同济第六版《高等数学》课程教案整理汇编-第11章无穷级数

1、第十一章无穷级数教学目的：1理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。2掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。3掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。4掌握交错级数的莱布尼茨判别法。5了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。6了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。8了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质(和函数的连续性、逐项微分和逐项积分)，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。9了解函数展开为

2、泰勒级数的充分必要条件。10-掌握ex，sinx，cosx,ln(l+x)和(1+a)a的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。11.了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在-l，l上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在0，1上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。教学重点：1、级数的基本性质及收敛的必要条件。2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；3、交错级数的莱布尼茨判别法；4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；5、ex，sinx，cosx,ln(l+x)和(1+a)的麦克劳林展开式；6、傅里叶级数。教学难

3、点：1、比较判别法的极限形式；2、莱布尼茨判别法；3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛；4、函数项级数的收敛域及和函数；5、泰勒级数；6、傅里叶级数的狄利克雷定理。11.1常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念常数项级数：给定一个数列%匹J，Un，,则由这数列构成的表达式U+u2+u3+un+叫做常数项）无穷级数，简称常数项）级数，记为为u,即nn=1乙u=u+u+u+u+n123nn=1其中第n项un叫做级数的一般项.级数的部分和：作级数为un的前n项和n=1ns二乙u=u+u+u+卜uni123ni=1称为级数为u的部分和.nn=1级数敛散性定义：如果级数Sun的部分和数列s有极限s,即

4、limsn=s,n=n”乞n则称无穷级数un收敛，这时极限s叫做这级数的和,n=1并写成S=n=U1+u2+u3+un+；n=1如果sn没有极限，则称无穷级数为U发散n=1余项：当级数为u”收敛时，其部分和Sn是级数Tun的和S的近似值，它们之间的差值n=ln=lrn=S-Sn=Un+1+Un+2+-叫做级数为U的余项.nn=1例1讨论等比级数（几何级数）乙aqn二a+aq+aq2h卜aqn+n=0的敛散性，其中aO,q叫做级数的公比.例1讨论等比级数taqn鸟0）的敛散性.n=0解如果q1,则部分和a-aqns=a+aq+aq2hhaqn-1=a1qaqn1q.a1qaqn1q.当|q|1时

5、，因为limsnmga1q所以此时级数龙aqn收敛，其和为n=0a1q.当皿1时，因为lims”=g，所以此时级数为aqn发散.nTgnn=0如果|q|=1，则当q=1时,sn=nag，因此级数taqn发散;n=0当q=-1时，级数faqn成为n=0aa+aa+.，时|q|=1时，因为sn随着n为奇数或偶数而等于a或零,所以sn的极限不存在，从而这时级数faqn也发散.n=0综上所述，如果|q|1,则级数faqn收敛，其和为；如果|q|n1,则级数faqn发散.n=0n=0仅当|q|1时，几何级数faqnaO）收敛，其和为名.n=0例2证明级数1+2+3+.+n+.是发散的.证此级数的部分和为

6、s=1+2+3+n=n(n+1)n2显然，limsjg,因此所给级数是发散的.mg例3判别无穷级数+-1-+-1-+1.22334n(n+1)的收敛性.解由于1U_nn（n+1）nn+1因此因此s_丄+丄+丄+s_丄+丄+丄+L_n12233-4n（n+1）_（12）+（21）+（丄-+）_1223nn+11n+1从而从而lims_lim（l-_1,n*nn*n+1所以这级数收敛，它的和是1.例3判别无穷级数艺爲的收敛性.n_1解因为s_丄+丄+丄+L_n12233-4n（n+1）_（12）+（2-1）+（丄4r）_1223nn+1从而lims_lim（l-_1,n*nn*n+1所以这级数收敛

7、，它的和是1.提示：Un_扁+l）nn+r二、收敛级数的基本性质性质1如果级数龙un收敛于和S,则它的各项同乘以一个常数k所得的级数为kun也收敛,TOC o 1-5 h zn=1n=1且其和为ks.性质1如果级数为un收敛于和s,则级数为kun也收敛，且其和为ks.n=1n=1性质1如果Xu=s,则为ku=ks.nnn=1n=1这是因为，设为un与为kun的部分和分别为Sn与S，则n=1n=1limb=lim(ku+kuHku)=klim(u+uHu)=klims=ks12n12nnnsnsmgmg这表明级数Xkun收敛，且和为ks.n=1性质2如果级数Xu、Xv分别收敛于和s、b,则级数X

8、(u+v)也收敛，且其和为sb. HYPERLINK l bookmark162 o Current Document =1=1=1性质2如果Xu=s、Xv=b,则X(uv)=sb.nnnn=1=1=1这是因为，如果Xu、Xv、X(uv)的部分和分别为sn、bn、环贝unnn HYPERLINK l bookmark174 o Current Document =1=1=1limt=lim(uv)+(uv)Hh(uv)1122nTgnTg=lim(u+uHHu)(v+vHHv)12n12nnTg=lim(sb)=sb.nnnTg性质3在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性.比如，

9、级数丄+亠+亠+-+是收敛的,12233-4n(n+1)级数10000+-1+A+厶+-+也是收敛的，122334n(n+1)级数314+43+n(nbi)+也是收敛的.性质4如果级数工笃收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛且其和不变.n=l应注意的问题：如果加括号后所成的级数收敛,则不能断定去括号后原来的级数也收敛例如,级数1-1)+1-1)+-收敛于零，但级数1-1+1-1+却是发散的.推论：如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散.级数收敛的必要条件：性质5性质5如果为作收敛，则它的n=l般项Un趋于零，即limU=0nT0n性质5如果Xu收敛，则limu=0n=1nTO

