn1(nN)，求：nn1ana122等；(2)在和或中大(或小)某些；(3)大(或小)分式的分子或分母，如aam，且ab)，121，bbm(abmRkkk112等；(4)不等式的性，如|ab|a|b|等k0，ba1，求：1a1b.2已知函数f(x)是(，)上的增函数，a、bR.(1)若ab0，求：f(a)f(b)

16、f(a)f(b)；(2)判断(1)中命的抗命可否成立，并明你的2014年高考不等式选讲真题专练1.2014福建卷()修4-5：不等式已知定在R上的函数f(x)|x1|x2|的最小a.(1)求a的；(2)若p，q，r是正数，且足pqra，求：p2q2r23.22014广卷会集A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1，0，1，i1，2，3，4，5，那么会集A中满足条件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素个数为()A60B90C120D13032014广东卷不等式|x1|x2|5的解集为_42014湖南卷若关于x的不等式|ax2|3的解集为5x1，则a_x3352014江西卷(1)(不等

17、式选做题)对任意x，yR，|x1|x|y1|y1|的最小值为()A1B2C3D46.2014辽宁卷选修4-5：不等式选讲设函数f(x)，28x1.记f(x)1的解集2|x1|x1g(x)16x为M，g(x)4的解集为N.(1)求M；(2)当xMN时，证明：x2f(x)xf(x)214.72014新课标全国卷选修4-5：不等式选讲若a0，b0，且1a1bab.(1)求a3b3的最小值(2)可否存在a，b，使得2a3b6？并说明原因.82014新课标全国卷选修4-5：不等式选讲1设函数f(x)xa|xa|(a0)(1)证明：f(x)2；(2)若f(3)5，求a的取值范围92014陕西卷A(不等式选

18、做题)设a，b，m，nR，且a2b25，manb5，则m2n2的最小值为_102014浙江卷(1)解不等式2|x2|x1|3；(2)设正数a，b，c满足abcabc，求证：ab4bc9ac36，并给出等号成立条件112014重庆卷若不等式|2x1|x2|a212a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_第一节绝对值不等式参照答案1.解：|2x1|3等价于2x13或2x13，解得x2或x1.因此解集为(，12，)3，x1，因此f(x)3,3x10，102，解得x0，)x10 x28.4.解：|x1|x|x1x|1，当k1时，不等式|x1|x|k无解，故k1.5.解：在数轴上，由实数绝对值的几

19、何意义知a5或a3.自主解答|xy|(xa)(ya)|xa|ya|mm2m，|xa|m且|ya|m是|xy|2m的充分条件取x3，y1，a2，m2.5，则有|xy|252m，但|xa|5，不满足|xa|m2.5，故|xa|m且|ya|m不是|xy|2m的必要条件故为充分不用要条件变式训练解：由于|x1|x2|(x1)(x2)|3，因此只需a3即可2x5，x2，自主解答(1)当a3时，f(x)1，2x3，2x5，x3.当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2x3时，f(x)3无解；当x3时，由f(x)3得2x53，解得x4；因此f(x)3的解集为x|x1或x4(2)f(x)|x4|?|x

20、4|x2|xa|.当x1,2时，|x4|x2|xa|?4x(2x)|xa|?2ax2a.由条件得2a1且2a2，即3a0.故满足条件的a的取值范围为3,0变式训练解：(1)当a1时，f(x)|x1|x1|，2x，x1.33由图象可知，不等式的解集为xx2，或x2.(2)若a1，f(x)2|x1|，不满足题设条件：2xa1，xa，若a1，f(x)1a，ax1，f(x)a1，1x0时，axa，得a2.1，x1，x1(2)记h(x)f(x)2f2，则h(x)4x3，1x2，11，x2，因此|h(x)|1，因此k1.1.解：|xa|x1|a1|，则只需要|a1|3，解得2a4.|ab|ab|2.解：由

