线性代数第二版

1、线性代数第二版习题四 答案 1. 1 设 a1 b1 3 a2 b2 3 K1 ，且 a2 b2 不全为零，则 a1 b1 3 a1a2 3b1b2 a2b1 a1b2 a a 3b1b2 a b ab 2 2 3 不一定属于 K1 ，因为 1 2 ， 2 21 1 22 不一定 a2 b2 3 a2 3b2 2 a2 3b2 2 a2 3b1 2 2 a2 3b1 为整数，所以 K1 不是数域.2.2 设 a1 b1i a2 b2i F2 ，则 a1 b1i a2 b2i 的和、差、积仍为 F2 中的数，当a2 b2不全为零 a1 b1i a1a2 b1b2a2b1 a1b2 时， 2 i，

2、由于a1 a2 b1 和 b2 皆为有理数，且 a2b2 不全为零，则a2 b2i a2 2 b2 2 a2 b2 2a1a2 b1b2 a b1 a b abi ， 2 2 1 2 2 也为有理数，故11 也属于F2 ， a2 b2 2 2a2 b2 a2 b2i 即 F2是数域 . x1 0 x1 0 x13.3 当 x2 0时，按数乘定义， 1 x2 0 x2，所以不构成线性空间 . x 0 x 0 x 3 334.1 x x1 x2 x3 W1 ， y y1 y2 y3 W1，有 x kyW1 ，所以 W1 是子空间； 2 x 111 W2，而 x W2，所以 W2 不是子空间； 3

3、x 111 W3 ，而 x W3 ，所以 W3不是子空间； 4 x x1 x2 x3 W4 ， y y1 y2 y3 W4 ，有 xky W4 ，所以W4 是子空间； 5 x 1 01W5 ，而 xW5 ，所以 W5 不是子空间；6 x 111 W6 ，而 x W6，所以 W6 不是子空间 .5.1 f x，0而 f x 0，所以 U1不是子空间； 2 设 f U 2 ， g U 2 ，则 f 1 f 2 0， g 1g 2 0 ， f kg 1 f kg 2 f 1 f 2 k g 1 g 2 0，所以 f kg U 2，即 U 2 是子空间；3 设 f U 3 ， gU 3 ，则 f 0

4、f 1 0，g 0 g 1 0 ，而 f g 0 f g 1 f 0 g 0 f 1 g 1 1习题四 答案 f 0 f 1g 0 g 1 f 0 g 1 g 0 f 1 f 0 g 1 g 0 f 1，不一定为零，所以U 3不是子空间； 4 f 1 f 2 1 0 ，而 f 1 f 1 f 1 f 2 1，不一定为零，2 所以 U 4 不是子空间； 5 设 f U 5 ， g U 5，则 fx f x ， g x g x， f kg x f x kg x f x kg x f kg x，所以 f kgU5 ，即 U5是子空间； 6 设 f U 6 ， g U 6 ，则f x f x 2 0

5、， g x g x 2 0 ， f kg x f kg x 2 f x kg x f x 2 kg x 2f x f x 2 k g x g x 2 0 所以 f kg U 6 ，即 U 6 是子空间 . 100010001000000设11 00 0，6.12 0 0 0，13000 ， 22010 ， 23001 ， 000000000000000 0 0 0 33 0 0，0 则 若 有 k1 11 k2 12 k3 13 k4 22 k5 23 k6 33 ，0必 有 0 0 1k1 k2 k3 k4 k5 k6 0， 即 11 1213 22 23线 性 33无 关 ，又 任 一 a

6、 b c de M33 ，可表示为 a 11 b 12 c 13 d 22 e ，因23此，f该子空间维f 数为6，且11 12 13 22 为23一组 3333基. 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 02 设 11 0 0 0 ，12 1 0 0，13 0 0 0 ， 22 0 1 0， 23 0 0 1， 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 33 0 0 0，则若有 k1 11 k2 12 k3 13 k4 22 k5 23 k633 0 ，必有 0 0 1 2 习题四 答案 k1 k2 k3 k4 k5 k6 0， a bc 即 1

7、1 12 13 22 线性23无关，33又任一 b d eM 33 ，可表示为 c e f a 11 b 12 c 13 d 22，e 23 f因此，该子空间维数为6，且 11 12 13 22 为23 33一组基.0100010003设 12 1 0 0，13 0 0 0 ， 23 0 0，则若有 k1 12 k2 13 k3 ，23 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 a b 必有 k1 k2 k3 0 ，即 12 13 线23性无关，又任一 a 0 c M 33，可表示为 b c 0 a 12 b 13，c因此23，该子空间维数为3，且 12 13为23一组基 .7. 首先将系数矩阵

8、化为规范阶梯矩阵， 2111310014AB1110101115选 x3 x4 x5 为 自 由 未 知 量 ， 分 别 取 x3 1 x4 0 x50， x3 0 x4 1 x5 0 和 x30 x4 0 x5 1 ，得基础解系014115 1 1， 2 0， 3 0 0 1 0 0 0 1所以解空间的维数为3， 1 2 为3一组基 .8.设 aij 22bij 2 2 属于该集合，则aij 2 2k bij 22 也属于该集合，即该集合是M22 的子空 10010 0 间；设 11， 12， 21，则若有k1 11 k2 12 k3 210 ，必有 0 1 0 1 1 1 a bk1 k2

9、 k3 0 ， 即 11 12 线21性无 关 ， 又 任 一 2 2 M ， 可 表 示 为 c a b c a 11 b 1221c ，因此， 该子空间维数为3，且 11 12 21为一组基 . 3 习题四 答案 9.以 1 2 3 为4列作5矩阵，并对其作初等行变换：14031140311512001 1 11 A B 1 2 0 1 0 0 0 2 4 3 1 7 1 4 1 0 0 0 0 0由于 r A r B 3，且由 B 知，第 1，2，3列线性无关， 故子空间的维数为3，1 2 为一3组基 .10.因为 k1k3 0，即 k1 0 ，k3 0，于是由 k11 k2 2 k3

10、3 O 1 k2可k得1 2 3 ，3 k1 k1故 1 可由 2线3性表示 . 因此，1 可2由 2 3线性表示 .同样由1 可知， 3 可由 1 2线性表示 . 因此，2可3由 1 线2性表示.即 1同22等价3，故 L 12 L2构3.造11矩阵A 12 ，3对A作初等行变换， 将其化为规范的阶梯形矩阵，即10111002A 0 1 2 3 初等行变换0 1 0 5 B r uuuuuuuuuuuuu 1 0 2 0 0 01 1显然， 12是 3A的列向量组的一组基，且 在这组基下的坐标为25 1 . T12 构造矩阵A 1 2 3，4对 A 作初等行变换， 将其化为规范的阶梯形矩阵，即 5 1 0初等行变换r B 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 4 1 0 0 0 1 4 T 5 1 1 1 显然， 1 2 3是 A 4的列向量组的一组基， 且 在这组基下的坐标为 . 4 4 4 4 4 习题四 答案 13 1 由于 1 2 3 4 1 ，2即2 30 56 14 0C0 0 1 3 3 6 0 1 00C11210010101300011100020562056010013361336故C， 0010112111210001101310 1 3 x1 x 设 在 1 2 3下的坐4标为 x ，已知 x1 1 x2 2 x3 3 x4