10、n证设级数Xu”的部分和为sn,且lims右s,则n=1nnTQnlimu=lim(ss)=limslims=ss=0.nnn-1nn-1nT0nTQnTQnTQ应注意的问题：级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件.例4证明调和级数X丄二1+1+1+1+是发散的.n23nn=1例4证明调和级数为1是发散的.nn=l证假若级数为1收敛且其和为S,Sn是它的部分和.nnn=l显然有lims=s及lims=s.于是lim(s-s)=0.n2n2nnmgmgnTs但另一方面,s-s=丄+丄+丄丄+丄+丄=1,nnn+1n+22n2n2n2n2故“*“-s丿丰0，矛盾.这矛盾说明级数龙丄必定发散.2

11、n11.2常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数：各项都是正数或零的级数称为正项级数定理1正项级数为%收敛的充分必要条件它的部分和数列Sn有界.n=1定理2（比较审敛法）设为u和为v都是正项级数，且unwvn（n=1,2,）若级数龙v收TOC o 1-5 h znnnn=1n=1n=1敛，则级数为un收敛；反之，若级数为un发散，则级数为vn发散.n=1n=1n=1定理2（比较审敛法）设为叫和为V”都是正项级数，且Uno,vnnN）.n=1n=1若Lv收敛，则Lun收敛；若Zu发散，则Zvn发散.nnnnn=1n=1n=1n=1设un和vn都是正项级数,且un0，vnN）.若级数vn

12、收敛，则级数sun收敛；反之，若级数sun发散，则级数vn发散.证设级数Lv”收敛于和Q，则级数Lun的部分和n=ln=1sn=u1+u2+unV+v2+vns（n=1,2,），即部分和数列sn有界，由定理1知级数Lu收敛.nnn=1反之，设级数Lun发散，则级数Lvn必发散.因为若级数n=1n=1Lvn收敛，由上已证明的结论,将有级数Lun也收敛，与假设矛盾.n=1n=1证仅就unvn（n=1，2,）情形证明.设级数svn收敛，其和为5则级数sun的部分和Sn=u1+u2+-+unV1+V2+VnN时有n=1n=1n=1un0)成立，则级数为un收敛；如果级数为vn发散，且当nN时有比3(1

13、0)成立，则n=1n=1级数为un发散.n=1例1讨论P-级数为=1+丄+丄+丄+丄+np2p3p4pnpn=1的收敛性，其中常数p0.例1讨论P-级数丄(p0)的收敛性.n=1np解设p-，而调和级数为-发散，由比较审敛法知，当P1.此时有=Jndxjn丄dx=-(n=2,3,).npn-1npn-1xpp-1(n-1)p-1np-1对于级数为1(n_1)PTs=1n_1s=1n_12p_112p_113p_1np_11=1-(n+1)p_1(n+1)p_1因为lims=lim1_1=1.所以级数为1-(n_1)p所以级数为1-(n_1)p_11收敛.从而根据比较审敛法的推论1可知，级数为丄

14、当P1时np_1npn=1收敛.综上所述,P_级数为丄当P1时收敛，当P1时发散.npn=1解当P1,而调和级数龙丄发散，由比较审敛法知，npnnn=1当P1时级数为丄发散.npn=1当P1时，=Jndxjndx=1_(n=2,3,).npn_1npn_1xpp_1(n_1)p_1np_1而级数龙1-丄是收敛的，根据比较审敛法的推论可知，(n_1)p_1np_1n=2级数龙丄当P1时收敛.npn=1提示：级数为1-丄的部分和为n=2(n_1)p_1np_n=2s=1-丄+丄-丄+丄-1=1-1.n2p-12p-13p-1np-1(n+1)p-1(n+1)p-1因为lims=lim1-1=1,n

15、*nn*(n+1)p-1所以级数为1心（ni）pT收敛.np-1P-级数的收敛性：P-级数为丄当P1时收敛，当P1时发散.npn=1例2证明级数例2证明级数Zn=1vn(n+1)是发散的.证因为喘莉詁辽=右，而级数垃丄=1+1+丄+是发散的,n+123n+1n=1根据比较审敛法可知所给级数也是发散的.定理3（比较审敛法的极限形式）设为un和设为un和为vn都是正项级数，如果limn=1n=1nsunvn=l(0l+8),则级数为un和级数为vn同时收敛或同时发散.n=1n=1定理3（比较审敛法的极限形式）设为un和为vn都是正项级数,n=1n=n=1(1)如果limmgU=1(0l0或limf

16、=+gvvnnnngg,且级数为vn发散，则级数Zun发散.n=1n=1定理3(比较审敛法的极限形式)设Un和vn都是正项级数，如果lim(un/vn)=l(Ol+g),且RVn收敛，则un收敛;如果lim(un/vn)=l(OlN时，有不等式1-21牛1+21，即11VnU21vn，n再根据比较审敛法的推论1,即得所要证的结论.例3判别级数Zsin丄的收敛性.nn=1sin解因为limn=1，而级数Z丄发散,、一nn=1根据比较审敛法的极限形式，级数Zsin发散.nn=1例4判别级数Zln(1+右)的收敛性.n=1吨+丄）b1解因为lim旦=1，而级数为丄收敛,E丄n=1n2n2根据比较审敛

