线性代数各章课件第四章4

1、第四章 向量空间主要内容及知识结构其它元素的集合引进线性表示、相关无关、极大无关组、秩需满足条件线性空间定义无限向量集合向量空间极大无关组、秩的概念的推广：基、维数、基变换、坐标变换，向量长度、正交，标准正交基、正交矩阵线性方程组解的理论、结构推广推广 第四章主要内容向量的线性表示、相关无关、极大无关组、秩有限向量特殊拓展应用4.1 向量空间1线性空间 则称V是数域F上的线性空间.定义1 设V是非空集合, F是数域. 如果在V上定义了加法，（加号记作“ ”），数乘（乘号记“ ”）且满足八条运算律：(3)含 元素，对加法和数乘运算封闭一、向量空间【说明】加法运算即V中任意两元素 , 按某一法则在

2、V中都有唯一的一个元素 与之对应,记作 .数乘运算即V中任意元素 和数域F中的任意数k, 按某一法则在V中都有唯一的一个元素 与之对应,记作 答 (1)、 (2) 都是R上的线性空间.例1 下列集合对于所给运算与数域是否构成线性空间 (2) （即全体正实数集合）实数域R 定义加法 数乘(1) ，实数域R，矩阵加法，数乘为二阶方阵例1 (3) 向量加法与数乘, 数域为实数域 R从本章开始不特意说明均为列向量!零空间答 (1), (2), (3)是线性空间, 而(4), (5)不是.【注】由线性空间定义知，判断一个集合是否可以构成线性空间，关键看是否非空，是否对加法与数乘运算封闭，是否含有零元素，

3、对 V 中任意元素的负元素是否仍在 V 中, 并验证是否满足8条运算律. 定义2 如果数域F上的线性空间V有n个线性无关的元素，且任意n+1个元素都线性相关(即V中任一个元素都可以用这n个线性无关的元素线性表示), 则V称为n维线性空间. 其中 n 称为V的维数，记为dimV=n; n个线性无关的元素称为V的一组基.2线性空间的维数与基例1（续）求下列线性空间的基与维数.(1) ，实数域R，矩阵加法，数乘为二阶方阵没有基,则dimV=0(3) 向量加法与数乘, 数域为实数域 R3. 向量空间定义3 设V是非空实数域向量集合，F是实数域R即对于向量加法与数乘构成线性空间，则称V是实数域上的n维向

4、量空间.称其为n维向量空间,思考n的涵义？【说明】 线性空间是比向量空间更具有普遍性的概念. 由于线性空间是从向量空间抽象出来的, 所以线性空间的元素也称为向量, 线性空间也称为向量空间.1关于 的基的几点解释(1)基本单位向量组 是一组非常漂亮的基；(2)任意n个线性无关的n维向量都是 的一组基,故基不唯一；(3) 为一组基(4) 中任意一组无关向量都可以扩充为 的一组基. 如 即 的又一组基.自然基二、 n维向量空间 的基与坐标可逆.2向量的坐标定义4 设 是 的一组基，若称 为 关于基 的坐标. 【注】向量 关于一组基的坐标唯一. 关于一组基的坐标是否唯一?但关于不同的基,其坐标一般不同

5、.(2)求 关于如下几组基的坐标.1） ； 2） ； 3）例2 (1) 求 关于基 与基 的坐标. 解析 (1) (2)故 关于三组基的坐标分别为解析(3) 求 关于基 的坐标.解析 令 (相当于求解非齐次线性方程组)并求 关于基 的坐标. (4) 证明 是 的一组基， 【注】求坐标的方法与利用矩阵初等行变换将某向量用极大无关组线性表示的方法本质相同.求坐标思路同(3)答案: 只需证解析 引 n维向量空间 基不唯一，讨论基之间的关系； 向量需要用不同基表示，讨论向量关于不同基坐标之间的关系.1过渡矩阵称 为由 到 的基变换公式. 则称A为由基 到基 的过渡矩阵；定义5 设 和 是 两组基，它们

6、之间的关系为 简记为 ，其中 思考:A中元素的涵义?【注1】A中第1列为 关于 的坐标，其余类推； 三、基变换与坐标变换【注2】过渡矩阵A可逆;【注3】由 到 的过渡矩阵为2坐标变换定理1 设 和 为 的两组基，向量 关于 的坐标为 关于 的坐标为 则例3 (1)求由基 到 的过渡矩阵.向量(2) 设三维向量空间 的两组基为求基 到基 的过渡矩阵及向量 关于两组基的坐标. 解析 (1)(2) 由则只需求出 下的坐标 , 即 例4设 是 的一组基，又知（1）证明： 和 是 的一组基;（2）求由基 到 的过渡矩阵;（3）求基 与 的坐标变换公式（4）求 关于基 的坐标. 解析 (1)(2)B则例4

7、设 是 的一组基，又知（3）求基 与 的坐标变换公式（4）求 关于基 的坐标.则有(4) (3) 由解析又知 （1）例5 设三维向量空间 的向量 关于基 的坐标为 ,关于基 的坐标为 求由基 到 的过渡矩阵.解析 本题为已知两组基的坐标变换公式,欲求基变换公式.由(1)式知,由 的过渡矩阵A则 过渡阵为1. 子空间定义定义6 设L是 的一个非空子集，如果L关于向量的加法与数乘运算也构成一个实数域R上的向量空间，则称L为 的一个子空间.例如2. 子空间判定定理 定理2 L是 的非空子集, L是 的子空间 L对加法、数乘运算封闭. 【注】1仅含n维零向量的集合是 的子空间， 称为零空间；零空间和

8、是 的子空间, 称为平凡子空间, 而其它子空间称为非平凡子空间. 2dimLdim =n； 3基的概念在子空间中适用.四、子空间及其维数例6 空间中xoy面上向量集合 是否构成3维向量空间 的子空间?答: 是.例7 判别下列集合是否为Rn的子空间？(1) V1= x = (1, x2, ,xn)T| x2, ,xnR(2) V2=x=(0, x2, ,xn)T| x2, ,xnR例8 设 , 是两个已知的 n 维向量, 集合V = x = | , R , 试判断 V 是否为Rn的子空间.思考:如何确定基与维数?【注】1 的极大无关组即生成子空间 的一组基.2dim =3生成子空间是 的一个子空

9、间,称为 的生成子空间，记作 .【注】齐次线性方程组 AX=o 的所有解组成的解空间, 可以看成是由其基础解系生成的子空间.例如: 例9 求 中向量 的生成子空间的维数和一组基.提示: 实质是找该向量组的极大无关组,即将向量写作列向量构造矩阵做初等行变换找出极大无关组.例10 求齐次线性方程组的解空间的维数和一组基. 解析 即求一个基础解系.例11 设向量组与等价, 证明：V1=V2.证明 设 则 x 可由 线性表示.与等价, 故 x 可 因为由 线性表示.即同理可证, 【结论】 任意两个等价的向量组的生成子空间相等.的极大无关组为则设向量组【本节内容说明】 （2）若向量组 是向量空间 的一组基，则 可表示为 （1）若把向量空间 看作向量组， 则 的基就是向量组的极大无关组, 的维数就是向量组的秩.基基向量坐标坐标过渡矩阵基本概念 线性空间、向