几何体外接球常用结论及方法

1、几何体外接球常用结论及方法(如何求几何体的外接球半径)、在涉及球的问题中，经常用到结论：在三棱锥p - abc中，pa丄pb , pa丄pc , pb丄pc，则该三棱锥的外接球的半径 2r pA2+pB2+pC2 .等边三角形外接圆的半径等于连长的 倍.直角三角形的三角形外接圆的半径等于斜边的一半abc一般的三角形ABC可由正弦定理：=2R( R为外接圆半径)求得外接sin A sin B sin c圆半径，内切圆的半径通过：S=1C- r( r为内切圆的半径)求得.多边形 2 多边形的周长已知三棱锥P- ABC , PA丄面ABC，若PA二a , ABC的外接圆半径为r，则该三棱锥 P -

2、ABC的外接球半径为(2R)2 =(2r)2 + a2.正方体的外接球、内切球、棱切球的直径分别为正方体的体对角线长2R = 3a、棱长2R二a、 面对角线长2R = 2a .在四面体P- ABC，若ZAPC = 90。，ZABC = 90。，则四面体P- ABC的外接球的直径是 AC .对于正棱锥的外接球的半径计算，也可借用几何法求出如针对正三棱锥V- ABC，可根据平面几何中的射影定理VA2 = 2RH (H为正三棱锥的高，VA为侧棱长，即正棱锥侧棱长的平方等于正棱锥的高与外接球直径的乘积.正四面体的高、外接球的半径与内切球的半径之间的关系：高：h色球心把高分成3：i；内切球半径：12a；

3、外接球半径：f a-有内切球的多面体的内切球的半径计算方法：V =；S r .3全三棱锥的两个侧面互相垂直，已知两个相互垂直的面的外接圆半径的长及其公共棱的长度的情形：已知三棱锥A-BCD中，面ABD丄面BCD，且AABD，ABCD的外接圆半径分别记 为r,r，公共棱BD = a，则该三棱锥的外接球半径满足：(2R)2 =(2r)2 +(2r)2 -a21 2 1 2证明：分别在AABD，ABCD所在的圆面上调整这两个三角形的开关，如图在AABD的外接圆周上调整A点的位置到G点，使GD丄BD，在ABCD的外接圆周上调整 其形状，将B调整到E , C调整到F，使得AEDF是以D为直角顶点的等腰直

4、角三角形，从而得到新的三棱锥G EDF，则GD丄DE， GD丄DF， DE丄DF， GD =2 -a2，DE = DF =站2，三棱锥G EDF的外接球与A BCD的三棱锥的外接球是重合的，因此 所求得外接球半径满足（2R匕=（2r）2 +（2r匕a2.1 2（12）三棱锥给出两个侧面的夹角大小（夹角），及其相应两个侧面的三角形的外接圆半径和公共弦 长的情形：P ABC，已知面PAC与ABC所形成的二面角为（00 90。），且已知APAC和AABC的外接圆的半径分别为ri，r2，AC - a，则该棱锥P - ABC的外接球半径R满足:2 R 2 + 2 R 2 + 2cos 0T - 2C0S

5、0Va 2 vr -i 4、a 2r 2.2 4八分丿证明：如图，取APAC，AABC的外接圆圆心分别为O ,O，分别过O ,O作面PAC，ABC1212的垂线，两条垂线必交于一点O，该O即为该三棱锥的外接球的球心.再取公共棱AC的中点为再取公共棱AC的中点为K 连接O1K,O2 K则四点O, O1, K，O2共圆且zoko，zooo 二兀一e1 2 1 2在直角三角形AOO1中根据勾股定理得:OO = ，:R2 - r2 ,同理可得 OO = JR2 - r 21 1 2 2OK =i1 a )2a 2O K =1 a )r 2 -r 2 -，Jr 2 -I1L 2 J1V 142VL 2丿

6、在AO KO和AO OO中，根据ZOKO =01 2 1 2 1 2ZO1OO2 =-0，结合余弦定理可得到:R, r, r , a之间的等量关系? 一2cos 0Va 2 vr -14、a 2r 2 -.2 4八分丿（13）计算球的表面积或体积，必须求出球的半径，一般方法有（核心：补体定心）根据球心到内接多面体各顶点的距离相等确定球心，然后求出半径；（当涉及的多面体较多垂直时，考虑此法，充分利用直角三角形斜边的中点，找出小圆圆心或球心位置，进而求出 球的半径.）考虑补体法，求出多面体的外接球的直径当三棱锥S-ABC中，三对对棱分别相等时，可 构造一个长方体；当三棱锥S -ABC有三条（可不相邻