17、法的极限形式，级数为ln（l+丄）收敛.n2n=1定理4（比值审敛法，达朗贝尔判别法）若正项级数龙un的后项与前项之比值的极限等于p：n=1则当P1时级数收敛；当P1（或limUn+1=g）时级数发散；当p=1时级数可能收敛也可能发散.T8Un定理4（比值审敛法，达朗贝尔判别法）若正项级数龙u满足lim匕+1=P,则当p1时级数收敛;n=1nUn当P1（或lim=8）时级数发散.当p=1时级数可能收敛也可能发散.T8Un定理4（比值审敛法，达朗贝尔判别法）设为u”为正项级数，如果n=1ulim-n+1=P,Un则当P1时级数收敛；当P1（或limun+1=g）时级数发散；当P=1时级数可能收敛

18、也可能发散.T8Un例例5证明级数1+1+吉+佳+123F1例例5证明级数1+1+吉+佳+123F1是收敛的.解因为limn+1=lim123(-1)=lim1=00（或limnu=+则级数为u发散mgnmgnn=1n如果p1,而limnpu=1（。l0.nnn=1例如，龙(-1)“-1丄是交错级数，但为(-1)n-11-C0Sn不是交错级数.nnn=1n=1定理6(莱布尼茨定理)如果交错级数为(-1)n-1U满足条件：nn=1unun+1(n=1,2,3,.)；lim作=0,mg则级数收敛，且其和su1,其余项rn的绝对值|rn|u；limu=0,nnn+1n则级数收敛，且其和su1?其余项

19、rn的绝对值|rn|un+1.简要证明：设前n项部分和为sn.由S2n=（U1_U2）+（U3_U4）+（U2n1_U2n），及S2n=U1-（U2-U3）+（U4-U5）+（U2n一2-一1）-看出数列s2n单调增加且有界（s2nu1）,所以收敛.设S2nTS（nT3）,则也有S2n+厂S2n+U2n+1TS（nT3）,所以SnTS（nTx）.从而级数是收敛的,且SnU1.因为|rn|=un+1-un+2+-也是收敛的交错级数,所以|rn|un+1.例9证明级数t（-l）n-i丄收敛，并估计和及余项.nn=11(2)limu1(2)limu=lim=0,nnnsnTa11Un=n丙=Un+1

20、(Z2,),由莱布尼茨定理，级数是收敛的，且其和sun=1,余项Ir|1，n2nnns112nsn2可知limu丰0nmgn=111.3幂级数一、函数项级数的概念函数项级数：给定一个定义在区间I上的函数列un(x),由这函数列构成的表达式U(x)+u2(x)+u3(x)+Un(x)+称为定义在区间I上的(函数项)级数，记为为u(x).nn-1收敛点与发散点：对于区间1内的一定点x0,若常数项级数为u”(x0)收敛，则称n-1点X。是级数un(x)的收敛点.若常数项级数为un(x0)发散，则称n-1n-1点X。是级数乞un(x)的发散点.n-1收敛域与发散域：函数项级数为un(x)的所有收敛点的

21、全体称为它的收敛域所n-1有发散点的全体称为它的发散域.和函数：在收敛域上，函数项级数为un(x)的和是x的函数s(x),n-1S(x)称为函数项级数为u(x)的和函数，并写成s(x)二为u(x).nnn-1n-1IUn(X)是为un(x)的简便记法，以下不再重述.n-1在收敛域上，函数项级数Iun(x)的和是X的函数s(x),S(x)称为函数项级数Iun(x)的和函数，并写成S(x)-Iun(x).这函数的定义就是级数的收敛域，部分和：函数项级数为un(x)的前n项的部分和记作Sn(x),n-1函数项级数Iun(x)的前n项的部分和记作Sn(x),即sn(x)=U(x)+U2(x)+U3(x

22、)+Un(x).在收敛域上有lims(x)-s(x)或Sn(X)TS(X)(nTg).nsn余项：函数项级数为un(x)的和函数s(x)与部分和Sn(x)的差n-1rn(x)=S(x)-Sn(x)叫做函数项级数为un(x)的余项.n-1函数项级数Iun(x)的余项记为rn(x),它是和函数s(x)与部分和Sn(x)的差rn(x)-s(x)-sn(x).在收敛域上有limr(x)=0.nsn二、幂级数及其收敛性幂级数：函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数项级数，这种形式的级数称为幕级数，它的形式是a0+aiX+a2X2+anXn+,其中常数a0,a1,a2,，an,叫做幕级数的

23、系数.幕级数的例子：1+x+x2+x3+xn+，111+X+石X2+；Xn+2!n!-注：幕级数的一般形式是a0+a1(X_X0)+a2(X_X0)2+an(XX0)n+,经变换t=x-x0就得a0+a1t+a2t2+antn+.幕级数1+X+X2+X3+Xn+可以看成是公比为x的几何级数.当|x|1时，它是发散的.因此它的收敛域为(-1,1),在收敛域内有=1+X+X2+X3+xn+.1-X定理1(阿贝尔定理)如果级数axn当x=x0(Xh0)时收敛，则适合不等式n=0|x|x01的一切x使这幕级数绝对收敛.反之，如果级数axn当0nn=0 x=x0时发散，则适合不等式|x|x01的一切x使

