胡寿松自动控制原理课后习题答案

1、请解释下列名字术语：自动控制系统、受控对象、扰动、给定值、参考输入、反馈。解：自动控制系统：能够实现自动控制任务的系统，由控制装置与被控对象组成；受控对象：要XX现自动控制的机器、设备或生产过程扰动：扰动是一种对系统的输出产生不利影响的信号。如果扰动产生在系统内部称为内扰；扰动产生在系统外部，则称为外扰。外扰是系统的输入量。给定值：受控对象的物理量在控制系统中应保持的期望值参考输入即为给定值。反馈：将系统的输出量馈送到参考输入端，并与参考输入进行比较的过程。请说明自动控制系统的基本组成部分。解：作为一个完整的控制系统，应该由如下几个部分组成：被控对象：所谓被控对象就是整个控制系统的控制对象；执

2、行部件：根据所接收到的相关信号，使得被控对象产生相应的动作；常用的执行元件有阀、电动机、液压马达等。给定元件：给定元件的职能就是给出与期望的被控量相对应的系统输入量（即参考量）；比较元件：把测量元件检测到的被控量的实际值与给定元件给出的参考值进行比较，求出它们之间的偏差。常用的比较元件有差动放大器、机械差动装置和电桥等。测量反馈元件：该元部件的职能就是测量被控制的物理量，如果这个物理量是非电量，一般需要将其转换成为电量。常用的测量元部件有测速发电机、热电偶、各种传感器等；放大元件：将比较元件给出的偏差进行放大，用来推动执行元件去控制被控对象。如电压偏差信号，可用电子管、晶体管、集成电路、晶闸管

3、等组成的电压放大器和功率放大级加以放大。校正元件：亦称补偿元件，它是结构或参数便于调整的元件，用串联或反馈的方式连接在系统中，用以改善系统的性能。常用的校正元件有电阻、电容组成的无源或有源网络，它们与原系统串联或与原系统构成一个内反馈系统。请说出什么是反馈控制系统，开环控制系统和闭环控制系统各有什么优缺点？解：反馈控制系统即闭环控制系统，在一个控制系统，将系统的输出量通过某测量机构对其进行实时测量，并将该测量值与输入量进行比较，形成一个反馈通道，从而形成一个封闭的控制系统；开环系统优点：结构简单，缺点：控制的精度较差；闭环控制系统优点：控制精度高，缺点：结构复杂、设计分析麻烦，制造成本高。请说

4、明自动控制系统的基本性能要求。解：（1）稳定性：对恒值系统而言，要求当系统受到扰动后，经过一定时间的调整能够回到原来的期望值。而对随动系统而言，被控制量始终跟踪参考量的变化。稳定性通常由系统的结构决定的，与外界因素无关，系统的稳定性是对系统的基本要求，不稳定的系统不能实现预定任务。2）准确性：控制系统的准确性一般用稳态误差来表示。即系统在参考输入信号作用下，系统的输出达到稳态后的输出与参考输入所要求的期望输出之差叫做给定稳态误差。显然，这种误差越小，表示系统的输出跟随参考输入的精度越高。3）快速性：对过渡过程的形式和快慢的要求，一般称为控制系统的动态性能。系统的快速性主要反映系统对输入信号的变

5、化而作出相应的快慢程度，如稳定高射炮射角随动系统，虽然炮身最终能跟踪目标，但如果目标变动迅速，而炮身行动迟缓，仍然抓不住目标。2-1设质量-弹簧-摩擦系统如图2-1所示，途中f为黏性摩擦系数，k为弹簧系数，系统的输入量为力p(t)，系统的输出量为质量m的位移x(t)。试列出系统的图2-1习题2-1质量弹簧摩擦系统示意图输入输出微分方程。解：显然，系统的摩擦力为fdx(t)，弹簧力为kx(t)，根据牛顿第二运动定律有dtp(t)fdx(t)kx(t)md2x(t)dtdt2移项整理，得系统的微分方程为md2x(t)fdx(t)kx(t)p(t)dt2dt2-2试列写图2-2所示机械系统的运动微分

6、方程。解：由牛顿第二运动定律，不计重力时，得d2y1dy1k2y2(t)y1(t)M1dt2k1y1fdtF整理得d2y1dy1M1dt2fdt(k1k2)y1(t)Fk2y2(t)2-3求下列函数的拉氏变换。（1）f(t)3(1sint)图2-2习题2-2机械系统示意图（2）f(t)teat（3）f(t)cos(3t)4解：（1）Lf(t)L3(1sint)3(L1Lsint)113()ss213(s2s1)s(s21)（2）f(t)teatLt1s2Lf(t)Lteat1(sa)2（3）f(t)cos(3t)2sin(3t)cos(3t)42Lf(t)2sin(3t)cos(3t)22(L

7、sin(3t)Lcos(3t)22(3s)2s29s292s32s292-4求下列函数的拉氏反变换（1）F(s)s12)(s5)(ss6（2）F(s)3)s2(s2s25s1（3）F(s)1)s(s2解：（1）F(s)s1122)(s5)s2s5(sL1F(s)L1s122s5L112L12s2s5e2t2e5ts6211（2）F(s)3)s2ss3s2(s1L1211LF(s)2ss3s2L11L11L11s2ss32t1e3t2s25s11s5（3）F(s)1)ss21s(s2L1F(s)L11s5ss21L11L1s5ss211cost5sint2-5试分别列写图2-3中各无源网络的微分

