几何学的发展简史

1、几何学的发展简史上海市第十中学 数学教研组 王沁课前设计中国古代是是一个在在世界上上数学领领先的国国家，用用近代数数学科目目来分类类的话，可可以看出出：无论论是算术术、代数数还是几几何、三三角，中中国古代代数学在在各方面面都十分分发达。而而且在数数学理论论与实际际需要的的联系中中，创造造出了与与古希腊腊等欧洲洲国家风风格迥异异的实用用数学。可惜的是，现现行的教教材对中中国古代代数学家家的成就就介绍得得很少。即即使教材材中有，但但是也基基本上出出现在阅阅读材料料中，几几乎没有有老师会会去介绍绍，当然然，学生生也很少少去看。我本人接触触这些数数学历史史知识也也是拜赐赐学校提提供的再再学习机机会。我

2、我校有一一个由秦秦一岚校校长总负负责、全全校老师师共同参参与的市市级课题题：史情情教育与与各学科科校本课课程的整整合。如如何在数数学学科科上整合合史情教教育，在在数学课课中充分分挖掘数数学学科科的民族族精神内内涵，弘弘扬中华华民族精精神和上上海城市市精神，渗渗透德育育教育，探探索出一一条符合合学生特特点的教教学方法法，通过过师生互互动，能能提高学学生团结结协作精精神，并并提高学学生的科科学素养养，是摆摆在我面面前的一一个重要要课题。为为此，我我做了以以下几方方面的准准备。第一步，确确定课题题。高二二正在上上立体几几何，于于是确定定上几何何学（偏偏重立体体几何）的的发展简简史。第二步，收收集资料

3、料。主要要是阅读读大量有有关数学学史的书书籍。第三步，理理清脉络络。把看看到的大大量信息息进行梳梳理，按按照时间间顺序、内内容与教教材内容容的相关关程度、在在几何史史上地位位的重要要性等方方面进行行选取。第四步，组组织教案案。确定定前一部部分讲几几何学发发展简史史，后一一部分让让学生用用学习过过的几何何知识（主主要是立立体几何何）来解解决一些些实际问问题。数学应用能能力是基基础数学学教育的的重要组组成部分分，同时时它也是是学生比比较薄弱弱的环节节。中学学里的数数学内容容多半是是纯粹的的数学基基础知识识，而现现在国家家提倡数数学素质质教育,那么提提高数学学应用能能力是其其中重要要的一环环。为了了

4、提高同同学对立立体几何何的兴趣趣，提高高学生应应用立体体几何知知识解决决实际问问题的能能力，我我选择了了四道应应用性较较强的例例题:平平改坡问问题,遮遮阳篷的的角度,飞机高高度测量量和蜂巢巢表面积积最小问问题。鉴鉴于学生生的实际际数学水水平与能能力，我我没有让让学生从从数学实实际问题题出发自自行建立立数学模模型，而而是在帮帮助他们们建立了了数学模模型后，指指导学生生如何看看懂模型型，如何何联系学学习过的的数学知知识解决决数学问问题。我希望通过过我的课课，能让让更多的的学生了了解数学学的历史史，了解解中国数数学的历历史，为为我国古古代数学学家的杰杰出贡献献而自豪豪。同时时让同学学看到数数学是多多

5、么有用用的一门门学科，多多么有趣趣的一门门学科，希希望无论论是数学学成绩好好还是数数学成绩绩不理想想的同学学都能对对数学永永远保持持一分兴兴趣。教案教学目标：（1）让学学生大致致了解几几何学（主主要是立立体几何何）学在在中外的的发展简简史；（2）通过过使用古古代数学学家的方方法解决决问题，让让学生亲亲身体会会中国古古代科学学家的成成就；（3）通过过中外数数学家的的成就比比较中外外古代研研究数学学的思想想的不同同；（4）通过过学习过过的立体体几何知知识来解解决一些些实际问问题。教学重点：割补法法应用于于解决实实际问题题。教学难点：实际问问题向数数学模型型的转化化。教学过程：前 言言“九章所所蕴含