24、这幕级数发散.定理1(阿贝尔定理)如果级数5anXn当x=x0(x0h0)时收敛，则适合不等式|x|x0|的一切x使这幕级数绝对收敛.反之，如果级数5anxn当x=x0时发散，则适合不等式|x|x01的一切x使这幕级数发散.提示：5anXn是为axn的简记形式.nn-0证先设X。是幕级数为ax的收敛点，即级数为ax收敛.根据级数收敛的必要条件,有n-0n-0limanx0-0,于是存在一个常数M,使nTs|anx0n|M(n=0,1,2,-).这样级数为axn的的一般项的绝对值n-0Iaxn|-|axnl-laxn丨止|nMlln.nn0 xnn0 xx000因为当|x|x01时，等比级数MI

25、In收敛，所以级数为IaxnI收敛，也就是级数为axn绝对TOC o 1-5 h zxnnn-00n-0n-0收敛.简要证明设5anXn在点x0收敛，则有anx0nT0(nT8)，于是数列anx0n有界，即存在一个常数M，使anx0n|M(n-0,1,2,).因为IaxnI-1axnI-1axnI王In|x01使级数收敛，则根据本定理的第一部分,级数当x=x0时应收敛，这与所设矛盾.定理得证.推论如果级数为ax不是仅在点x=0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛,则必有一n=0个完全确定的正数R存在，使得当|x|R时，幕级数绝对收敛；当|x|R时，幕级数发散；当x=R与x=-R时，幕级数可能收敛

26、也可能发散.收敛半径与收敛区间：正数R通常叫做幕级数为anxn的收敛半径.开区间（-R，R）叫做幕级n=0数为ax的收敛区间.再由幕级数在x=R处的收敛性就可以决定它的收敛域幕级数为anxnn=0n=0的收敛域是（-R,R）（或-R,R）、（-R,R、-R,R之一.规定：若幕级数为ax只在x=0收敛，则规定收敛半径R=0，若幕级数为ax对一切xn=0n=0都收敛，则规定收敛半径R=+这时收敛域为（-+Q.定理2如果lim1纶+11=P，其中wnTsanh、an+i是幕级数axn的相邻两项的系数，则这幕级数的收敛n=0半径+8p=0R=丄pH0P0p=+8定理21111如果幕级数为anxn系数满

27、足liml红1l=p,则这幕级数的收敛半径n=0nan+8p=0R=pH0P0p=+8定理2如果liml=p,则幕级数为axn的收敛半径R为：nann=0当pH0时R=,当p=0时R=+to,当p=+时R=0.p简要证明：limlan+ix+11=limla+il.lxl=plxl.ngaXnnT8ann如果0p+g,则只当p|x|1时幕级数收敛，故R=丄.p如果p=0,则幕级数总是收敛的，故R=+g.如果p=+g,则只当x=0时幕级数收敛，故R=0.例1求幕级数(-1)n-1竺=X-竺+邑-+(-Dn-1竺+n23nn=1的收敛半径与收敛域.例1求幕级数(-l)n-1竺的收敛半径与收敛域.n

28、=1n解因为p=liml+il=lim帯1=1,n所以收敛半径为R=丄=1.p加法加法：IanXn+5bnXn=1(an+bn)Xn,当x=1时，幕级数成为为(-l)n-l丄，是收敛的；n=1n当X1时，幕级数成为为(-1),是发散的.因此，收敛域为(-1,1.n=1例2求幕级数为1Xnn=0n!1111+X+X2+x3HFXnH2!3!n!的收敛域.例2求幕级数为-1Xn的收敛域.n=0n!因为p=liml幺因为p=liml幺+11=limnann(n+1)!Tn!=limmgn!=0(n+1)!所以收敛半径为R=+g,从而收敛域为(-+g).例3求幕级数为n!xn的收敛半径.n=0解因为p

29、=liml+11=lim(“+,1)!=+gan!，nTgnsn所以收敛半径为R=0,即级数仅在x=0处收敛.例4求幕级数帰X2n的收敛半径.解级数缺少奇次幕的项，定理2不能应用.可根据比值审敛法来求收敛半径:幕级数的一般项记为u(X)=瑞X2n因为limlUn+1(X)|=41x|2,nTgu(X)n111当4|x|21即Ixl2时级数发散，所以收敛半径为R=2提示：2(n+1)!x2(小X2(n+1)u(x)(n+1)!2(2n+2)(2n+1)n+1一一x2Un(X)(2n)!X2n(n+1)2(n!)2例5求幕级数(x=)n的收敛域.2nnn=1解令t=x1,上述级数变为为鼻2nnn=

30、1TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark178 o Current Document 因为p=limln+i|=2=,nga2n+1(n+1)2n所以收敛半径R=2.当t=2时,级数成为为，此级数发散；当t=-2时，级数成为为乎，此级数收敛因此级n=1n=1数艺出的收敛域为-22.因为-2wx-12,即-1wx3,所以原级数的收敛域为-1,3).n=12nn三、幕级数的运算设幕级数为ax及为bx分别在区间(-R,R)及(-R，,R，)内收敛，则在(-R,R)与(-R，,R冲n=0n=0较小的区间内有加法：为axn+gbxn=g(a+b)xn,nnnnn=0n=0n