8、方程（设电容C上的电压为uc(t)，电容C1上的电压为uc1(t)，以此类推）。+uc(t)+uc1(t)+uR1(t)CR1C1R1RRCCuiuoui+uc1(t)uc2(t)+uouiR2+C2uouc2(t)R2(a)(b)(c)图2-3习题2-5无源网络示意图解：（a）设电容C上电压为uc(t)，由基尔霍夫定律可写出回路方程为uc(t)ui(t)uo(t)Cduc(t)uc(t)uo(t)dtR1R2整理得输入输出关系的微分方程为Cduo(t)11)uo(t)dui(t)ui(t)(R1R2CR1dtdt（b）设电容C1、C2上电压为uc1(t),uc2(t)，由基尔霍夫定律可写出回

9、路方程为uc1(t)ui(t)uo(t)ui(t)uc2(t)uo(t)uc2(t)C2duc2(t)RRdtuo(t)uc2(t)RC1duc1(t)dt整理得输入输出关系的微分方程为d2uo(t)(2C1C2)duo(t)uo(t)d2ui(t)dui(t)ui(t)RC1C22dtRC1C2dt22C1RdtRdt（c）设电阻R2上电压为uR2(t)，两电容上电压为uc1(t),uc2(t)，由基尔霍夫定律可写出回路方程为uc1(t)ui(t)uR2(t)uc2(t)uo(t)uR2(t)Cduc1(t)Cduc2(t)uR2(t)dtdtR2ui(t)uo(t)Cduc2(t)R1dt

10、（2）代入（4）并整理得duR2(t)duo(t)ui(t)uo(t)dtdtR1C（1）、（2）代入（3）并整理得Cdui(t)Cduo(t)2CduR2(t)uR2(t)dtdtdtR2（1）（2）（3）（4）（5）两端取微分，并将（5）代入，整理得输入输出关系的微分方程为R2Cd2uo(t)(11)duo(t)uo(t)R2Cd2ui(t)1dui(t)ui(t)dt2R1CdtR1Cdt2R1CdtR1C2-6求图2-4中各无源网络的传递函数。c+Uc1(s)+U(s)CC1R1+Uc1(s)Uc2(s)+R1Ui(s)RRUo(s)Ui(s)C+C+UR2(s)Uo(s)Ui(s)R

11、2Uo(s)Uc2(s)22CR(a)(b)(c)图2-4习题2-6示意图解：（a）由图得UC(s)Uo(s)CsUC(s)R2R1UC(s)Ui(s)Uo(s)（2）代入（1），整理得传递函数为Cs1Uo(s)R1R1R2CsR2Ui(s)11R1R2CsR1R2CsR2R1（b）由图得UC1(s)Ui(s)Uo(s)Ui(s)UC2(s)Uo(s)UC2(s)C2sUC2(s)RRRC1sUC1(s)Uo(s)UC2(s)整理得传递函数为RC1s1R2C1C2s2Uo(s)22RC1s1RC2sUi(s)RC2s1R2C1C2s2Rs(2C1C2)1RC1s2RC2s（c）由图得UC1(s

12、)Ui(s)UR2(s)UC2(s)Uo(s)UR2(s)CsUC1(s)CsUC2(s)UR2(s)R2Ui(s)Uo(s)(s)R1CsUC2（1）（2）（1）（2）（1）（2）（3）（4）整理得传递函数为1Uo(s)CsR1R2C2s2R1CsR2Ui(s)211R1R2C2s2(R12R2)Cs1CsR2R1R2CsR1图2-5习题2-7无源网络示意图2-7求图2-5中无源网络的传递函数。解：由图得U1(s)U2(s)12(s)R1(Cs)UR2Ls整理得1U2(s)R1R2LsU1(s)11R1CLs2(R1R2CL)sR1R2CsR2LsR12-8试简化图2-6中所示系统结构图，并

13、求传递函数C(s)/R(s)和C(s)/N(s)。解：（a）求传递函数C(s)/R(s)，按下列步骤简化结构图：2-6习题2-8系统结构图示意图令N(s)0，利用反馈运算简化如图2-8a所示R(S)G1G2C(S)1G1H11G2H2H32-8a串联等效如图2-8b所示R(S)G1G2C(S)1G1H11G2H2H3图2-8b根据反馈运算可得传递函数G1G2C(s)1G1H11G2H2G1G2R(s)G1G2(1G1H1)(1G2H2)G1G2H31H31G1H11G2H2G1G21G1H1G2H2G1H1G2H2G1G2H3求传递函数C(s)/N(s)，按下列步骤简化结构图：令R(s)0，重

14、画系统结构图如图2-8c所示H2N(S)+C(S)H1G2G1H3图2-8c将H3输出端的端子前移，并将反馈运算合并如图2-8d所示N(S)+G2C(S)-H1G1G2H2+1H3/H12-9dG1和H1串联合并，并将单位比较点前移如图2-8e所示-1/G1H1N(S)C(S)-G1H1G2G2H2+1H3/H12-8e串并联合并如图2-8f所示N(S)1G1G2H1C(S)11G2H2G1H1+H3/H12-8f根据反馈和串联运算，得传递函数G1G2H1C(s)11G2H2N(s)(1)G1G2H1H3G1H111G2H2H1G1H11G1G2H1G1H11G2H2G1G2H3G2G1G2H