6、的的思想影影响，必必将日益益显著，在在下一世世纪中凌凌驾于原原本思思想体系系之上，不不仅不无无可能，甚甚至说是是殆成定定局。”吴文俊 汇校校九章算算术序引入数数学的历历史就是是“数”与“形”的发展展史。我我们的先先民在从从野蛮走走向文明明的漫长长历程中中，逐步步认识了了数与形形的概念念。“形”的意识识也许跟跟人类历历史一样样古老。例例如：在在中国出出土的新新石器时时代的陶陶器大多多为圆形形或其他他规则形形状，陶陶器上有有各种几几何图案案，通常常还有三三个着地地点，这这些都是是几何知知识的萌萌芽。古埃及在齐齐阿普斯斯王朝(公元前前29000年左左右)时时代建造造起来的的金字塔塔,其塔塔基是一一个

7、“标准”的正方方形，各各边的误误差不超超过万分分之六。希腊人创造造了他们们自己的的文明和和文化，对对现代西西方文化化的发展展影响最最大，对对今日数数学的奠奠基起了了决定作作用。新课讲授授一古希腊腊几何学学古典时期期(公元元前6000年到到公元前前3000年)（1）泰勒勒斯（约约前6440前5446年）将将埃及的的实用几几何带入入希腊，开开始证明明几何命命题。（2）毕达达哥拉斯斯（约前前5855前5000年）学学派对图图形进行行广泛的的研究。开开头研究究的一类类问题叫叫面积应应用问题题。几何上有三三个著名名的作图图问题：作一正正方形使使其与给给定的圆圆面积相相等；给给定正方方体一边边，求作作另一

8、正正方体之之边，使使后者体体积两倍倍于前者者体积；用尺规规三等分分任意角角。有好好些数学学结果是是为解决决这三个个问题而而得出的的副产品品。（3）希波波克拉底底（前55世纪下下半叶）已已研究画画圆为方方及立方方倍积问问题。据据说最早早把间接接证明引引用到数数学里的的是他。他他所著的的几何书书叫几几何原本本，已已经失传传。（4）德谟谟克利特特（约前前4600前3770年）发发现棱锥锥和圆锥锥的体积积分别等等于同底底等高的的棱柱和和圆柱体体积的三三分之一一（但是是证明是是由欧道道克斯作作出的）。他他的几何何著作很很可能是是欧几里里德几几何原本本问世世以前的的重要著著作。（5）亚里里士多德德（约前前

9、3844前3222年）创创造了演演绎逻辑辑，虽然然他的哲哲学对数数学的直直接影响响很少，但但对古希希腊的论论证几何何等数学学的发展展起到明明显的促促进作用用。他给给“定义”、“定理”、“公设”等以明明确的解解释。（6）欧几几里德（前前3000年左右右生活在在亚历山山大城并并在该处处授徒）著著几何何原本，确确立几何何学的逻逻辑体系系，成为为世界上上最早的的公理化化数学著著作。原原本共共十三篇篇，第一一篇到第第四篇讲讲直边形形和圆的的基本性性质；第第五篇讲讲比例论论；第六六篇讲相相似形；第七、八八、九篇篇是数论论；第十十篇是不不可公度度量的分分类；第第十一、十十二、十十三篇是是立体几几何及穷穷竭法

10、。西方曾有两两本影响响最广的的书，一一本是圣圣经，另另一本就就是几几何原本本。原原本是是使用时时间最长长的数学学教科书书。原原本实实际上是是古希腊腊古典时时期一些些个别发发现的整整理，是是众多学学者智慧慧的结晶晶，欧几几里德对对前人的的成果加加以整理理、归纳纳、完善善和发展展，他依依然是个个大数学学家。虽虽然它的的内容存存在缺陷陷，而且且与现代代教学趋趋势日益益不相适适应，但但从历史史的角度度看，它它确实是是一部伟伟大的著著作，无无愧于“西方数数学的代代表作”的称号号。这个时期的的数学仅仅仅是定定性的。那那个时期期的知识识分子只只限于搞搞哲学和和科学工工作，不不去搞商商业和贸贸易；有有教养的的