31、=0减法：gaxn-gbxn=g(a-b)xn,nnnnn=0n=0n=0设幕级数janxn及bnxn分别在区间(-R,R)及(-R：R)内收敛，则在(-R,R)与(-R：巴中较小的区间内有减法：IanXn-2bnXn=1(an-bn)Xn乘法：(为a”xn)(Zbxn)=aobo+(aobi+aibo)x+(aob2+aibi+a2bo)x2+n=0n=0+(a0bn+aibn-1+anbo)Xn+性质1幕级数Zaxn的和函数s(x)在其收敛域I上连续.n=0如果幕级数在x=R(或x=-R)也收敛，则和函数s(x)在(R,R(或R,R)连续.性质2幕级数ZaXn的和函数s(x)在其收敛域I上

32、可积，并且有逐项积分公式nn=0 xn+1(xeI),JXs(x)dX=Jx(Zaxn)dX=Zjxaxndx=Z-n-00n=0nn=00nnxn+1(xeI),逐项积分后所得到的幕级数和原级数有相同的收敛半径.性质3幕级数Zaxn的和函数S(x)在其收敛区间(-R,R)内可导，并且有逐项求导公式nn=0s(x)=(Zaxn)=Z(axn)=Znaxn-1(|x|R)nnnn=0n=0n=1逐项求导后所得到的幕级数和原级数有相同的收敛半径.性质1幕级数Ianxn的和函数S(x)在其收敛域I上连续.性质2幕级数IanXn的和函数S(x)在其收敛域I上可积，并且有逐项积分公式xn+1(xeI),

33、fxs(x)dx=Jx(Zaxn)dx=Zjxaxndx=Z-n-00n=0nn=00nnxn+1(xeI),逐项积分后所得到的幕级数和原级数有相同的收敛半径.性质3幕级数lanXn的和函数s(x)在其收敛区间(-R,R)内可导，并且有逐项求导公式s，(x)=(Zaxn)，=Z(axn)，=Znaxn-1(|x|R)nnnn=0n=0n=0例例6求幕级数Zxn的和函数.例例6求幕级数Zxn的和函数.逐项求导后所得到的幕级数和原级数有相同的收敛半径.例6求幕级数品xn的和函数.解求得幕级数的收敛域为-1,1).设和函数为S(x),即s(x)=为xn,Xe-1,1).显然s(0)=1n=0在xs(

34、x)=为xn+1的两边求导得n=0n+1xs(x)，=为(1-xn+1)，=为xn=1.n=0n+1n=01-x对上式从0到X积分，得xs(x)=Fdx=-ln(1-x)-丄1口(1-丄1口(1-x)x10|x|1x=0于是，当XhO时，有s(x)=一1ln(1-x).从而s(x)=x因为xs(x)=xn+1=Jx为-xn+ldxn=0n+10n=on+1=Jx为xndx=J-dx=-ln(1-x)0n=001-x所以，当x0时，有s(x)=-1ln(1-x)x从而s(从而s(x)=-丄ln(l-x)xl01x11解求得幕级数的收敛域为-1,1).设幕级数的和函数为s(x),即s(x)=品xn

35、,21).显然S(0)=1.因为xsXn+lXn+ldX“显+10n显+1=JX为xndx=dx=-ln(1一x)(-1xD0n=001-x所以，当0|x|1时，有s(x)=-1】n(1-x).从而s(x)=0从而s(x)=01xl1x二0 x1由和函数在收敛域上的连续性,S(-1)=limS(x)=ln2.xt-1+综合起来得s(x)=一xln(1-x)xe-1,2(，1).1x=0提示：应用公式JxF(x)dx=F(x)-F(0)即F(x)=F(0)+JxF(x)dx00-=1+x+x2+x3+xn+.1-x例7求级数匕绎的和.n=0n+1解考虑幕级数为斗xn,此级数在-1,1)上收敛,设

36、其和n=0n+1函数为s(x),则s(-1)=廿合.n=0n+1在例6中已得到xs(x)=ln(1-x),于是-s(-1)=In2,s(-1)=ln1,即空=ln1.2n+12n=011.4函数展开成幂级数一、泰勒级数要解决的问题：给定函数f(x),要考虑它是否能在某个区间内“展开成幕级数”，就是说,是否能找到这样一个幕级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数f(x).如果能找到这样的幕级数,我们就说，函数f(x)在该区间内能展开成幕级数,或简单地说函数f(X)能展开成幕级数而该级数在收敛区间内就表达了函数f(x).泰勒多项式：如果f(x)在点X。的某邻域内具有各阶导数,则在该邻域内f

37、(X)近似等于f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+f2X0)(xx0)2+fn)(X0)(X-x)n+R(x)n!0n其中R(x)=号+1叮)(X-X)n+1(g介于X与X。之间).n(n+1)!00泰勒级数：如果f(x)在点X。的某邻域内具有各阶导数f，(x),f(x),f(n)(x),，则当ng时,f(x)在点X。的泰勒多项式冲(x-x0)nn!0pn(x)=f(x0)+ftx0)(x-x0)+f20(x-x冲(x-x0)nn!0成为幕级数理2(x-x0)n+n!0f(x0)+f(x0)(x-x0)+f2；0)(x-x0)2+f3x0)(x-x理2(x-x0)n+n!0这一幕级数

38、称为函数f(X)的泰勒级数.显然，当x=x0时,f(x)的泰勒级数收敛于f(x0).需回答的问题：除了X=x。外,f(x)的泰勒级数是否收敛？如果收敛，它是否一定收敛于f(x)?定理设函数f(x)在点X。的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n0时的极限为零，即limR(x)=0(xeU(x)n*n0证明先证必要性.设f(x)在U(x。)内能展开为泰勒级数，即f(x)=f(x)+f，(xo)(x-X0)+f2X0)(x-X0)2+f罗0)(x-X0)n+,又设sn+1(x)是f(x)的泰勒级数的前n+1项的