15、11G2H2G1G2H3b）求传递函数C(s)/R(s)，按下列步骤简化结构图：将H2的引出端前移如图2-8g所示H21/G3R(S)C(S)G1G2G3H1H32-8g合并反馈、串联如图2-8h所示H/G32R(S)1G2G3C(S)G1G3H3H12-8h将H1的引出端前移如图2-8i所示H2/G3R(S)G2G3C(S)G11G3H31G3H3H1G2G32-8i合并反馈及串联如图2-8j所示R(S)C(S)G1G2G31G2H2G3H31G3H3H1G2G3图2-8j根据反馈运算得传递函数G1G2G3C(s)1G2H2G3H3R(s)1G1G2G31G3H3H11G2H2G3H3G2G

16、3G1G2G31G1HG2H2G3H3G1H1G3H32-9试简化图2-7中所示系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)。习题2-4无源网络示意图图2-7习题2-9系统结构图示意图解：求传递函数C(s)/R(s)，按下列步骤简化结构图：将H1的引出端前移如图2-9a所示H11/G4R(S)G3C(S)G1G2G4H2H32-9a合并反馈及串联如图2-9b所示H1/G4R(S)C(S)G1G2G3G41G3G4H2H3图2-9b合并反馈、串联如图2-9c所示R(S)G1G2G3G4C(S)1G2G3H1G3G4H2H32-9c根据反馈运算，得传递函数G1G2G3G4C(s)1G2G3H1G3G

17、4H2G1G2G3G4R(s)1G1G2G3G41G2G3H1G3G4H2G1G2G3G4H3H31G2G3H1G3G4H22-10根据图2-6给出的系统结构图，画出该系统的信号流图，并用梅森公式求系统传递函数C(s)/R(s)和C(s)/N(s)。解：（a）根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图XX号线上传递的信号，用标有传递函数的之路代替结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。如图2-10a所示。-H1N(S)H2R(S)1G11G21C(S)-H3（1）令N(s)0，求系统传递函数C(s)/R(s)由信号流图2-10a可见，从源节点R(s)到阱节点C(s)之间，有一条前向通

18、路，其增益为p1G1G2有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为L1G1H1，L2G2H2，L3G1G2H3L1与L2互不接触L12G1H1G2H2流图特征式1(L1L2L3)L121G1H1G2H2G1G2H3G1G2H1H2由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式1根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为C(s)p11G1G2R(s)1G1H1G2H2G1G2H3G1G2H1H2（2）令R(s)0，求系统传递函数C(s)/N(s)?由信号流图2-10a可见，从源节点N(s)到阱节点C(s)之间，有两条前向通路，其增益为p1G2，p2G1G2H1有两个相互接触的单独回路，其回路增益分别

19、为L1G2H2，L2G1G2H3没有互不接触的回路，所以流图特征式为1(L1L2)1G2H2G1G2H3由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式1，21根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为C(s)12G2G1G2H1R(s)piiG1G2H3i11G2H2b）根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图XX号线上传递的信号，用标有传递函数的之路代替结构图中的方框，可以绘出系统对应的信号流图。如图2-10b所示。-H2R(S)1G11G21G31C(S)-H1-H32-10b求系统传递函数C(s)/R(s)由信号流图2-10b可见，从源节点R(s)到阱节点C(s)之间，有一条前向通路

20、，其增益为p1G1G2G3有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为L1G1H1，L2G2H2，L3G3H3L1与L3互不接触L13G1G3H1H3流图特征式为1(L1L2L3)L131G1H1G2H2G3H3G1G3H1H3由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式1根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为C(s)p11G1G2G3R(s)1G1H1G2H2G3H3G1G3H1H32-11根据图2-7给出的系统结构图，画出该系统的信号流图，并用梅森公式求系统传递函数C(s)/R(s)。解：根据结构图与信号流图的对应关系，用节点代替结构图XX号线上传递的信号，用标有传递函数的之路代替结构图中

21、的方框，可以绘出系统对应的信号流图。如图2-11a所示-H1R(S)1G1G2G3G41C(S)-H2-H32-11a由信号流图2-11a可见，从源节点R(s)到阱节点C(s)之间，有一条前向通路，其增益为p1G1G2G3G4有三个相互接触的单独回路，其回路增益分别为L1G2G3H1，L2G3G4H2，L3G1G2G3G4H3没有互不接触回路。因此，流图特征式1(L1L2L3)1G2G3H1G3G4H2G1G2G3G4H3由于前向通路与所有单独回路都接触，所以余因子式1根据梅森增益公式，得系统闭环传递函数为C(s)p11G1G2G3G4R(s)1G2G3H1G3G4H2G1G2G3G4H33-

22、2已知各系统得脉冲响应，试求系统的闭环传递函数：（1）k(t)0.0125e1.25t；（2）k(t)5t10sin(4t45)；（3）k(t)0.1(1et3)。解：（1）(s)Lk(t)0.0125s1.25（2）(s)Lk(t)L5t10(sin4tcos4t)2552(4s)2s2s242s245(2s3142s21)1616s2(s21)16（3）(s)Lk(t)0.1111s110s(3s1)s33-3已知二阶系统的单位阶跃响应为h(t)1012.5e1.2tsin(1.6t53.1)，试求系统的超调量%，峰值时间tp和调节时间ts。解：h(t)101.t2653.1)12.e5s

