年高考第一轮复习数学两个平面垂直

1、两个平面垂直知识梳理1.两个平面垂直的定义：假如两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面相互垂直.2.两个平面垂直的判断定理：假如一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.3.两个平面垂直的性质定理：假如两个平面垂直，那么过此中一个平面内的一点作它的交线的垂线与另一个平面垂直.点击双基1.在三棱锥ABCD中，若ADBC，BDAD，BCD是锐角三角形，那么必有A.平面ABD平面ADCB.平面ABD平面ABCC.平面ADC平面BCDD.平面ABC平面BCD分析：由ADBC，BDADAD平面BCD，面AD平面ADC，平面ADC平面BCD.答案：C2.直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB

2、=90，AC=AA1=a，则点A到平面A1BC的距离是B.2aC.2aD.3a2分析：取A1C的中点O，连接AO.11AC=AA，AOAC.又该三棱柱是直三棱柱，平面A1C平面ABC.又BCAC，BCAO.所以AO平面A1，即1等于A到平面ABC的距离解得12a.BCAO.AO=2答案：C3.设两个平面、，直线l，以下三个条件：l；l；.若以此中两个作为前提，另一个作为结论，则可组成三个命题，这三个命题中正确的个数为分析：答案：C4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1BDA的正切值为_.答案：25.夹在相互垂直的两个平面之间长为2a的线段和这两个平面

3、所成的角分别为45和30，过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线，则两垂足间的距离为_.分析：以以下图，平面，=l，A，B，AB=2a.ACl于点C，BDl于点D，则CD即为所求.，ACl，AC，ABC就是AB与平面所成的角.故ABC=30，故AC=a.同理，在RtADB中求得AD=2a.在RtACD，CD=2a2a2=a.答案：a典例分析【例1】以以下图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且ASB=ASC=60，BSC=90，求证：平面ABC平面BSC.分析：此题是面面垂直的证明问题.一条是从定义出发的思路，即先证明此中一个平面经过另一个平面的一条垂线.但图中仿佛没

4、有现成的这样的直线，故作协助线.依据已知条件的特色，取BC的中点O，连接AO、SO，既可证明AO平面BSC，又可证明SO平面ABC.另一条是从定义出发的思路，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，注意到AOS是二面角ABCS的平面角，转变为证明AOS是直角.证法一：取BC的中点O，连接AO、SO.AS=BS=CS，SOBC，又ASB=ASC=60，AB=AC，从而AOBC.设AS=a，又BSC=90，则SO=2a.2又AO=AB2BO2=a21a2=2a，22AS2=AO2+SO2，故AOOS.从而AO平面BSC，又AO平面ABC，平面ABC平面BSC.证法二：同证法一证得AOBC，SOBC，

5、AOS就是二面角ABCS的平面角.再同证法一证得AOOS，即AOS=90.平面ABC平面BSC.特别提示此题揭露的是证面面垂直常用的两种方法.别的，此题中证明AOS=90的方法较为特别，即经过“算”，定量地证得直角，而不是经过地点关系定性地推理出直角，这也是立体何中证明垂直的一种重要方法.【例2】以以下图，在三棱锥SABC中，SA平面ABC，平面SAB平面SBC.（1）求证：ABBC；（2）若设二面角SBCA为45，SA=BC，求二面角ASCB的大小.（1）证明：作AHSB于H，平面SAB平面SBC，AH平面SBC.又SA平面ABC，SABC.SA在平面SBC上的射影为SH，BCSB.又SAS

6、B=S，BC平面SAB.BCAB.（2）解：SA平面ABC，平面SAB平面ABC.又平面SAB平面SBC，SBA为二面角SBCA的平面角.SBA=45.设SA=AB=BC=a.作AESC于E，连接EH，则EHSC，AEH为二面角ASCB的平面角，AH=2a，AC=2a，SC=3a，AE=6a，23sinAEH=32思虑议论，二面角ASCB为60.证明两个平面垂直的常有方法：（1）依据定义，证其二面角的平面角是直角；（2）依据判断定理，证明一个平面经过另一个平面的垂线.【例3】已知正三棱柱ABCA1B1C1，若过面对角线AB1与另一面对角线BC1平行的平面交上底面A1B1C1的一边A1C1于点D