11、人不关关心实际际问题。他他们就这这样把数数学思维维和实际际需要割割裂开来来，而且且数学家家也没有有感到有有去改进进算术方方法和代代数方法法的压力力。只有有当有文文化的阶阶级与奴奴隶阶级级之间的的壁垒在在亚历山山大时期期被冲破破而且有有教养的的人关心心实际事事务的时时候，重重点才转转移到数数量知识识以及发发展算术术和代数数方面。亚历山大大时期(前3000年到到公元6600年年)阿基米德（前前2877前2112年）利利用穷竭竭法求出出球的表表面积和和体积公公式,研研究抛物物弓形面面积,给给出的范围围,它的的几何著著作是希希腊数学学的顶峰峰。大约从公元元1世纪纪初起,亚历山山大的数数学工作作特别是是

12、几何工工作开始始衰落.而此时时在东方方的中国国数学正正蓬勃发发展。二、中国古古代几何何学中国的几何何有悠久久的历史史，可靠靠的记录录从公元元前十五五世纪谈谈起，甲甲骨文内内已有“规”和“矩”两个字字,规是是用来画画圆的,矩是用用来画方方的.春秋时期，随随着铁器器的出现现，生产产力的提提高，中中国开始始了由奴奴隶制向向封建制制的过渡渡，新的的生产关关系促进进了科学学技术的的发展与与进步。战战国时期期人们通通过田地地及国土土面积的的测量，城城池的修修建，水水利工程程的设计计等生产产生活实实践，积积累了大大量的数数学知识识。（1）但是是秦朝的的焚书坑坑儒给中中国文化化事业造造成空前前的浩劫劫，西汉汉

13、作为数数学新发发展及先先秦典籍籍的抢救救工作的的结晶，便便是九九章算术术的成成书。它它对于中中国和东东方数学学，大体体相当于于几何何原本对对于希腊腊和欧洲洲数学。中中国古代代的几何何一般不不讨论图图形离开开数量关关系的性性质，而而要计算算出长度度、面积积、体积积。在九九章算术术的方方田章中中有各种种多边形形、圆、弓弓形等的的面积公公式；商商功章讨讨论了各各种立体体的体积积公式。九章算术术后，中中国的数数学著述述基本采采用两种种方式：一是为为九章章算术做做注；二二是以九九章算术术为楷楷模编纂纂新的著著作。经经过两汉汉社会经经济和科科学技术术的大发发展，到到魏晋时时期，思思想文化化领域中中儒家的的

14、统治地地位被削削弱，代代之以谈谈三玄周周易、老老子、庄庄子为为主的辩辩难之风风。与此此相适应应，数学学家重视视理论研研究，力力图把自自先秦到到两汉积积累起来来的数学学知识建建立在必必然可靠靠的基础础之上。（2）刘徽徽和他的的九章章算术注注便是是魏晋时时代造就就的最伟伟大的数数学家和和最杰出出的数学学著作。该书前九卷卷全面论论证了九九章算术术的公公式、解解法，发发展了出出入相补补原理、截截面积原原理、齐齐同原理理和率的的概念，在在圆面积积公式和和锥体体体积公式式的证明明中引入入了无穷穷小分割割和极限限思想，首首创了求求圆周率率的正确确方法，指指出并纠纠正了九九章的的某些不不正确的的或错误误的公式

15、式，探索索出解决决球体积积的正确确途径。以多面体体体积的算算法为例例，在实实际中使使用了长长方体的的体积公公式：VV=abbh。堑堵是将长长方体沿沿相对两两棱剖开开所得的的几何体体，其体体积显然然是V=abhh/2；沿堑堵堵的一顶顶点与相相对的棱棱剖开，一一部分是是四棱锥锥，称为为阳马，其其体积为为V=aabh/3，另另一部分分为四面面都是直直角三角角形的三三棱锥，叫叫鳖臑，其其体积VV=abbh/66。刘徽徽用无穷穷小分割割的方法法证明了了上述公公式。在平面几何何中用直直角三角角形或正正方形 在立体体几何中中用锥体体和长方方体进行行移补,这构成成了中国国古代几几何的特特点.刘徽未能解解决球体