23、in(1t.1011.25e1.2tsin(1.6t53.1)由上式可知，此二阶系统的放大系数是10，但放大系数并不影响系统的动态性能指标。由于标准的二阶系统单位阶跃响应表达式为h(t)11entsin(n12t)121.2所以有1121.25n121.60.6解上述方程组，得2所以，此系统为欠阻尼二阶系统，其动态性能指标如下120.61.25超调量%e100%e100%9.5%峰值时间tp21.96sn120.8调节时间3.53.5ts2.92n20.63-4设单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)0.4s1，试求系统在单位阶s(s0.6)跃输入下的动态性能。解题过程：由题意可得系统得闭环传

24、递函数为G(s)0.4s12sa(s)nG(s)s2s1as22ns21dn其中a2,n1,dn0.5,z2.5。这是一个比例微分控制二阶系统。2z比例微分控制二阶系统的单位阶跃响应为h(t)1redntsinn(1d2t)22故显然有z2dnnr2z1d231212arctan(nd)arctand1.686zdnd12d1.047darctan3d此系统得动态性能指标为峰值时间d3.155tp12nd超调量%r1d2edtp1216.2%n1ln(z22n2123nn)lnzln(1d)调节时间225.134tsdn3-5已知控制系统的单位阶跃响应为h(t)10.2e60t1.2e10t，

25、试确定系统的阻尼比和自然频率n。解：系统的单位脉冲响应为k(t)h(t)12e60t12e10t12(e10te60t)系统的闭环传递函数为(s)Lk(t)12(11)600600s10s60s210s自然频率n60024.570阻尼比1.42926003-6已知系统特征方程为3s410s35s2s20，试用劳斯稳定判据和赫尔维茨稳定判据确定系统的稳定性。解：先用劳斯稳定判据来判定系统的稳定性，列出劳斯表如下4s352s247210s115347s02显然，由于表中第一列元素得符号有两次改变，所以该系统在s右半平面有两个闭环极点。因此，该系统不稳定。再用赫尔维茨稳定判据来判定系统的稳定性。显然

26、，特征方程的各项系数均为正，则2a1a2a0a310531470a12a41022a320021显然，此系统不稳定。3-7设单位负反馈系统的开环传递函数为K，试应G(s)(s2)(s4)(s26s25)用劳斯稳定判据确定义为多大值时，特使系统振荡，并求出振荡频率。解：由题得，特征方程是s412s369s2198s200K0列劳斯表s4169200+Ks312198s252.5200+Ks17995-12Ks0200+K由题意，令s1所在行为零得K666.25由s2行得52.5s2200666.250解之得s4.06i2，所以振荡角频率为4.06r2ad/s3-8已知单位负反馈系统的开环传递函数

27、为K(0.5s1)，试确定G(s)s1)s(s1)(0.5s2系统稳定时的K值X围。解：由题可知系统的特征方程为D(s)s43s34s2(2K)s2K0列劳斯表如下s4s3s21432+K10-K2K3s1s0(10-K)(2+K)310-K32K6K由劳斯稳定判据可得10K03(10K)(2K)/36K0(10K)/32K0解上述方程组可得0K1.705K，定义误差e(t)r(t)c(t)，3-9系统结构如图3-1所示，G(s)s(Ts1)(1)若希望图a中，系统所有的特征根位于s平面上s2的左侧，且阻尼比为0.5，求满足条件的K,T的取值X围。(2)求图a系统的单位斜坡输入下的稳态误差。(

28、3)为了使稳态误差为零，让斜坡输入先通过一个比例微分环节，如图b所示，试求出合适的K0值。(a)(b)解：（1）闭环传递函数为(s)KK/TsK1KTs2s2sTTnK,2n1,0.5n1,K1TTTTD(s)Ts2sK,令ss2，代入上式得，D(s)T(s2)2s2KTs2(4T1)s4T1/T20列出劳斯表，s2T4T+1T2s11-4Ts04T+1T2T0,14T0,4T1/T200T1/4或T0,14T0,4T1/T20无解0T1/4,4K(2)R(t)t，系统为I型系统ess1/K(3)G(s)(K0s1)KKK0sK1)KTs2sKs(TsE(s)R(s)C(s)R(s)1G(s)

29、1Ts2(1KK0)sTs1KK0s2Ts2sKs(Ts2sK)令esslimsE(s)limTs1KK01KK00K01/KTs2sKKs0s0K0并没有改变系统的稳定性。3-10已知单位反馈系统的开环传递函数：100（1）G(s)；(0.1s1)(s5)50（2）G(s)s(0.1s1)(s5)试求输入分别为r(t)2t和r(t)22tt2时，系统的稳态误差。解：（1）G(s)10020(0.1s1)(s5)(0.1s1)(0.2s1)由上式可知，该系统是0型系统，且K20。0型系统在1(t),t,1t2信号作用下的稳态误差分别为：1,。根据线性21K叠加原理有该系统在输入为r(t)2t时

30、的稳态误差为ess22，该系统在输入为r(t)22tt2时的稳态误差为ess22121K（2）G(s)5010s(0.1s1)(s5)s(0.1s1)(0.2s1)由上式可知，该系统是型系统，且K10。型系统在1(t),t,1t2信号作用下的稳态误差分别为：0,1,。根据线性叠加2K原理有该系统在输入为r(t)2t时的稳态误差为ess21，该系统在输入20.21K为r(t)22tt2时的稳态误差为e202ss2K3-11已知闭环传递函数的一般形式为G(s)bmsmbm1sm1b1sb0(s)snan1sn1a1sa01G(s)H(s)误差定义为e(t)r(t)c(t)。试证，（1）系统在阶跃信