7、.（1）确立D的地点，并证明你的结论；（2）证明：平面AB1D平面AA1D；（3）若ABAA1=2，求平面AB1D与平面AB1A1所成角的大小.分析：此题的结论是“开放性”的，点D地点确实定假如仅凭已知条件推理难以得出.因为AB1与BC1这两条面对角线是相邻二侧面上的异面直线，于是可考虑将BC1沿BA平行挪动，BC1取1地点，则平面11必定平行BC1，问题能够解决.AEABE（1）解：以以下图，将正三棱柱ABCA1B1C1补成向来平行六面体ABCEA1B1C1E1，由AE1BC1，AE1平面AB1E1，知BC1平面AB1E1，故平面AB1E1应为所求平面，此时平面ABE交AC于点D，由平行四边

8、形对角线相互平行性质知，D为AC的中111111点.（2）证明：连接AD，从直平行六面体定义知AA1底面A1B1C1D1，且从A1B1C1E1是菱形知，B1E1A1C1，据三垂线定理知，B1E1AD.又ADA1C1=D，所以B1E1平面AA1D，又B1E1平面AB1D，所以平面AB1D平面AA1D.（3）解：因为平面AB1D平面AA1D=AD，所以过A1作A1HAD于点H.作HFAB1于点F，连接A1F，从三垂线定理知A1FAB1.故A1FH是二面角A1AB1D的平面角.设侧棱AA1=1，侧棱AB=2.于是AB1=12(2)2=3.在RtAB11中，1AA1A1B1126，AAF=AB1=33

9、在RtAA1中，1，1111=2，AD=AA2AD2=6.222AA1A1D3则A1H=AD=.3在RtA1FH中，sinA1FH=A1H=2，A1F2所以A1FH=45.所以可知平面AB1D与平面AB1A1所成角为45或135.评论：此题主要考察棱柱的性质，以及面面关系、二面角的计算，同时考察空间想象能力和综合运用知识解决问题的能力.特别提示1.开放性问题已进入高考试卷中，最近几年来，全国及上海市多次考察开放题，解开放题并将经验与解题技巧相联合，并要有较娴熟的基础知识和“图形意识”，并能将典型图形灵巧应用到解题中去.2.立体几何的计算并不是纯真的数字计算，而是与作图和证明相联合的.立体几何计

10、算题的主要步骤能够概括为画证算三步.“画”是绘图，增添必需的协助线，或画出所要求的几何量，或进行必需的转变；“证”是证明，用三段论的方法证明你所画的几何量即为所求，而后进行最后一步计算.这三步之间密切相连，环环相扣，相互限制，形成认识决立体几何计算题的思想程序，是综合考察学科能力的集中表现.闯关训练夯实基础为ABC所在平面外的一点，则点P在此三角形所在平面上的射影是ABC垂心的充分必需条件是=PB=PCBC，PBACC.点P到ABC三边所在直线距离相等D.平面PAB、平面PBC、平面PAC与ABC所在的平面所成的角相等分析：条件A为外心的充分必需条件，条件C、D为心里或旁心的必需条件（当射影在

11、ABC的形内时为心里，在形外时为旁心）.答案：B、n表示直线，、表示平面，给出以下四个命题，此中正确命题为=m，n，nm，则，=m，=n，则mn，=m，则mm，n，mn，则A.B.C.D.答案：C3.设a、b是异面直线，、是两个平面，且a，b，a，b，则当_（填上一种条件即可）时，有.分析：此题为开放性问题.能够填上ab，也能够填a，或b.答案：ab4.三个平面两两相互垂直，它们的三条交线交于一点O，P到三个平面的距离分别是3、4、5，则OP的长为_.分析：结构棱长分别为3、4、5的长方体，使OP为长方体的对角线.故OP=324252=52.答案：525.在长方体ABCDABCD中，底面ABC