21、|ab|ab|a|f(x)，且a0，得f(x)|a|ab|ab|abab|又由于|a|a|2，则有2f(x)1515解不等式|x1|x2|2，得2x2.即实数x的范围是2，2.检测训练题答案1.解：令f(x)x2|2x6|，当x3时，f(x)x22x6(x1)279；当x2时，原不等式可化为2x12x16，解得x2，131此时2x2；当x2时，原不等式可化为2x12x16，解得3，此时3x1；当1x1时，原不等式可化为x2222212x12x16，解得xR，此时2x2；综上，原不等式的解集为33332，2，故解集为2，2.解：x12，|a2|12，即|a2|1，解得1a3.3.x4.解：原不等

22、式可化为2x10，2x10，或x2x13，x2x13.141解得2x3或2x2.因此原不等式的解集是x2x34.1x5x2，5.解：(1)f(x)|2x1|x4|3x312x4，x5x4.6.当x2得，x7.故x7；155当2x2，得x3.故3x2，得x3，故x4.故原不等式的解集为xx5.39(2)画出f(x)的图象如图：因此f(x)min2.备选1.解：|3xb|4，43xb4.b4b43x3.(*)b4b4若原不等式的整数解只有1,2,3，由(*)式，知031且334.解之得4b7且5b8，5b0，a4.备选3.解：(1)由f(x)4得|6xa|4，解得x4a4a或，6x64a1，62a

23、1.依题意，4a566，(2)当a1时，f(x)|6x1|，f(x1)|6x7|，f(x1)|6x5|f(x1)f(x1)|6x7|6x5|(6x7)(6x5)|12，b0，a1aa1ts，即s0，b0，14b4a52b4a149(ab)ab5abab9.ab.ab4.明：3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab)因ab0，因此ab0,3a22b20.从而(3a22b2)(ab)0.故3a32b33a2b2ab2成立5.明：1111111a1a2an132435nn2111111111232435nn2111111321222124.n1n1113.a

24、1a2an4例1：自主解答由a，b是非数，作差得a3b3ab(a2b2)a2a(ab)b2b(ba)b)(a)5(5当b，ab，从而(a)5(b)5，(ab)a得(ab)(a)5(b)5)0；当ab，ab，从而50.abb)a2b2式1ab0，求：aba2b2.aba2b2aba3b3ab2a2ba3b3a2bab2明：法一：a2b2aba2b2ab2a2b2ab22ababab0，ab0，ab0，a222ab22abababa2b2aba2b2abb20，ab0.220，22.abababab法二：ab0，ab0，ab0.a2b2a2b222bb222abaaab2ab2ab22222212

25、21.abababababababa2b2ab.a2b2ab例2自主解答abc3要ab2，bcacabc9只需证11ab12，bcacabcabcabc9只需证bcacab2，只需证1119111(abc)b2.(abc)bbcacacacab111112(bc)(ac)(ab)2bcacab33193b，bcaca3bcacab2当且仅当abc时“”成立，故原不等式成立b2c2变式训练：证明：a，b，c均为正实数，ab2b同理，c2a22aca2b2a2c，bc，a2b，abccb2c2a2bca三式相加可得abccaabbc.1例3自主解答假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于

26、2，b2c2ab则|f(1)|2|f(2)|f(3)|2.而|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)|(1pq)(93pq)(84p2q)|2，与|f(1)|2|f(2)|f(3)|2矛盾，1因此|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中最少有一个不小于2.互动研究：证明：q1，f(x)x2px1假f(1)与f(1)都小于2，f(1)f(1)1矛盾故假不成立，因此a，b，c，d中最少有一个数例4自主解答nn1n2n，nn1n，an1223nn1123nnn1.2nn1nn12，an122334nn122221(23n)n1nn2.222上得，nn1nn2.2an2式：明：由已知m|a|，m|b|，m1.又|x|m，abab|x|a|，|x|b|，|x|1，xx2xx2|a|b|x|x|1|x|ab|x|x|2|x|x|21|x|1|x|2.xx22.例5：自主解答由柯西不等式(3242)(x2y2)(3x4y)2，得25(x2y2)4，因此x2y2254.不等式中当且仅当x34y时等3x4y2，号成立，x2y2获取最小值，需解方程组：xy34，解得6x25，68224y8.因此当x25，y25时，xy获取最小值，最小值为25.2532: