空间几何知识总结和题型总结

1、空间几何（一）空间几何的结构及其三视图和直观图一、空间几何体结构1.几种特殊四棱柱的特殊性质名称特殊性质平行六面体底面和侧面都是平行四边行；直平行六面体侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形长方体底面和侧面都是矩形；正方体棱长都相等，各面都是正方形棱柱、棱锥、棱台的基本概念和主要性质名称棱柱直棱柱正棱柱图形矛有J-.O定义有两个面互相平 行，而其余每相 邻两个面的交线 都互相平行的多 面体侧棱垂直于底面 的棱柱底面是正多边形的直棱柱侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形平行于底面的 截面的形状与底面全等的多 边形与底面全等的多 边形与底面全等

2、的正多边形名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形AAO定义有一个面是多边 形，其余各面是 有一个公共顶点 的三角形的多面 体底面是正多边形用一个平行于棱 锥底面的平面去 截棱锥，底面和 截面之间的部分由正棱锥截得的棱台侧棱相交于一点但不 一定相等相交于一点且相 等延长线交于一点相等且延长线交于一点J八、侧面的形状三角形全等的等腰三角 形梯形全等的等腰梯形对角面的形状三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截 面形状与底面相似的多 边形与底面相似的正 多边形与底面相似的多 边形与底面相似的正 多边形其他性质高过底面中心； 侧棱与底面、侧 面与底面、相邻 两侧面所成角都 相等两底中心连线即 高；侧棱与底面、

3、侧面与底面、相 邻两侧面所成角 都相等圆柱，圆锥，圆台和球（旋转体）（1）圆柱：由矩形绕其一边旋转而得。（2）圆锥：由直角三角形绕其一条直角边旋转而得（3）圆台：由直角梯形绕其直角腰旋转而得（4）球：由半圆或圆绕其直径旋转所得直观图（斜二测画法的步骤:平面图形）（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点.画直观图时，把它画成对应的x轴或y轴，使它确定的平面表示水平平面.（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴 或y轴的线段.（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变;平行于y轴 的线段，长度为原来的一半.总结：（1）特点：横同、竖半、平

4、行性不变（2）关键：确定各个顶点的位置二、几何体的三视图正视图：反映了物体的高度和长度侧视图：反映了物体的高度和宽度俯视图：反映了物体的长度和宽度注：三视图之间的投影规律：长对正，高平齐，宽相等画几何体的三视图时，能看得见的轮廓线或棱用实线表示，不能看得见的轮廓线或棱用虚线表示三、几何体的表面积和体积公式（1）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，（1）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，hS_ 1沈正棱锥侧面积2为斜高，l为母线）直棱柱侧面积cs正棱台侧面积2 （Ci+匕）”S圆锥侧面积 n讥S= （r+踮 l圆台侧面积S圆台表S圆柱侧=由rh圆锥表一尸1 + )=兀 V2 +

5、 rl + Rl + rMS圆柱表=2兀r (r + l)（2）柱体、锥体、台体的体积公式扁=1 Sh 扁=1 Sh 锥3V = 4( S + 有且只有一个平面a, 使 Aa BEa、CEa。公理2作用：确定一个平面的依据。（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：PEaCB =aCB=L,且PEL 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据.二、空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系:相交直线:平行相交直线:平行直线:同一平面内，同一平面内，有且只有一个公共点;没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

6、2 |公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行: 符号表示为：设a、b、c是三条直线aabcb =a c强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。3 |等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补_一 n.注： 两条异面直线所成的角。（0，y）；当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作ab；两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。三、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：1.

7、线面平行2.线面相交3.线在面内1.线面平行2.线面相交3.线在面内（三）平行关系一、直线、平面平行的判定及其性质1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与 此平面平行。简记为:线线平行，则线面平行。2直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平 面的交线与该直线平行。|简记为:线面平行则线线平行。3、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面 平行。简记为:线面平行则面面平行。4、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。简记为:面面平行则线线平

8、行。二、做题方法（一）、证明线线平行方法一：用线面平行实现。方法二：用面面平行实现。a P | y na = l .n l/my n P = m方法三：用线面垂直实现。若 l 方法二：用面面平行实现。a P | y na = l .n l/my n P = m方法三：用线面垂直实现。若 l a, m a，则 l / m。方法四：用向量方法：若向量I和向量m共线且l、m不重合，则I/m。（二）证明线面平行方法一：用线线平行实现。l/ mm u a . n l / a l二以方法二：用面面平行实现。a / pl u pJn l / a方法三：用平面法向量实现。若n为平面a的一个法向量，（三）、证明

9、面面平行面面平行：方法一：用线线平行实现。m / ml, m u p且相交 n a / pl, m u a且相交方法二：用线面平行实现。l, m u。且相交（四）垂直关系、直线、平面垂直的判定及其性质1、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。2、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直4、两个平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个 平面垂直。二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形，二面角的记法：二面角

10、 a -l-B 或 a -AB-B二、做题方法（一）证明线线垂直方法一：用线面垂直实现。mm u a方法二：三垂线定理及其逆定理。PO laOO方法三：用向量方法:若向量1和向量m的数量积为0，则11 m。（二）、证明线面垂直方法一：用线线垂直实现。11 AC11 ABn 11 以AC c AB = A方法二：用面面垂直实现。5、以cP = m n 11以11 m方法二：用面面垂直实现。5、以cP = m n 11以11 m, 1 u P（三）、证明面面垂直方法一：用线面垂直实现。b（b）向量法。转化为向量的夹角b（b）向量法。转化为向量的夹角（计算结果可能是其补角）：cos0 =AB - A

11、CAB - AC方法二：计算所成二面角为直角。（五）空间角（1）异面直线所成的角（线线角）：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。异面直线所成角的范围：0。Va V 90。；求解方法：（a）平移，使它们相交，找到夹角，解三角形求出角。（常用到余弦定理） 余弦定理：a 2 + b 2 一 c 2 cos0 =2ab 线面所成的角（线面角）：范围：。,90注：当0 = 0 时，1 ua 或 1 /a，当0 = 90时，11a斜线与平面所成的角：范围0。Va V 90。；即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。DD求解方法：（a）作出线面角，并证明。然后解三角形，求出线面角

12、（b）向量法（b）向量法（n为平面a的一个法向量）。sin9cos （3）面面所成的角（面面角）：二面角及其平面角1、定义：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n 的夹角9为二面角a l P的平面角。范围：0,1802、求解方法：（a）定义法：作出二面角的平面角（三垂线定理），并证明。解三角形，求出 二面角的平面角。（b）截面法：如图（1），若平面POA同时垂直于平面a和P，则交线（射线）AP和 AO的夹角就是二面角。解三角形，求出二面角。(1)(2)(1)(2)（c）坐标法（计算结果可能与二面角互补）。如图（2）计算cos =-V2，判断9与的关系，可能相等

13、或者互补。1 2 时-lnJ1 2- 一 （六）空间距离（1）点到平面的距离1、定义： 面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个 平面的距离.2、求点面距离常用的方法：1）几何法。步骤1：过点P作POa于O，线段PO即为所求。步骤2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)体积法其步骤是：在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；求出此三棱锥的 体积V和所取三点构成三角形的面积S；由V= 1 Sh，求出h即为所求.2)坐标法。d = d = AP cos n AP直线和平面的距离、平行平面的距离将线面、面面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积

14、法求解之.异面直线之间的距离转化为线面距离。m 如图，m和n为两条异面直线，n ua且m/a，则异面直线m和n之间的距离可转化为 直线m与平面a之间的距离。直接计算公垂线段的长度。补充知识：1、三点共线，四点共面问题. A，B，C 三点共线=OA = xOB + yOC，且x + y = 1，当x = y =1 时，A 是线段JBC的中点A，B，C 三点共线 O AB = X AC 一(c ) A，B，(d ) A，B，C，D 四点共面=OA = xOB + yOC + zOD，且x + y + z = 1(c ) A，B，(d ) A，B，*C，D 四点共面U AB = xAC + yAD2

15、、常见几何体的特征及运算长方体的对角线相等且互相平分。若长方体的长宽高分别为a、b、c，则体对角线长为，表面积为，体积为3、正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。4、棱锥的性质：平行于底面的的截面与底面相似，且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥 的高的平方比。5、正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。6、设球半径为R，小圆的半径为r，小圆圆心为0球心O到小圆的距离为d，则它们三者之间的数量关系是 r =、/R2 -d2。7、球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。三视图、直观图、体积表面积计算1.【2012高考新课标】如图，网格纸上小正方形的边长为

16、L粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为(图，则此几何体的体积为(A)6(B) 9【2012高考新课标】平面a截球0的球面所得圆的半径为1，球心0到平面a的距离为；2,则此球的体积为_(A) 皤兀(B) 4扁(C) 4站(D) 6侦荔【2012高考陕西】将正方形(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则 该几何体的左视图为()【2012高考江西】若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为左快国P B.5C.4 D. 922【2012高考湖南】某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能 .是【2012高考广东】某几何体的三视图如图1所示，它的体积为

17、俯视图A. 72兀B. A. 72兀B. 48兀C. 30kD. 24兀【2102高考福建】一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是A球 B三棱锥 C正方体 D圆柱【2012高考上海】一个高为2的圆柱，底面周长为2兀，该圆柱的表面积为【答案】6兀【2012高考湖北】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积.氧15.貌囹氧15.貌囹【答案】12兀【2012高考辽宁】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，11.【2012高考江苏】如图，在长方体孩8-ABCD中，AB = AD = 3cm，AA = 2cm，则 1 1 1 11四棱锥A-BBDD的体积为 cm3

18、12 （ 2013年高考重庆卷）某几何体的三视图如题（8）所示，则该几何体的表面积为A. 180B A. 180B 200C 220D 24013 （ 2013年高考课标II卷）一个四面体的顶点在空间直角坐标系0-勺2中的坐标分别是（1,0,1）,（1,1,0）,（0,1,1）,（画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得 到正视图可以为A.B.C.D.14 （ 2013年高考四川卷）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是A.棱柱棱台A.棱柱棱台圆柱圆台侧视图1侧视图115. （ 2013年高考广东卷）某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是 TOC o 1-5 h

19、z （）A.二B. C.工D. 163316（ 2013年高考湖南）已知长方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为J2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（）32 1A.。B. 1C.2D. ,；217（ 2013年高考山东卷）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是A. 4占,8B.4dA. 4占,8B.4d=8C. 4(5 +1),3D. 8,8卜 &-H h2*i h-正（主）视图 侧（左）视图俯视图A.200+9 n B.200+18 n C.140+9n D.140+18n19 （ 2013年高考陕西卷）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为20 （ 2013年高考天津卷）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为四,则正方体的棱长为空间平行与垂直1、如图，在正方体ABCD - A1 B1C1 D1中，E是AA1的中点， 求证：AC/平面BDE。2、已知正方体ABCD - A1 B1C1 D1，O是底ABCD对角线的交点.求证：C1O 面 AB1D1 ；3、如图，在正方体ABCD - A1 B1C1 D1中，E是AA1的中点.(1)求证：AC /平面BDE ； (2)求证：平面AAC 1平面BDE.114、正方体ABCDA1BlClD1 中.(