31、号输入下，稳态误差为零的充分条件为(s)a0an1sn1a1sa0sn（2）系统在斜坡信号输入下，稳态误差为零的充分条件为(s)a1sa0an1sn1a1sa0sn（3）推导系统在斜坡信号输入下稳态误差为零的充分条件（4）求出系统闭环传递函数与系统型别之间的关系解：（1）(s)a0an1sn1a1sa0snE(s)R(s)C(s)R(s)1(s)1snan1sn1ssnan1sn1sn1an1sn2snan1sn1满足终值定理的条件，()lim()limsnan1sn1esEss0snan1sn1s0即证a1sa1sa0a1a1sa0a1s0a1sa0（2）(s)a1sa0snan1sn1a1

32、sa0E(s)R(s)C(s)R(s)1(s)1snan1sn1s2snan1sn1sn1an1sn2snan1sn1a2s2a1sa0a2a1sa0满足终值定理的条件，()lim()limsnan1sn1a2s0esEss0snan1sn1a1sa0s0即证对于加速度输入，稳态误差为零的必要条件为(s)a2s2a1sa0an1sn1a1sa0sn同理可证（4）系统型别比闭环函数分子最高次幂大1次。3-12已知单位反馈系统的开环传递函数为：50（1）G(s)；(0.1s1)(2s1)K（2）G(s)；210(2s1)(4s1)（3）G(s)222s10)s(s试求位置误差系数Kp，速度误差系数

33、Kv，加速度误差系数Ka。解：（1）此系统是一个0型系统，且K20。故查表可得KpK10，Kv0，Ka0（2）根据误差系数的定义式可得KplimG(s)H(s)limK4s200)s0s0s(s2KvlimsG(s)H(s)limsKKs(s24s200)200s0s0Kalims2G(s)H(s)lims22K0s0s0s(s4s200)（3）根据误差系数的定义式可得KplimG(s)H(s)lim10(2s1)(4s1)2s10)s0s0s2(s2Kv10(2s1)(4s1)limsG(s)H(s)limss2(s22s10)s0s0Ka2lims210(2s1)(4s1)limsG(s)

34、H(s)221s0s0s(s2s10)3-13设单位反馈系统的开环传递函数G(s)K0KfKm11s(Tms1)iTfs输入信号为r(t)(abt)1(t)其中K0,Km,Kf,i,Tf,Tm均为正数，a和b为已知正常数。如果要求闭环系统的稳态误差ess0,其中00,试求系统各参数满足的条件。解：首先系统必须是稳定的，系统的闭环特征方程为TfTms3(TfTm)s2sK0式中，KK0KfKm/i,为系统的开环增益，各参数满足：K0,(TfTm)KTmTf0即稳定条件为0KTfTmTfTm由于本例是I型系统，其Kp,KvK,故在r(t)(abt)1(t)作用下，其稳态误差b0必有bessKK0于

35、是，即能保证系统稳定，又满足对系统稳态误差要求的各参数之间的条件为bTfTmK0KfKm/i0TfTm3-14设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)1Ts。试用动态误差系数法求出当输入信号分别为r(t)t22时，系统的稳态误差。解：系统的误差传递函数为e(s)E(s)11TsTs(Ts)2(Ts)3(Ts)4R(s)1G(s)Ts所以有E(s)e(s)R(s)TsR(s)(Ts)2R(s)(Ts)3R(s)(Ts)4R(s)对上式进行拉氏反变换可得e(t)Tr(t)T2r(t)T3r(t)T4r(4)(t)（1）r(t)t22时，显然有r(t)tr(t)1r(t)r(4)0(t)将上述三式代入

36、（1）式，可得e(t)TtT21T30T40T(tT)系统的稳态误差为esslim()lim(tT)tettT3-15假设可用传送函数C(s)1描述温度计的特性，现在用温度计测量盛R(s)Ts1在容器内的水温，需要一分钟时间才能指出实际水温的98%的数值。如果给容器加热，使水温依10/min的速度线性变化，问温度计的稳态误差有多大?解：由题意，该一阶系统得调整时间ts1min，但ts4T，所以T0.25min。系统输入为r(t)10t，可推得10R(s)s2因此可得C(s)1R(s)10Ts12s(Ts1)c(t)1t01T0Te10tTc(t)的稳态分量为css(t)10t10T稳态误差为e

37、ss(t)r(t)css(t)10T100.252.5所以，稳态误差为2.5C3-16如图3-2所示的控制系统结构图，误差E(s)在输入端定义，扰动输入n(t)21(t).试求K40时，系统在扰动输入下的稳态输出和稳态误差。若K20,其结果又如何？在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节1，对其结果有何影响？s在扰动作用点之后的前向通道中引入积分环节1，对其结果又有何影响？s图3-2习题3-16示意图解：令G1K，G21，H2.50.05s1s5则CsG2NsG1G2Es)代入E(s)R(s)HC(s)()()(得G2N(s)G1G2R(s)C(s)1G1G2H1G1G2H令R(s)0，得扰动

38、作用下的输出表达式：Cn(s)G2N(s)G1G2H1此时的误差表达式为：En(s)R(s)HCn(s)G2HN(s)1G1G2H若在s右半平面上解析，则有essnlimsEn(s)limG2HsN(s)G1Gs0s012H在扰动输入下的稳态输出为Cn()limsCn(s)limG2sN(s)G1G2Hs0s01代入N(s),G1,G2,H的表达式，可得cn()1,essn2.5K1（1）当K40时，cn()（2）当K20时，cn()512.5K2,essn51011012,essn55151可见，开环增益的减小将导致扰动作用下系统稳态输出的增大，且稳态误差的绝对值也增大。（3）若1s加在扰动

