“弹簧振子”模型

1、“弹簧振子”模型太原市第十二中学姚维明模型建构：模型常有弹簧振子与其种类问题在简谐运动中，我们对弹簧振子（如图1，简称模型甲）比较熟悉。在学习过程中，我们经常会碰到与此周边似的一个模型（如图2，简称模型乙）。仔细比较两种模型的差异和联系，对于培养我们的思想质量，提高我们的解题能力有必然的意义。图1图2特点弹簧振子做简谐运动时，回答力F=-kx，“回答力”为振子运动方向上的协力。kx加快度为am简谐运动拥有对称性，即以平衡地点（a=0）为圆心，两侧对称点回答力、加快度、位移都是对称的。这是解题的重点。模型典案：典案1把一个小球挂在一个竖直的弹簧上，如图2。当它平衡后再使劲向下拉伸一小段距离后轻轻

2、松手，使小球上下振动。试证明小球的振动是简谐振动。证明设弹簧劲度系数为k，不受拉力时的长度为l0，小球质量为m，当挂上小球平衡时，弹簧的伸长量为x0。由题意得mg=kx0简单判断，由重力和弹力的协力作为振动的回答力假定在振动过程中的某一刹时，小球在平衡地点下方，走开平衡地点O的距离为x,取向下的方向为正方向则回答力F=mg+-k(x0+x)=mg-kx0-kx=-kx依照简谐运动定义，得证比较：（1）两种模型中，弹簧振子都是作简谐运动。这是它们的相同之处。(2）模型甲中，由弹簧的弹力供应回答力。因此，位移(x)，回答力(F)，速度(v)，加速度(a)，各量大小是对于平衡地点O点对称的。模型乙中

3、，由弹簧的弹力和重力两者的协力供应回答力。弹簧的弹力大小对于平衡地点是不对称的，这点要特别注意。可是，回答力（加快度）大小对于平衡地点是对称的。在解题时我们经常用到这点。典案2如图3所示，质量为m的物块放在弹簧上，弹m簧在竖直方向上做简谐运动，当振幅为A时，物体对弹簧的FminP点最大压力是物重的1.8倍，则物体对弹簧的最小压力是物重aP的多少倍？欲使物体在弹簧振动中不走开弹簧，其振幅最大为多少？mg剖析1)选物体为研究对象，画出其振动过程的几个图3特别点，如图4所示，O为平衡地点，P为最高点，Q为最低点。1/6经判断,可知物体对弹簧的最大压力在Q处,Fmax=1.8mg.aQ=(Fmax-m

4、g)/m=(1.8mg-mg)/m=0.8g物体对弹簧的最小压力时，在P处,依照对称性知aP=aQaQ=(mg-Fmin)/mFmin/mg=0.2欲使物体在振动过程不走开弹簧，只要在最高点（P点）知足N0即可。其走开弹簧的临界条件为N=0。此时，ap=g。设振幅最大值为A，劲度系数为k，则有kA=mapkA=map联列两式得A=1.25A模型体验：体验1如图5所示，一同落机在箱底装有若干个弹簧，设在某次事故中，起落机吊索在空中止裂，忽略摩擦力，则起落机在下端接触地后直到最低点的一段运动过程（）A.起落机的速度不断减小B.起落机的加快度不断变大a=gC.先是弹力做的负功小于重力做的正功,然AA

5、后是弹力做的负功大于重力做的正功OAaO=0D.到最低点时,起落机加快度的值BBga必然大于重力加快度的值.图5图6剖析本题实质上是模型乙的变形。起落机吊索断裂后先做自由落体运动，当弹簧与地面接触后,简单判断,v先增大后减小,a先减小后增大，则AB错。依照动能定理简单判断C正确。难度较大的是D选项。我们能够把起落机简化为如图6所示的弹簧振子,弹簧刚触地时起落机地点在A处，起落机向下运动到最低点地点为B处,速度最大地点为O处（即简谐运动的平衡地点），则B为位移等于振幅地点。由振子的对称关系,不难判断点A其实不是位移等于振幅地点,与A点对于O点对称的点应在B点上方。在A点a=g方向向下，因此在B处