39、和，则在U(x0)内sn+1(x)Tf(x)(nT2).而f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)=sn+1(x)+Rn(x),于是Rn(x)=f(x)-Sn+1(x)T0(nT3).再证充分性.设Rn(X)TO(nTg)对一切XgU(X0)成立.因为f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)=sn+1(x)+Rn(x),于是sn+1(x)=f(x)-Rn(x)Tf(x),即f(x)的泰勒级数在U(X。)内收敛，并且收敛于f(x).麦克劳林级数：在泰勒级数中取x0=0,得f(0)+f，(0)x+f(0)x2+卜f)(0)xn+2!n!此级数称为f(X)的麦克劳林级数.展开式的唯一性:如果f(x)能展开成

40、X的幕级数，那么这种展式是唯一的，它一定与f(X)的麦克劳林级数一致.这是因为，如果f(x)在点x0=0的某邻域(-R,R)内能展开成X的幕级数，即f(x)=a0+alx+a2X2+.+anXn+.,那么根据幕级数在收敛区间内可以逐项求导，有fr(x)=ai+2a2x+3a3X2+.+nanXn-i+.,f(x)=2!a2+32a3x+n(n1)anXn一2+f(x)=3!a3+n.(n1)(n2)anXn3+f(n)(x)=n!an+(n+1)n(n1)2an+1x+于是得a0二fa0二f(0),a=f(0),2!a_f(n)(0)，ann!应注意的问题：如果f(x)能展开成x的幕级数，那么

41、这个幕级数就是f(x)的麦克劳林级数但是，反过来如果f(x)的麦克劳林级数在点x0_0的某邻域内收敛，它却不一定收敛于f(x).因此,如果f(x)在点x0_0处具有各阶导数，则f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来但这个级数是否在某个区间内收敛，以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察.二、函数展开成幕级数展开步骤：第步求出f(X)的各阶导数:f(x)，f(x)，f(n)(x)，.第二步求函数及其各阶导数在X_0处的值：f(0)，f(0)，f(0),.,f(n)(0)，.第三步写出幕级数f(0)f(n)(0)f(0)+f(O)x+x2+xn+，2!n!并求出收敛半径R.第四步考察在区间(-R，R)内

42、时是否Rn(x)T0(nT2).xxxxlimR(x)=limnsnnTaf(n+i)(G(n+1)!Xn+1是否为零.如果Rn(x)T0(nlimR(x)=limnsnnTaf(n+i)(G(n+1)!Xn+1f(x)=f(0)+f(0)x+f20 x2+/xn+(RXR)例1将函数f(x)=ex展开成X的幕级数.解所给函数的各阶导数为f(n)(x)=ex(n=1,2,),因此f(n)(0)=1(n=1,2,).于是得级数111+x+x2+xn+2!n!它的收敛半径R=+.对于任何有限的数x、g忆介于0与x之间），有IR(x)l=1笛xn+1|elxlIx|n+1(n+1)!，而Ix|n+1

43、(n+1)!，而limnTaIx|n+1=0(n+1)!,所以limIRn(x)l=0,nTan从而有展开式11ex=1+x+x2+xn+(ax+s)2!n!例2将函数f（x）=sinx展开成x的幕级数.解因为f(n)(x)=sin(x+n*)(n=1,2,),所以f(n)(0)顺序循环地取0,1,0,-1,(n=0,1,2,3,),于是得级数x3+x3+X5可+5!+(-1)n-1x2n-1+(2n-1)!它的收敛半径为R=+对于任何有限的数x、g（g介于0与x之间），有1Rn小豐+1Txn+11禺(n(n+1)!因此得展开式x3x5x2n-1sinx=x一须+5!(-1)n-1(2n-1)

44、!+(一8x+s)11ex=1+x+x2+xn+(8x+8)2!n!例3将函数f(x)=(1+x)m展开成X的幕级数，其中m为任意常数.解:f(x)的各阶导数为fr(x)=m(1+x)m-1,f(X)二m(m-1)(1+x)m一2,f(n)(x)=m(m-1)(m-2)-(m-n+1)(1+x)m-n,所以f(0)=1,fr(0)=m,f(O)=m(m1),fn)(0)=m(m-1)(m-2)-(m-n+1),-于是得幕级数1+mx+m(m-1)x2+m(m-1)(m一n+1)xn+2!n!可以证明(1+x)m=1+mx+驾-1)x2+m(m-1).(m-n+1)xn+(-1xDn!间接展开法

45、:例4将函数f(x)=cosx展开成x的幕级数.解已知血x=x一+毎一+(-1)nT1)!+ZXS对上式两边求导得COSX=1-疥+孕+(-1)nx2n+(-8X+8)2!4!(2n)!例5将函数f(x)=展开成x的幕级数.1+X21解因为口+x+x2+xn+(-1x，把x换成-X2,得1=1x2+X4+(一Dnx2n+(-1X1).1+x2注：收敛半径的确定：由-1-X21得-1X1.例6将函数f(x)=In(1+x)展开成x的幕级数.解因为广(x)二i+x，而丄是收敛的等比级数(-1)nxn(-1X1)的和函数:TOC o 1-5 h z1+xn=0二1-X+X2-X3+(-Dnx”+.1