16、体积公式式的证明明，但他他创造性性地给出出了他的的“牟合方方盖”，但是是他未能能证明，在在书中他他也坦诚诚直言，表表示“以俟能能言者”。2000多年年后出了了一位“能言者者”，那就就是祖暅暅之。（3）缀缀术包包含了祖祖冲之（44295000年）和和儿子祖祖暅之（一一作祖暅暅，生平平不详）的数学贡献。祖暅沿用刘徽的“牟合方盖”，证明了球体体积的计算问题，充分显示了中国古代数学家的聪明才智。由于该书内容深奥，隋唐算学馆的学官（相当于今天大学数学系的教授）读不懂，后失传。刘徽和祖氏氏父子在在极限思思想的运运用上远远远超过过了古希希腊的同同类思想想，达到到了文艺艺复兴前前世界数数学界的的最高峰峰。三、

17、我们研研究探索索的问题题问题1为了了改善住住房条件件，上海海近些年年大力推推行“平改坡坡”工程。一一个平顶顶建筑物物屋顶是是一个长长为a米米宽为bb米的矩矩形，在在其上增增加一个个如图所所示的屋屋顶，屋屋脊PQQ的长为为m米，屋屋顶的高高为h米米，求增增加的屋屋顶的体体积。 分析将屋顶顶截成中中间成三三棱柱（堑堑堵），两两边成四四棱锥（阳阳马）。仅仅此，我我们可以以看出刘刘徽的这这组模型型在几何何体计算算中的作作用。问题2 遮遮阳棚的的角度C1B1A1CBA卖西瓜的小小商贩决决定利用用一面南南北方向向的墙（如如图所示示），在在上面用用AC=3m BC=4m ABB=5mm的角钢钢焊接成成一个简

18、简易的遮遮阳棚（将将AB放放在墙上上），他他认为从从正西方方向射出出的太阳阳光线与与地面成成75度度角时，气气温最高高，要使使此时的的遮阳棚棚面积最最大，应应将遮阳阳棚ABBC面与与水平面C1B1A1CBA问题3飞行行的高度度在南北方向向的一条条公路上上，一辆辆汽车由由南向北北行驶，速速度为1100千千米/时时，一架架飞机在在一定高高度上的的一条直直线上飞飞行，速速度为11007千米米/时。从从汽车里里看飞机机，在某某个时刻刻看见是是正西方方向，仰仰角是330度，在在36秒秒后，又又看见飞飞机在北北偏西330度，仰仰角为330度，问问飞机的的飞行高高度是多多少千米米？问题4 18世世纪，法法国

19、科学学家雷奥奥乌姆尔尔和马拉拉尔蒂等等人认真真观测蜂蜂巢，发发现它外外形是正正六棱柱柱，下底底是正六六边形（设设边长为为2a），顶顶部是三三个全等等菱形，三三个菱形形与棱柱柱轴线成成等角，三三者彼此此斜依而而下倾，棱棱柱侧面面皆全等等直角梯梯形。设设较长侧侧棱AAA1=hh，问：（1）当菱菱形的边边长变化化时，蜂蜂巢的体体积是否否改变？请说明明理由。（2）欣赏赏了蜂巢巢的艺术术性之后后，科学学家在深深思这种种奇特结结构的实实用价值值，猜想想这种蜂蜂房的顶顶盖设计计可能是是节省其其建材蜂蜂蜡的最最佳选择择。雷奥奥乌姆尔尔就这种种猜测请请教瑞士士数学家家、巴黎黎科学院院院士科科尼希，科科尼希严严格

