27图形生长的奥秘

1、陈景润(1933_1996),福建省福州市人，1953年毕业于厦门大学数学系，主要从事解析数论方面的研究.20世纪年代以来关于筛法及其有关重要问题作了深入研究，1960年5月表明了命题“1 2将 200 多年来人们未能解决的哥德巴赫猜想的表明大大推进了一步，这一结果被国际上誉为“陈式定 理”.27 图形生长的奥秘解读课标从一个简单的、基本的图形开始，依照一定的规律，生长繁衍成复杂有趣而美丽的图形，并且探寻图形 的边长、周长、面积的变化规律，这类图形生长的问题是近年中考竞赛的一个热点问题.形生长问题的基本方法是：分析图形生长的方式、规律；，是图形生长的常见形式，解图问题解决例1(1)观察图至图中

2、小圆圈的摆放规律，并且按这样的规律继续摆放，记第个数为m，则m= .(用含n的代数式表)n 个图中小圆圈的m =53 -n=2时m =8n=3时m=11 -0n=4时m=14(2)观察下列图形:根据图的规律，图中的三角形的个数为 . 试一试关于(2),从寻找第n个图与第n_1个图三角形个数的关系入.例2(1)如图是一个水平摆放的小正方体木块，图是用这样的小正方形木块叠放而成，依照这样的规律，继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数().A. 25 B. 66 C. 91 . 120(2、3 个图案所示规律依次下去：则第n个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数诀别().A. n2

3、 n 2, 2n 1 B. 2n 2 , 2n1试一试略.C. 4n , n2 -n 3 . 4n , 2n1例 3 操作：如图，先画一个等边三角形，每边长为1 ;如图，在图中，每边三等分中间的一份处再凸出一个等边三角形；雪花图形.探究：图 6 的周长是多少？，新增三角形个数的规律，这是解本例的突破口.例4有一堆砖堆放如图，第1层有3块，第2层有8块，第3层有15块，”，如此继续下去，第9有多少块？第n层有多少块？这样共n层的砖堆总共有多少块砖？2 例5如图的图案均是用长度相同的火柴棍按一定的规律拼搭而成的：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，”，依此规律，第11个图案需多少根火柴？

4、分析当数据规律不鲜明时，可从分析图形构成入手为使图形结构清晰，可适当改变图形.解将图中各个图案右下角的个正方形移除3根火柴后得如下图：117=2（根）1=2（根），421225（根），1225（根），10根火柴； 31239（根），1239（根），18根火柴;n12J3n n 355552 2n n 根火柴.11 图案设计11 33 =157 （根）.例 6 如图是一个由 12 个相似的直角三角形组成的图案，像商标？像蜗牛？像台风眼？数学冲浪 知识技能广场1观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第8个图形共有 枚五角星. n=1n=2n=3n=42下列图形都是由同样大小的五角星按一

5、定的规律组成，其中第个图形一共有2个五角星，第图形一共有8个五角星，第个图形一共有18个五角星，”，则第个图形中五角星的个数为 图图 图3如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案（1）需要4根小棒，图案（2）需要10根小棒，”，按此规律摆下去，第n个图案需要小棒 根（用含有n的代数式表示4用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形两个正三角形，则第n个图案中正三角形的个数为 （用含n的代数式表示）5下列图案是晋商大院窗格的一部分的个数为 其中“O”代表窗纸上所贴的剪纸，则第 n 个图中所贴剪纸“O”OOO0cO1OU(1)(2

6、)(3)6如图是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面如果铺成一个2 2 的正方形图案（如图），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个33的正方形图案（如图），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个44正方形图案（如图），其中完整的圆共有25个.若这样铺成一个1010的正方形图案，则其中完整的圆共有个.7.观察下表，填表格后再解决问题:序号1图形235n55 5的个数8的个数1P 42455（1）完成 二表；（2）试求第几个图形中的“”的个数与“”的个数相等.&已知一个面积为S的等边三角形，现将其各边n（n为大于2的整数）等分，并且以相邻等分点为顶点向外作小等边角形，如图所示，当n=k时，共向外作出了

7、多少个小等边三角形？这些小等边三角形的面积和为多少？（用含 k 的式子表示）9.某体育馆用大小相同的长方形镶嵌地面，第一次铺2块，如图；第二次把第一次铺的完全围起来，如图；第三次把第二次铺的完全围起来，如图；n次镶嵌所使用的木块数为 .”；依此方法，第n 次铺完后，用字母n 表示第10如图是一个树形图的生长进程，依据图中所示的生长规律，第15行的实心圆点的个数等于 形各边依照先前的做法，得到图；积为则第n个图形中一切阴影三角形面积的和为./ XX 12如图，第(1)个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记”；如此继续，如果图的等边三角形面3.a ，第(2)个多边形由正方形“扩3.4a ，”，依此

8、类推，由正45求a 的值；5n边形“扩展”而来的多边形的边数记为a n 3 .1111197n当一+的结果是竺时，求n的值为 .na a a3 4 5a60013用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为6块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组；在第二组的外围用同样大小A，定义为地铺满多少组？还剩几块瓷砖？2005 块瓷砖最多能完整应用探究乐园14在下图中，每个正方形由边长为1的小正方形组:n=5正方形边长13575n (奇数)黑色小正方形个数正方形边长黑色小正方形个数524685n (偶数)52在边长为nn1的正方形中，设黑色小正方形的个数为p，白色小正方形的

9、个数为P ，问是否2存在偶数n ,使 P2 =5p ?若存在，请写出n 的值；若不存在，请说明理由.15将棱长为1cm的正方体按如图方式放置，求第20个几何体的表面.27.图形生长的奥秘 问题解决例 1( 1)3n 2(2) 161 图有 14 =5 个，图有 1 4 3 4 =17 个，图有 1 4 3 4 32 4 =53 个，图有 1 4 3 4 32 4 33 4 =161个.例 2 (1) C 1 5 9 13 17 21 25 =91 ；(2)图中每个小等边三角形的边长为-|，5 周长为.33nl例 43 14253nn222 J2123n2123恥数学冲浪1. 25 2. 72

10、3. 6n -2 4. 2n 29 99 块，第n 层有n n2 块，这样的n 层砖堆共有=12 1 亠 i2 2 2 亠 i3 2 3 亠 亠 i n 2n11n n 1 2n 1 n n 1 n n 1 2n 7 (块).2 25.5+3(n1)=3n+2(个)6.10+(10_1)=181(个)7.(1)略；(28n=n2，得门=8或门=0(舍去).8.-2 3 个小等边三角形，每个小等边三角形的面积为三角形的面积为k 2 3 S S.9.2n 2n -1 | | 2n -3 2n -2 =8n-610. 377 各行的实心圆点数组成斐波那契数列1n =k 时，共向外作了 k2 S，这些小等边k11.412. (1) an = n n 1 ,比=30 ; (2) n =199 .n1 6162n-1=13nn_1.当 n =26 时，1 3n n -1 =1951 ： 2005，当 n =27 时，1 3n n -1 =2107 2005，故最多能完整地铺满 26 组，还剩 2005 -1951 =54 (块)瓷砖.(1)略；(2n=2npn2 2nn22n=52nn=12n=