46、+x所以将上式从0到x逐项积分，得ln(1+x)=X-竺+竺-X4+(-1)n如+-(-1X1)234n+1解：f(x)=In(1+x)=Jxln(1+x)dx兀丄dx001+xx为(-1)nxndx=为(一1)+1(-1x1).0n=0n=0n+1上述展开式对X=1也成立，这是因为上式右端的幕级数当X=1时收敛，而In(1+x)在x=1处有定义且连续.例7将函数f(x)=sinx展开成(x-才)的幕级数.因为sinx=sin咛+(x冷)=cos(x-+sin(x号,并且有所以cos(x壬)1_2!(x)2+4-(x_扌)4_.(_gXV+8),sin(x_4)(x晋)害(x_4)3+X_4)

47、5(_xv+8),sinx=1+(x_壬)_2!(x_号)2_3-(x_晋)3h(一8x+s).所以例8将函数f(x)43展开成(x_1)的幕级数.x2+4x+3解因为f(x)=11x2+4x+3(x+1)(x+3)2(1+x)2(3+x)4q+x-1)8(1+x_1)(X_l)n4n仝(_1)n(丄一丄)(x_1)n(_1x3)2n+222n+3n0提示：1+x2+(x1)2(1+耳),3+x4+(x1)4(1+乎).11+X_12EH学(1咛1),n011X_11+n04为(_1)n(_1乎11ExH1+X+X2+:XX+:(8AXA+8)2一工?SInxHXX3X5:+T1V1X2K1(

48、2SID一诊1朋+注！+T1V郭+T8A.A+81-丿X2-X3X4-、：X77+1-、ln(l+x)HX”+M一；-+11)=;-+:(I1AXIA1)234J+1?n(？nl)l卜-?n(？nl)(M3+1)？-、1?丿X2+:+X3+:(1X1)2一3一(一+xyHl+MX丄JIs渔一斗6SK亠gRlio.ooor11例1计算5240的近似值（误差不超过10一d解因为5240二$243-3二3（1-”5所以在二项展开式中取m二1,x二-丄,即得5345240二3（1-1丄-出丄-凹丄-）53452-2!3853-3!312这个级数收敛很快.取前两项的和作为5240的近似值，其误差（也叫做

49、截断误差）为1411-4-91丄149141丄）IrI二3（-+-+-H丿252-2!3853-3!31254-4!3163丄土丄1+丄+（丄）2+52-2!388181_611_1,1-2538.125-27-4020000-181于是取近似式为顾u3（1-1-）,为了使四舍五入”引起的误差（叫做舍入误差）与截断误差之和不超过10一4,计算时应取五位小数，然后四舍五入.因此最后得5f240沁2.9926.例2计算In2的近似值，要求误差不超过0.0001.例2计算In2的近似值（误差不超过10_4）.解在上节例5中，令x-1可得ln21-1+1-+（-1）n-11+-.23n如果取这级数前n

50、项和作为In2的近似值，其误差为Ir1nn+1为了保证误差不超过IO一4,就需要取级数的前10000项进行计算.这样做计算量太大了，我们必需用收敛较快的级数来代替它.把展开式ln(1+x)=x-旦+竺-总+(-1)n沁+(_1x1)234n+1中的X换成-X,得ln(1-X)=-x-f-号-宁-(1x1)，两式相减，得到不含有偶次幕的展开式:ln1=ln(1+x)-ln(1-x)二2(x+x3+1x5+)(-1x1)TOC o 1-5 h z1-x35令告=2，解出x=以x二3代入最后一个展开式，得 HYPERLINK l bookmark248 o Current Document ln22

51、(1111111)3333535737如果取前四项作为ln2的近似值，则误差为11,11,11,)IrI=2(77+丿4939113111331321+1+(丄)2+3119921亠=31111牛397000001-9于是取ln222(3+333+53+73,同样地，考虑到舍入误差，计算时应取五位小数:120.33333，33320-01235，1吕20-00082，73720-00007-因此得In20.6931.例3利用sinxux-1x3求sin9。的近似值，并估计误差.解首先把角度化成弧度，9二佥x9(弧度)二20(弧度),18020从而.兀兀1j从而Sin20u20-3!20.其次，

52、估计这个近似值的精确度.在sinx的幕级数展开式中令x二2o,得sin兰二王-1化320203!l20丿等式右端是一个收敛的交错级数，且各项的绝对值单调减少.取它的前两项之和作为sin20的近似值，起误差为1300000.1皆5!君120(02)51300000.因此取0.157080丄3u0.003876205(20丿于是得sin9u0.15643.这时误差不超过10-5.例4计算定积分J2e-x2dx0的近似值的近似值，要求误差不超过0.0001.的近似值的近似值，要求误差不超过0.0001.的近似值，要求误差不超过0.0001（取丄沁0.56419）.兀例4求积分丄1e-xdx的近似值（

53、误差不超过I。.兀o解将ex的幕级数展开式中的x换成X2,得到被积函数的幕级数展开式e21I(-x2)i(-x2)2,(-x2)3,e-x2Tf+=1二艺(1)艺(-gx+x).n!n=0于是，根据幕级数在收敛区间内逐项可积,得22忆(-1)n旦dx=2艺巳比tx2ndxJ兀0。n!兀nn!0n=0n=02T3+2T3+用-26+-)-前四项的和作为近似值，其误差为前四项的和作为近似值，其误差为1輕+亦91!900005所以鼻1e鼻1e-x2dx、；兀o213+由-爲）心5例5计算积分sindx0X例5计算卩沁dx的近似值（误差不超过10_4）.0 x解由于lim沁=1,因此所给积分不是反常积