39、之前，则KG21G1H2.5s(0.05s1)s5得cn()0,essn0若1s加在扰动之后，则KG21G1H2.50.05s1(s5)cn()240),0.04(K20)0.02(K2.5Kessn540),0.1(K20)0.05(K2.5K可见在扰动作用点之前的前向通路中加入积分环节，可以消除阶跃输入引起的稳态误差。3-17设随动系统的微分方程为：d3c(t)Tmd2c(t)dc(t)TmTa3dt2Kc(t)Kr(t)dtdt其中，c(t)为系统输出量，r(t)为系统输入量，Tm为电动机机电时间常数，Ta为电动机电磁时间常数，K为系统开环增益。初始条件全部为零，试讨论：（1）Ta、Tm

40、与K之间关系对系统稳定性的影响（2）当Ta0.01,Tm0.1,K500时，可否忽略Ta的影响？在什么影响下Ta的影响可以忽略？解：（1）对系统微分方程在零初始条件下进行拉氏变换，得闭环系统特征方程TmTas3Tms2sK0当TmTaK均为正值时，且有D2Tm(1TaK)0即0K1Ta时闭环系统稳定。（2）由于Ta0.01，因此只有当0K100闭环系统才稳定，显然，对于K500,闭环不稳定。此时若略去Ta,闭环特征方程为Ts2sKs2s5000m0.1上式中各项系数为正，从而得到得出闭环系统稳定的错误结论。如果K100。如果K100，则略去Ta不会影响闭环稳定性。对于本例，当K1Ta时，不能忽

41、略Ta对稳定性的影响，否则可以忽略。3-18设计题飞机的自动控制，是一个需要多变量反馈方式的例子。在该系统中，飞机的飞行姿态由三组翼面决定，分别是：升降舵，方向舵和副翼，如附图3-3(a)所示。飞行员通过操纵这三组翼面，可以使飞机按照既定的路线飞行。这里所要讨论的自动驾驶仪是一个自动控制系统，它通过调节副翼表面来控图3-3（a）飞机副翼模型图制倾角，只要使副翼表面产生一个的变形，气压在这些表面上会产生一个扭矩，使飞机产生侧滚。飞机副翼是由液压操纵杆来控制的，后者的传递函数为1。s测量实际的倾角，并与输入设定值进行比较，其差值被用来驱动液压操纵杆，而液压操纵杆则反过来又会引起副翼表面产生变形。图

42、3-3（b）飞机控制倾角结构图为简单化起见，这里假定飞机的侧滚运动与其他运动无关，其结构图如图3-3(b)所示，又假定K11，且角速率由速率陀螺将其值进行反馈，期望的阶跃响应的超调量%10%，调节时间(以2%的标准)ts9s，试选择合适的Ka和K2值。解：由于过阻尼响应缓慢，故通常不希望采用过阻尼系统，在本题中0,1欠阻尼1KaKaG(s)s2(K2Ka1)sss1K2Ka(s)Ka(K2Ka1)sKas2因此，2Kan2nK2Ka1计算可得nKaK2Ka12Ka又因，%e12100%，ts3.59n由题计算可得0.59，n0.659故Ka0.4,K20.634图4-1习题4-1系统零极点分布

43、图4-1已知系统开环零极点分布如图4-1所示，试绘制相应的根轨迹图。解：jjj000(a)(b)(c)jjj000(d)(e)(f)4-1a根轨迹图a）根轨迹的渐近线条数为nm0b）根轨迹的渐近线条数为nm0c）根轨迹的渐近线条数为nm3，渐近线的倾斜角为160，2180，240d）根轨迹的渐近线条数为nm0e）根轨迹的渐近线条数为nm0f）根轨迹的渐近线条数为nm1，渐近线的倾斜角为1804-2已知单位反馈控制系统的前向通道传递函数为：(1)G(s)K(s1)(2)G(s)K2(s2)(s4)1)(s2)(s5)ss(s(3)G(s)K(4)G(s)K(s1)4s20)1)(s24s16)s

44、(s4)(s2s(s0，画出各系统的根轨迹图。解：（1）按下列步骤绘制根轨迹：系统开环有限零点为z11；开环有限极点为p1,20,p32,p44实轴上的根轨迹区间为,4,2,1根轨迹的渐近线条数为nm3，渐近线的倾角为160，2180，360渐近线与实轴的交点为nmpizi5i1i1am3n闭环系统根轨迹如下图4-2a所示j-4-2-104-2a闭环系统根轨迹图2）按下列步骤绘制根轨迹：系统没有开环有限零点；开环有限极点为p10,p21,p32,p45实轴上的根轨迹区间为5,2,1,0根轨迹的渐近线条数为nm4，渐近线的倾角为145，2135，3135，445渐近线与实轴的交点为nmpizii

45、1i12amn分离点方程为11110dd1d2d5解得分离点d14.06,d20.40闭环系统根轨迹如下图4-2b所示j-5-2-10图4-2b（3）按下列步骤绘制根轨迹：系统没有开环有限零点；开环有限极点为p10,p24,p3,42j4实轴上根轨迹区间为4,0根轨迹的渐近线条数为nm4，a2，a45,135,225,315根轨迹的起始角：复数开环有限极点p3,42j4处，p390,p490分离点方程为11110dd4d2j4d2j4解得分离点d12,d2,32j6检查d12时，K*64d2,32j6时，K*100d1,d2,d3皆为闭环系统根轨迹的分离点。确定根轨迹与虚轴的交点：系统闭环特征