12、D是边长为2的正方形，侧棱长为3，1111E、F分别是AB1、CB1的中点，求证：平面D1EF平面AB1C.证明：以以下图，E、F分别是AB1、CB1的中点，EFAC.AB1=CB1，O为AC的中点，B1OAC.故B1OEF.在RtB1BO中，BB1=3，BO=1，BB1O=30.从而OB1D1=60，又B1D1=2，B1O1=1OB1=1（O1为BO与EF的2交点）.D1B1O1是直角三角形，即B1OD1O1.B1O平面D1EF.又B1O平面ACB1，平面D1EF平面AB1C.6.（文）以以下图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点，

13、EFBD=G.（1）求证：平面B1EF平面BDD1B；（2）求点D1到平面B1EF的距离d；（3）求三棱锥B1EFD1的体积V.（1）证法一：以以下图，连接AC.正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是正方形，ACBD.又ACD1D，故AC平面BDD1B1.E、F分别为AB、BC的中点，故EFAC.EF平面BDD1B1.平面B1EF平面BDD1B1.证法二：BE=BF，EBD=FBD=45，EFBD.又EFD1D，EF平面BDD1B1.平面B1EF平面BDD1B1.（2）解：在对角面BDD1B1中，作D1HB1G，垂足为H.平面B1EF平面BDD1B1，且平面B1EF平面BDD1B1=B1G，

14、D1H平面B1EF，且垂足为H.点D1到平面B1EF的距离d=D1H.在RtD1HB1中，D1H=D1B1sinD1B1H.D1121122，111B1B44，2=4=42GB11217d=D141617.H=417=17（3）解：V=VB1EFD1=VD1B1EF=1dSB1EF=1161217=16.331723评注：近几年立体几何的解答题一般都是一题多问，环环相扣.这样题的三小问便是这样.此题主要考察正四棱柱等基本知识，考察逻辑推理能力及空间思想能力.（理）以以下图，正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a.求：（1）AB与B1C所成的角；（2）AB与B1C间的距离；（3）AB与B1D

15、间的距离.解：（1）ABCD，B1CD是AB与B1C所成角.DC平面BB1C1C，DCB1C.于是DCB1=90.AB与B1C所成角为90.（2）连接BC1交B1C于O，则BOB1C.又AB平面BB1C1C，ABBO.BO是异面直线AB和B1的公垂线段，C易得BO=2，2a即AB与B1C间的距离为2a.2（3）ABDC，AB平面B1DC，DC平面B1DC，AB平面B1DC，从而AB与平面B1间的距离即为AB与1间的距离.DCBDBOB1C，BOCD，B1CDC=C，BO平面DB1C.BO的长为B到平面B1DC间的距离.BO=2，AB与1间的距离为2aBDa.22培育能力7.以以下图，四棱锥PA

16、BCD的底面是边长为a的正方形，PA底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB.（1）求证：平面PCE平面PCD；（2）求点D到平面PCE的距离.（1）证明：取PD的中点F，则AFPD.CD平面PAD，AFCD.AF平面PCD.取PC的中点G，连接EG、FG，可证AFGE为平行四边形.AFEG.EG平面PCD.EG在平面PCE内，平面PCE平面PCD.（2）解：在平面PCD内，过点D作DHPC于点H.平面PCE平面PCD，DH平面PCE，即DH为点D到平面PCE的距离.在RtPAD中，PA=AD=a，PD=2a.在RtPCD中，PD=2a，CD=a，PC=3a，DH=PDDC=6a.PC38.