54、分.如果定义被积函数在x=0处的值为1,xtOx则它在积分区间0,1上连续.展开被积函数,有晋=1-12+14-sx十）在区间0,1上逐项积分,得j0晋d亠33!+爲-召因为第四项111177!300005所以取前三项的和作为积分的近似值:10严弘烏+扁=0.9461二、欧拉公式复数项级数:设有复数项级数(u1+iv1)+(u2+iv2)+-+(un+ivn)+其中un,vn(n=1,2,3,-.)为实常数或实函数.如果实部所成的级数U+U2+Un+.收敛于和U,并且虚部所成的级数.v1+v2+.+vn+.收敛于和V,就说复数项级数收敛且和为u+iv.绝对收敛:如果级艺(u+iv)的各项的模所

55、构成的级数Ju2+v2收敛，n=1n=1则称级数艺(u+iv)绝对收敛.nnn=1复变量指数函数:考察复数项级数111+z+z2+zn+.2!n!可以证明此级数在复平面上是绝对收敛的,在x轴上它表示指数函数ex,在复平面上我们用它来定义复变量指数函数，记为ez.即11ez=1+z+z2+zn+.2!n!欧拉公式：当x=0时,z=iy,于是eiy=1+iy+(iy)2+(iy)n+2!n!=1+iy_2y2-i3!y3+y4+iy51111=(1习y2+4y4)+i(y3y3+5y5)=cosy+isiny.把y定成x得eix=cosx+isinx,这就是欧拉公式.复数的指数形式：复数Z可以表示

56、为z=r(cosO+isinO)=rei,其中r=|z|是z的模,0=argz是z的辐角.三角函数与复变量指数函数之间的联系：因为eix=cosx+isinx,e-ix=cosx-isinx,所以eix+e_ix=2cosx,ex-e-ix=2isinx.11cosx=(eix+e-ix)sinx=(eixe-ix)22i八这两个式子也叫做欧拉公式.复变量指数函数的性质：牛+z2=ezi-ez2.特殊地，有ex+iy=exeiy=ex(cosy+isiny).11.7傅里叶级数一、三角级数三角函数系的正交性三角级数：级数2a0+兰(anC0SnX+bnSinnX)n=1称为三角级数，其中aan

57、,bn(n=1,乙)都是常数.三角函数系：1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,，cosnx,sinnx,三角函数系的正交性:三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在区间-冗，冗上的积分等于零,即J兀cosnxdx=0(n=1,2,-),兀sinnxdx=0(n=1,2,),兀J兀sinkxcosnxdx=0(k,n=1,2,),兀Jsinkxsinnxdx=0(k,n=1,2,kn),兀J兀coskxcosnxdx=0(k,n=1,2,kn).兀三角函数系中任何两个相同的函数的乘积在区间-兀，兀上的积分不等于零，即J12dx=2,兀J兀cos2nxdx=(n=1,2,),兀J兀sin

58、2nxdx=(n=1,2,).兀二、函数展开成傅里叶级数问题：设f(x)是周期为2冗的周期函数，且能展开成三角级数:f(x)=0+艺(acoskx+bsinkx)2kkk=1那么系数a0,a1,b1,与函数f(x)之间存在着怎样的关系?假定三角级数可逐项积分，则J兀f(x)cosnxdxa0cosnxdx+艺aJ兀coskxcosnxdx+bJ兀sinkxcosnxdx_兀_兀2k_兀k_兀k=1类似地兀f(x)sinnxdx=b兀兀n傅里叶系数:a=丄卩f(x)dx,0兀e1兀f(x)cosnxdx,(n=1,2,-),eeb=J兀f(x)sinnxdx(n=12-)nee系数a0，a1,b

59、1,叫做函数f(x)的傅里叶系数.傅里叶级数：三角级数a0+另(acosnx+bsinnx)2nnn=1称为傅里叶级数，其中a0,a1,b1,是傅里叶系数.问题：一个定义在(-+)上周期为2冗的函数f(x)，如果它在一个周期上可积则一定可以作出f(x)的傅里叶级数.然而，函数f(x)的傅里叶级数是否一定收敛？如果它收敛，它是否一定收敛于函数f(x)?一般来说，这两个问题的答案都不是肯定的.定理(收敛定理，狄利克雷充分条件)设f(x)是周期为2冗的周期函数，如果它满足：在一个于是于是f(x)的傅里叶级数展开式为于是于是f(x)的傅里叶级数展开式为周期内连续或只有有限个第一类间断点，在一个周期内至

60、多只有有限个极值点，则f(x)的傅里叶级数收敛，并且当X是f(x)的连续点时，级数收敛于f(X);当X是f(x)的间断点时，级数收敛于2f(x-0)+f(x+0).例1设f(x)是周期为2冗的周期函数，它在-冗，冗)上的表达式为J-1一兀x010 x兀将f(x)展开成傅里叶级数.解所给函数满足收敛定理的条件，它在点x=kK(k=0，1,2,)处不连续，在其它点处连续，从而由收敛定理知道f(x)的傅里叶级数收敛，并且当x=kK时收敛于当xk兀时级数收敛于f(x当xk兀时级数收敛于f(x).傅里叶系数计算如下:a=1卜f(x)cosnxdx=J0(-l)cosnxdx+卜1cosnxdx=0n兀一