46、方程为D(s)s48s336s280sK*0列写劳斯表s4136K*s3880s226K*180268K*s26s00当K*260时，劳斯表出现全零行，辅助方程为A(s)26s22600解得根轨迹与虚轴交点为10。根轨迹如下图4-2c所示：j42-6-4-20-2-44-2c4）按下列步骤绘制根轨迹：系统开环有限零点为z11；开环有限极点为p10，p21，p3,42j23实轴上根轨迹区间为(,1,0,1根轨迹的渐近线条数为nm3，a分离点方程为2，a60,180,60311111dd1d2j23d2j23d1解得分离点d12.26,d20.45根轨迹如下图4-2d所示：j-1014-2d4-3

47、给定系统如图4-2所示，K0，试画出系统的根轨迹，并分析增益对系统图4-2习题4-3系统零极点分布图阻尼特性的影响。解：（1）作系统的根轨迹。开环传递函数为K(s2)(s3)G(s)F(s)s(s1)开环极点为0和1，开环零点为2和3。所以实轴上的根轨迹区间为3,2和1,0。分离点方程1111dd1d2d3得分离点d12.366,d20.634检查d12.366时，K*s(s1)s2.366(s2)(s3)d20.634时，K*s(s1)s0.634(s2)(s3)可得到根轨迹如下图4-3a所示0.071813.93j-3-2-104-3a（2）分析增益对阻尼特性的影响。从根轨迹图可以看出，对

48、于任意K0，闭环系统都是稳定的，但阻尼状况不同。增益较小时（0K0.0718）系统过阻尼；增益很大时（K13.93），系统过阻尼；增益中等时（0.0718K13.93），系统欠阻尼。4-4给定控制系统如图4-3所示，K0，试用系统的根轨迹图确定，速度反馈增益K为何值时能使闭环系统极点阻尼比等于0.7。解：（1）求系统的闭环特征方程并划成标准形式。通过方块图变换或代数运算可以求得单位反馈系统的开环传递函数10/(s1)110G(s)1)ss(s110k)110k/(s因为可变参数K不是分子多项式的相乘因子，所以先求系统的闭环特征方程s(s110k)10s2s10ks100改写为110ks0s2s

49、10即，上述闭环特征方程也相当于开环传递函数为G(s)Ks0,K10ks2s10的系统的闭环特征方程。（2）根据G(s)作出根轨迹图。G(s)有两个极点0.5j3.1225，一个零点0，所以负实轴是根轨迹，而且其上有分离点。将闭环特征方程改写为s2s10Ks由dK/ds0可以求得s10，其中s10在根轨迹上，对应增益为K5.32460，故s10是实轴上的分离点。根轨迹如图4-4a所示。j0.704-4a（3）求反馈增益k。首先要确定闭环极点。设途中虚线代表0.7，则闭环极点为根轨迹和该虚线的交点，由0.7可得arccos45.57。设s1njn120.7nj0.51n列出该点对应的辐角条件ar

50、gG(s)argsj3.1225)(s10.5j3.1225)(s10.5arctan0.51arctan0.510.70.7180(2k1)n3.1225arctan0.51n0.50.73.1225n0.5经整理得0.51arctan0.7n3.12250.51n3.12250.510.5arctan0.5180(2k1)arctann0.7n0.7两边同取正切，整理得1.0202n210.20200解得，n3.1623。所以该闭环极点为s12.2136j2.2583。再由s2s103.4272Ks2.2136j2.2583s得速度反馈增益为kK/100.3427。4-5已知单位反馈系统的

51、开环传递函数为：G(s)K。要求系统的s(s1)(0.5s1)闭环极点有一对共轭复数极点，其阻尼比为0.5。试确定开环增益K，并近似分析系统的时域性能。解：根据绘制常规根轨迹的基本法则，作系统的概略根轨迹如图4-5a所示。0.5j21-2-10-1-24-5a欲确定K，需先确定共轭复极点。设复极点为s1,2xjy根据阻尼比的要求，应保证yxtg(180arccos)1.732x在图上作0.5的阻尼线，并得到初始试探点的横坐标x0.3，由此求得纵坐标y0.52。在s0.3j0.52处检查相角条件G(s)173.6不满足相角条件；修正x0.32，则y0.554，点s0.32j0.554处的相角为1

52、77.4；再取x0.33，则y0.572，点s0.33j0.572处的相角为180。因此共轭复极点s1,20.33j0.572。由模值条件求得K1K*s0.33j0.5720.5132运用综合除法求得另一闭环极点为s32.34。共轭复极点的实部与实极点的实部之比为0.14，因此可视共轭复极点为系统的主导极点，系统的闭环传递函数可近似表示为(s)0.4360.665s0.436s2并可近似地用典型二阶系统估算系统的时域性能3.510.6tsn%e/12100%16.3%4-6已知单位反馈系统的开环传递函数为：K(s22s4)G(s)6)(s2,K0s(s4)(s1.4s1)试画出系统的根轨迹图，

53、并分析系统的稳定时K的取值X围。解：由题得开环极点：0,4,6和0.7j0.714开环零点：1j1.7321分离、会合点：从s平面的零点、极点分布可知在区间内(4,0)可能有分离、会合点。记A(s)s(s4)(s6)(s21.4s1)s511.4s439s343.6s224sB(s)s22s4A(s)B(s)A(s)B(s)，可得(5s445.6s3117s287.2s24)(s22s4)(s511.4s439s343.6s224s)(2s2)经整理后得到3s630.8s5127.4s4338.4s3531.2s2348.8s960用试探法或程序算得区间(4,0)内的一个根为2.3557，它就