6、a必然大于g，方向向上。体验2如图7所示，两木块质量分别为mM，用劲度系数为k的轻弹簧连在一同，放在水平川面上，将木块m压下一段距离后释放，它就上下作简谐运动。在运动过程中木块M碰巧向来不走开地面（即它对地面最小压力为零）。1）则木块m的最大加快度大小是多少？2）木块M对地面最大压力是多少？剖析（1）在m运动过程中，弹簧对mM施加的弹力的方向能够向上也能够向下。选M为研究对象，碰巧向来不走开地面m即FNmin=0由平衡条件F+F=Mg,可知Fmax=MgN此时，弹簧处于伸长状态，m拥有向下的加快度（失重）要使木块m的加快度最大，应当使弹力F最大am=(Fmax+mg)/m=(M+m)g/m2）

7、要使木块M对地面的压力最大，此时弹簧对M的弹力方向应向下。(此时，弹簧处于压缩状态)选M为研究对象，对其受力剖析FN=F+Mg2/6要使FN最大，则F最大这里要注意，NmaxFmaxF=Mg依照木块m做简谐运动的特点，1）（2）两种情况，加快度大小相等。对m,有Fmaxmg=mamFmax=mg+ma（3）am=(M+m)g/m联列三式，得F/Nmax=Mg+F=2(M+m)g依照牛顿第三定律FN=-F/Nmax=2(M+m)g体验3如图9所示，质量为3m的框架，放在一水平台秤上，一轻质弹簧上端固定在框架上，下端拴一质量为m的金属小球，小球上下振动，当小球振动到最低点时，台秤的示数为5mg，求

8、小球运动到最高点时，台秤的示数为_，小球的刹时加速度的大小为_。剖析当小球运动到最低点时，台秤示数为5mg，即框架和图9小球这一整体对台秤压力的大小为5mg由牛顿第三定律知，台秤对这一整体的支持力也为5mg由牛顿第二定律可知小球在该时刻有向上的加快度，设该时刻小球加快度大小为a，此时框架的加快度大小为0则对框架与小球这一整体应用牛顿第二定律得FNMmgFN4mgma3m0解得：ag由弹簧振子的典型特点1知识，小球运动到最高点，即最低点的对称点时，小球加快度的大小也为g，方向竖直向下，因此该时弹簧处于原长，台秤的示数为框架的质量3mg。*体验4如图10所示，在圆滑的水平面上，有滑块A和B，A和B

9、的质量均为10g，现有一轻质弹簧固定在两滑块右方的墙壁上，弹簧的劲度系数为k2N/m。开始时两滑块均静止，现给A滑块一冲量，使其以10m/s的速度向右滑行，并与B相碰后，与B粘在一同，碰撞时间很短。求弹簧与墙有作使劲的时间。剖析滑块A向右与滑块B相碰粘合一同，由动量守恒知，两者以5m/s的速度向右运动，A、B两滑块整体做简谐图10运动弹簧作用时间即弹簧与墙存在作使劲的时间两滑块整体与弹簧相互作用时，两者组成了一个弹簧振子，两滑块整体与弹簧的作用时T间t为弹簧振子周期T的一半，即t23/6T2mmB0.02kg，k2N/m，已知mmAk代入周期公式得：T02.0628.s因此弹簧与墙存在作使劲的

10、时间：tT0.314s2体验5如图11,一水平弹簧振子在圆滑绝缘水平面上振动,其振动小球带正电,在没有外加电场时,振子的平衡地点在O点,当它振动到最左边时突然加一个向左的匀强电场,振子连续振动时,以下说法正确的选项是:EA.平衡地点在O点的左方,振子的振幅增大:B.平衡地点在O点的右方,振子的振幅减小:OC.平衡地点在O点的左方,振子的振幅减小:图11D.平衡地点在O点的右方,振子的振幅增大答案C体验6已劲度系数为k，绝缘资料制成的轻弹簧，一端固定，另一端与质量为m、带电量为q的小球相连，静止在圆滑绝缘水平面上。当加入以以下列图的场强为E的匀强电场后，小球开始运动，以下说法正确的选项是（）A.

