定积分在几何学上的应用

1、关于定积分在几何学上的应用第1页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四曲边梯形的面积曲边梯形的面积1.直角坐标系情形一、 平面图形的面积第2页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四解两曲线的交点面积元素选 为积分变量第3页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四解两曲线的交点选 为积分变量第4页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：积分变量只能选 吗？第5页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四解两曲线的交点选 为积分变量第6页，共78页，2022年，5月20日，

2、0点51分，星期四如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积第7页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四例3. 求椭圆解: 利用对称性 , 所围图形的面积 . 有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当 a = b 时得圆面积公式第8页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四例4. 求由摆线的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .解:第9页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四2. 极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积 .在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为第10页，共78页，2022年，5月20日，0点51

3、分，星期四对应 从 0 变例5. 计算阿基米德螺线解:点击图片任意处播放开始或暂停到2 所围图形面积 . 第11页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积第12页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四解利用对称性知第13页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四心形线(外摆线的一种)即点击图中任意点动画开始或暂停 尖点: 面积: 弧长:参数的几何意义第14页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四例. 计算心形线与圆所围图形的面积 . 解: 利用对称性 ,所求面积第15页，共78页，2022年，5

4、月20日，0点51分，星期四 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴圆柱圆锥圆台二、体积1.旋转体的体积第16页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四xyo旋转体的体积为第17页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四解直线 方程为第18页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四第19页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四例. 计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程则(利用对称性)第20页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四方法

5、2 利用椭圆参数方程则特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积第21页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四解第22页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四星形线星形线是内摆线的一种.点击图片任意处播放开始或暂停大圆半径 Ra小圆半径参数的几何意义(当小圆在圆内沿圆周滚动时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线)第23页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四第24页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四解第25页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四第26页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四

6、分部积分注(利用“偶倍奇零”)第27页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四补充利用这个公式，可知上例中第28页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四例 求曲线与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.(94 考研)解: 利用对称性 ,故旋转体体积为在第一象限 第29页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四例 设在 x0 时为连续的非负函数, 且 形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积 ,证明:证:利用柱壳法则故第30页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四解体积元素为第31页，共78页，2022年，5月20日，0

7、点51分，星期四2、已知平行截面面积函数的立体体积设定轴为x轴，所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续, 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.第32页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积第33页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积第34页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四三、平面曲线弧长定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.并称此曲线弧

8、为可求长的.第35页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四弧长元素弧长1、直角坐标情形第36页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四曲线弧为弧长2、参数方程情形第37页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四曲线弧为弧长3.、极坐标情形第38页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四解所求弧长为第39页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长第40页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四例15. 摆线一拱的弧长 .解:第41页，共78页，2022年，5月20

9、日，0点51分，星期四解第42页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四证第43页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四根据椭圆的对称性知故原结论成立.第44页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四解第45页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四例. 求连续曲线段解:的弧长.第46页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四解第47页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四例. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,成悬链线 .求这一段弧长 . 解:下垂悬链线方程为第48页，共78页，2022年，5月2

10、0日，0点51分，星期四四、旋转体的侧面积 (补充)设平面光滑曲线求积分后得旋转体的侧面积它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .取侧面积元素:第49页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四侧面积元素的线性主部 .若光滑曲线由参数方程给出,则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积S 的 注意:侧面积为第50页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四例. 计算圆x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .解: 对曲线弧应用公式得当球台高 h2R 时, 得球的表面积公式第51页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四例. 求由星形线一周所得的

11、旋转体的表面积 S .解: 利用对称性绕 x 轴旋转 第52页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四1. 平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小五、小结第53页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四3. 已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积绕 x 轴 :4. 旋转体的侧面积侧面积元素为(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)绕 y 轴 :(柱壳法)第54页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四思考题

12、1第55页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四思考题1解答xyo两边同时对 求导第56页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四积分得所以所求曲线为第57页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四思考题2解答交点立体体积第58页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四思考题3不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长解答第59页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .提示: 交点为弧线段部分直线段部分以 x 为积分变量 , 则要分两段积分, 故以

13、 y 为积分变量. 第60页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四2. 试用定积分求圆绕 x 轴上半圆为下求体积 :提示:方法1 利用对称性旋转而成的环体体积 V 及表面积 S .第61页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四方法2 用柱壳法说明: 上式可变形为上半圆为下此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示). 第62页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四求侧面积 :利用对称性上式也可写成上半圆为下它也反映了环面微元的另一种取法. 第63页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四练 习 题1第64页，共78页，2022年，5月

14、20日，0点51分，星期四第65页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四第66页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四练习题1答案第67页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四练 习 题2第68页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四第69页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四第70页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四练习题2答案第71页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四练 习 题3第72页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四第73页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四练习题3答案第74页，共78页，2022年，5月20日，0点51分，星期四备用题解：1. 求曲线所围图形的面积.显然面积为同