54、是实轴上的分离点。根轨迹自复数极点的出射角：54.88根轨迹趋向复数零点的入射角：102.52根轨迹与虚轴的交点：闭环特征方程为f(s)s511.4s439s3(43.6k)s2(242K)s4K0令sj，可得11.44(43.6K)24K04393(242K)0由第二式得K0.5419.5212，代入第一式，得620.2492.92960解得11.2115,22.1545,33.7537根据以上数据画根轨迹图，如图4-6a所示。4-6a根轨迹图再分析系统得稳定情况：根轨迹与虚轴第一个交点的频率为11.2115，利用幅值条件可以计算出对应的增益Ks(s4)(s6)(s21.4s1)|sj1.2

55、11515.56s22s4同样可以算得与22.1545和33.7537对应的增益K264.74,K3163.43参看根轨迹图可知：系统稳定时K的取值X围为：K15.54或64.74K163.434-7已知单位反馈系统的开环传递函数为：G(s)Ks(s1)(s2)K的变化X围是0，试画出系统的根轨迹图。解：按下列步骤绘制根轨迹：系统没有开环有限零点；开环有限极点为p10,p21,p32实轴上的根轨迹区间为,2,1,0根轨迹的渐近线条数为nm3，渐近线的倾角为160，2180，360nmpizi渐近线与实轴的交点为ai1i11nm分离点方程为1110dd1d2解得分离点d0.42闭环系统根轨迹如下

56、图4-7a所示j21-2-10-1-24-7a4-8已知反馈控制系统的开环传递函数为：G(s)K1,K0,a0,H(s)s(sa)试画出K和a同时变化的根轨迹簇。解：（1）列写闭环特征方程。闭环特征方程为s2asK0（2）画a0，K从0到的根轨迹。a0时闭环特征方程为s2K0。这相当于一个开环传递函数为G1(s)H1(s)Ks2的系统。它的根轨迹是与虚轴重合的直线。见图4-8a中由圆圈构成的根轨迹。（3）画K为常数，a从0到的根轨迹。给定K，则闭环特征方程为1as0Ks2as它相当于一个开环传递函数为G2(s)H2(s)的系统，该系统的开环极点为s2KjK，开环零点为0。图4-8a中不带圆圈的

57、根轨迹是K1,4,9,16时的根轨迹。j43210-1-2-3-41(sa)4-9已知单位反馈系统的开环传递函数为：G(s)4s2(s1)的变化X围是0,，试画出系统的闭环根轨迹。解：系统闭环特征方程为D(s)s3s21s1a0441a即有140s21ss34等效开环传递函数为K*G1(s)1)2s(s2*1Ka，变化X围为0,按照绘制常规根轨迹的基本法则确定根轨迹的各项参数：（1）等效系统无开环有限零点；开环有限极点为：p10,p2p312（2）实轴上的根轨迹区间为,0（3）根轨迹有3条渐近线，且a1,a60,180,3003dK*(3s22s1)（4）根轨迹的分离点：由分离点方程40G1(

58、s)s2(s1)4ds2解得d11,d2126（5）根轨迹与虚轴的交点：根据闭环特征方程列写劳斯表如下：s3114s21a4s11-a44当a1时，劳斯表的s1行元素全为零，辅助方程为A(s)s21014解得s1,2j2绘制系统参数根轨迹如图4-9a所示j1211062124-9a4-10已知反馈控制系统中，其开环传递函数为：G(s)K(s22s4)s(s4)(s6)(s21.4s1)(1)绘制H(s)s4时的闭环根轨迹概略图；s(2)绘制H(s)s1.05时的闭环根轨迹概略图；s(3)比较开环零点变化对根轨迹形状的影响。解：（1）开环传递函数K(s22s4)G(s)H(s)1.4s1)s2(

59、s6)(s2按下列步骤绘制根轨迹：系统开环有限零点为z1,21j1.732；开环有限极点为p1,20，p36，p4,50.7j0.714实轴上的根轨迹区间为,6根轨迹的渐近线条数为nm3，渐近线的倾角为160，2180，360渐近线与实轴的交点为nmpizii1i11.8amn闭环系统根轨迹如下图4-10a所示j-60图4-10a根轨迹图（2）开环传递函数K(s1.05)(s22s4)G(s)H(s)1.4s1)s2(s4)(s6)(s2按下列步骤绘制根轨迹：系统开环有限零点为z11.05，z2,31j1.732；开环有限极点为p1,20，p34，p46，p5,60.7j0.714实轴上的根轨

60、迹区间为,6和4,1.05根轨迹的渐近线条数为nm3，渐近线的倾角为160，2180，360渐近线与实轴的交点为nmpizii1i12.78amn闭环系统根轨迹如下图4-10b所示j-6-404-10b根轨迹图4-11给定控制系统的开环传递函数为：G(s)sa,a0s(2sa)试作出以a为参变量的根轨迹，并利用根轨迹分a取何值时闭环系统稳定。解：（1）求系统的闭环特征方程并化成标准的形式。因为可变参数a不是分子多项式的相乘因子，所以先求系统的闭环特征方程2s2assa0可改写为a(s1)10s(2s1)则开环传递函数为G(s)a(s1)K(s1),Ka0s(2s1)s(2s1)（2）根据G(s