11、球的速度为零时，弹簧伸长量为qEkB.球做简谐运动，振幅为qEk运动过程中，小球的机械能守恒运动过程中，是电势能、动能和弹性势能的相互转变答案BD体验7如图12所示，在圆滑的水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k，开始时，振子被拉到平衡地点O的右侧某处，此时拉力为F，尔后轻轻释放振子，振子从初速度为零的状态开始向左运动，经过时间t后抵达平衡地点O处，此时振子的速度为v，则在这过程中，振子的平均速度为()A.v/2B.F/（2kt）C.vD.F/（kt）答案D图12体验8在圆滑水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k，振子质量为M，振动的最大速度为v0以以下列图，当振子在最大位移为A的时刻把质

12、量为m的物体轻放在其上，则(1)要保持物体和振子一同振动，两者间动摩擦因数最少多大？(2)一同振动时，两者经过平衡地点的速度多大?两者的振幅又是多大？(已知弹簧弹时局能EP=kx2,x为弹簧相对原长伸长量体验9在一种叫做“蹦极”的运动中，质量为m的游戏者身系一根长为图13)L、弹性优秀的橡皮绳，从高处由静止开始下落，下落到1.5L时抵达最低点，若在下落过程中不计空气阻力，则以下说法中正确的选项是（）A速度先增大后减小B在下落位移为L时速度达到最大值C加快度先减小后增大D在下落位移为1.5L时加快度达到最大值剖析游戏者从高处由静止开始下落，下落到1.5L时抵达最低点的过程，我们可把它分红两段来剖

13、析，在下落L的过程中自由落体运动，加快度不变，速度素来增大；从L4/6到1.5L的过程可当作简谐振动，等效成弹簧振子模型，因此，人的运动可当作是先向平衡地点再走开平衡地点运动，因此加快度先减小后增大，而速度是先增大后减小，平衡地点速度最大，在最低点是最大位移处加快度最大。因此答案选A和D。体验10一同落机在箱底装有若干个弹簧，以以下列图，设在某次事故中，起落机吊索在空中止裂，忽略摩擦力，则起落机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段过程中()起落机的速度不断减小起落机的加快度不断变大先是弹力做的负功小于重力做的正功，尔后是弹力做的负功大于重力做的正功到最低点时，起落机加快度的值必然大于重力加快度的

14、值剖析起落机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段过程可等效成弹簧振子模型。升降机先向平衡地点后向最大位移处（最低点）运动，因此速度先增大后减小，加快度先减小后增大，因此选项A和B不对。同时可知弹力先小于重力后大于重力，因此先弹力做的负功小于重力做的正功，尔后是弹力做的负功大于重力做的正功，选项C正确。在最低点时加快度大于刚落地时的重力加快度，选项D正确。体验11如图14所示，质量为m的物体A用一轻弹簧与下方地面上质量也为m的物体B相连，开始时A和B均处于静止状态，此时弹簧压缩量为x0，一条不可以伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连结物体A、另一端C握在手中，各段绳均处于碰巧挺直状态，A上方的一段绳子沿竖

15、直方向且足够长。现在C端施水平恒力F而使A从静止开始向上运动。（整个过程弹簧向来处在弹性限度以内）1）若是在C端所施恒力大小为3mg，则在B物块刚要走开地面时A的速度为多大？2）若将B的质量增加到2m，为了保证运动中B向来不走开地面，则F最大不高出多少？图14剖析由题意可知：弹簧开始的压缩量x0mg，在B物块刚mgk要走开地面时弹簧的伸长量也是x0k1）若F=3mg，在弹簧伸长到x0时，B开始走开地面，此时弹簧弹性势能与施力前相等，F所做的功等于A增加的动能与重力势能的和。即F2x0mg2x01mv2可解得：v22gx02（2）所施力为恒力F0时，物体B不走开地面，类比竖直弹簧振子，物体A在竖直方向上除了受变化的弹力外，再碰到恒定的重力和拉力。故物体A做简谐运动。在最低点：Fmg+kx=ma001式中k为弹簧劲度系数，a1为在最低点A的加快度。在最高点，B碰巧不走开地面，此