17、（2003年杭州高考质量检测题）以以下图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AA1，E是棱BB1的中点.（1）求证：平面A1EC平面AA1C1C；（2）若我们把平面A1EC与平面A1B1C1所成的锐二面角为60时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此三棱柱能否为“黄金棱柱”，并说明原因；（3）设AB=a，求体积VAA1EC.（1）证明：连接A1C与AC1交于点F，连接EF，则由条件可得EC=EA1，则EFA1C.同理EC1=EA，则EFAC1，EF面AA1C1C.而EF面A1EC，所以平面A1EC平面AA1C1C.也可经过以下（2）的协助线先证明EFA1H，而A1H面AA1C1C获得（2）解

18、：延伸CE交C1B1的延伸线于点H，则有C1B1=B1H=A1B1，则HA1C1=90，且CA1H=90，所以CA1C1为平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角的平面角.若此正三棱柱为“黄金棱柱”，则CA1C1=60，应有CC1=3A1C1，与条件AB=AA1矛盾.所以此三棱柱不可以成为“黄金棱柱”.S（也可利用公式cos=SA1B1C1获得二面角的平面角来解决）ABC（3）解：VAA1EC=VEAA1C=1EF1AA1AC=13aaa=3a3.326212（或经过VAA1EC=VCA1AE来计算）研究创新9.以以下图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB=60，且边长为a的菱形，侧面

19、PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.（1）若G为AD边的中点，求证：BG平面PAD；（2）求证：ADPB；（3）求二面角ABCP的大小；（4）若E为BC边的中点，可否在棱PC上找一点F，使得平面DEF平面ABCD，并证明你的结论.（1）证明：在菱形ABCD中，DAB=60，G为AD边的中点，BGAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，BG平面PAD.（2）证明：连接PG，则PGAD，由（1）得BGAD，又PGBG=G，BG平面PBG，PG平面PBG，AD平面PBG，PB平面PBG.ADPB.（3）解：由（2）AD平面PBG，而BCAD，BC平面PBG.而PB

20、平面PBG，BG平面PBG，BCPB，BCBG.PBG就是二面角ABCP的平面角.在PAD中，PG=3a，在PGB中，PBG=45，即二面角ABCP为45.2（4）解：当F为PC的中点时，知足平面DEF平面ABCD.证明以下：取PC的中点F，连接DE、EF、DF，则由平面几何知识，在PBC中，EFPB，在菱形ABCD中，GBDE，而EF平面DEF，ED平面DEF，EFDE=E，平面DEF平面PGB.又PG平面ABCD，而PG平面PGB，平面PGB平面ABCD.故平面DEF平面ABCD.评论：此题第（1）问的论证中主要运用了面面垂直的性质定理，第（2）问经过线线垂直与线面垂直的转变得以证明，第（

21、3）问是经过找寻与二面角的棱垂直的平面，从而得出二面角的平面角，再归纳为论证与计算，第（4）问是研究性问题，这里经过直觉捕获结果，再进行逻辑论证.思悟小结在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中找寻平面的垂线，若没有这样的直线，则可经过作协助线来解决，而作协助线则应有理论依据而且要有益于证明，不能任意增添.在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转变为线面垂直.解决这种问题的重点是娴熟掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转变条件和转变应用.教师下载中心教课点睛1.联合图形向学生讲明两个平面垂直的判断定理及性质定理.2.在作二面角的平面角时，常常利用两个平面

22、垂直的性质定理，即从某个平面内一点作它们交线的垂线，从而与另一个平面垂直，再作二面角、棱的垂线，由三垂线定理的逆定理得两垂足的连线也垂直于棱.3.对“线线垂直”“线面垂直”及“面面垂直”之间的关系作系统小结.拓展题例【例1】已知m、l是直线，、是平面，给出以下命题：若l垂直于内两条订交直线，则l；若l平行于，则l平行于内全部的直线；若m，l且lm，则；若l且l，则；若m，l且，则lm.此中正确命题的序号是_.答案：【例2】如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA平面ABC.（1）求证：平面PAC平面PBC；（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的双侧，试写出图中全部相互垂直的各对平面.（1）证明：C是AB为直径的圆O的圆周上一点，BCAC.又PA平面ABC，BC平面ABC，BCPA，从而BC平