20、证明明了人们们关于蜂蜂巢最优优性的猜猜测是真真的。请请你也来来计算一一下，在在体积相相同的情情况下，菱菱形内角角多大时时，蜂巢巢表面积积最小？结 束 语语“继续发扬扬中国古古代传统统数学的的机械化化特色对对数学各各个不同同领域探探索实现现机械化化的途径径，建立立机械化化的数学学，则是是本世纪纪以至可可能绵亘亘整个221世纪纪才能大大体趋于于完善的的事。”吴文俊 现代代数学新新进展序序专家点评评一般情况下下，开课课从来不不会开这这样的课课，把数数学史作作为上课课讲授内内容的一一个重要要组成部部分，占占了近一一半的教教学时间间。但是是数学史史又是数数学的一一个不可可缺损的的部分。我我本人在在以前也

21、也并不了了解数学学的发展展史，也也是工作作后，看看了一些些有关的的书籍，慢慢慢地对对数学史史也有了了一定的的了解。我感到数学学史对我我影响最最大的是是历史上上许多数数学家的的人格魅魅力。为为了坚持持真理，他他们不顾顾世人的的嘲笑、谩谩骂、甚甚至迫害害，有些些人甚至至付出了了生命的的代价。比比如非欧欧几何的的发现。其其实当时时有三个个人同时时发现。年年轻的玻玻利亚因因为怀疑疑自己的的成果被被高斯剽剽窃，一一气之下下不再研研究数学学。高斯斯屈从于于教会的的势力，不不敢勇敢敢地发表表自己的的发现。而而只有俄俄国有创创新精神神的罗巴巴切夫斯斯基在喀喀山大学学数学物物理系宣宣读了他他的开创创性论文文关于

22、于几何原原理的议议论，提提出了罗罗巴切夫夫斯基公公理，这这一天公公认为“非欧几几何”的诞生生日。他他公然向向人类几几千年来来确信不不疑的欧欧氏几何何挑战，在在当时遭遭到了几几乎所有有数学家家的讽刺刺，甚至至校长的的职务也也被撤除除。但是是科学界界对待罗罗巴切夫夫斯基的的不公正正评价并并未摧毁毁它对新新几何的的信念，他他不顾一一切侮辱辱坚持真真理，他他的理想想终于得得胜，被被历史承承认。三三人中只只有他被被公认为为“非欧几几何之父父”，这也也是他的的不屈科科学精神神的体现现，也是是后人对对他坚持持真理的的一种敬敬意。因因此，讲讲一点数数学史，看看一点数数学史，不不仅对学学生，对对老师也也是一种种

23、教育。我我们应该该对学生生多进行行人格方方面的教教育，数数学史值值得去讲讲，值得得去研究究，数学学家的这这种精神神应该让让后人了了解、继继承、发发扬。任何数学家家的成就就都离不不开人的的积累。欧欧几里德德的几几何原本本是古古希腊先先人数学学成就的的结晶，中中国九九章算术术也是是中国先先秦时期期和以前前中国古古人的数数学成就就的总结结。刘徽徽的成就就更是踩踩在前人人的肩膀膀上才取取得的。还还历史一一个本来来面目，让让学生了了解这些些，知道道前人要要想发现现哪怕是是一个定定理也是是多么不不容易。数数学上的的探索与与发现本本来就是是一条荆荆棘之路路，仅靠靠个人的的力量是是不够的的。这方方面对学学生也

24、是是一个教教育。本堂课的实实际问题题都很精精彩，体体现了中中国古代代数学处处理几何何体的最最常用方方法：割割补法。有有三维的的割补，也也有平面面的割补补。只是是遮阳篷篷这道题题花的时时间较长长，有点点影响后后面的进进度。 李大元元课后反思思上完几何何学的发发展简史史，特特别是听听了李大大元老师师的点评评后，我我对数学学史的渗渗透教学学工作应应当起到到的作用用又有了了新的认认识。首先，中国国古代的的数学成成就不仅仅是进行行爱国教教育的优优秀教材材，而且且许多成成就本身身对当前前的数学学教学仍仍具有现现实意义义。事实实上中国国古代解解决某些些问题的的方法比比现行数数学教科科书中的的方法要要优越。现现行教材材的几何何部分大大量来源源于古希希腊人的