信息与通信自动控制原理课件大全4-2

1、第二节 知识要点 掌握绘制根轨迹的八个规律 掌握0度根轨迹的手工绘制方法 理解0度根轨迹与180度根轨迹的区别 掌握参数根轨迹的手工绘制方法一、根轨迹的根本规律1、根轨迹的起始点与终止点；4、根轨迹的渐近线；2、根轨迹的连续性、对称性和分支数；3、实轴上的根轨迹；5、根轨迹在实轴上的别离点和别离角；6、根轨迹的起始角和终止角(复数零极点)；7、根轨迹与虚轴的交点；8、根之和。特征方程可写为：规律一 根轨迹的起点和终点根轨迹起始于开环极点。根轨迹终止于开环零点。根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。1当m=n时，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均为有限的值。讨论：2当mn时，即开环

2、零点数大于开环极点数时，除有n条根轨迹起始于开环极点(称为有限极点)外，还有m-n条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。参数根轨迹 根轨迹起始于开环极点(K*0)，终止于开环零点(K*)；如果开环极点数n大于开环零点数m，那么有n-m条根轨迹终止于s平面的无穷远处，如果开环零点数m大于开环极点数n，那么有m-n条根轨迹起始于s平面的无穷远处。结论：规律二 根轨迹的连续性、对称性和分支数 根轨迹的分支数(条数)等于系统特征方程的次数n。(根轨迹描述特征根的变化规律) 根轨迹是连续的曲线。(K*是连续变化的) 根轨迹总是对称于实轴。(实际的物理系统的参数都是实数数学模型的系数是实数特征根不是实数

3、就是共轭复数) 结论：根轨迹是连续且对称于实轴的曲线，其分支数等于系统特征方程的次数。规律三 实轴上的根轨迹设系统的开环传递函数其中p1、p2、p3、z1、z2为实极点和实零点，p3、p4、z3、z4为共轭复数零、极点。假设实轴上某点右侧的开环零、极点的个数之和为奇数，那么该点在实轴的根轨迹上。只有s0点右侧实轴上的开环极点和开环零点的个数之和为奇数时，才满足相角条件。 p1p2p3p5p4z1z2s0z4z3j0151424323S0点符合相角条件：每一对共轭复数形式的零极点对应的向量的相角之和为2；实轴上的零极点对应的向量的相角只有0和两种情况。规律四 渐近线 当开环极点数n大于开环零点数

4、m时，系统有n-m条根轨迹终止于S平面的无穷远处，反响n-m条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线，因此，渐近线也有n-m条，且它们交于实轴上的一点(对称性)。渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴正方向的夹角： 证明：思路：研究s值很大时根轨迹近似直线的表达方式通过列写直线的方程。多项式除法证明：研究s值很大时根轨迹近似直线的表达方式通过列写直线的方程。当s值非常大时，开环传递函数可以近似为：由特征方程G(s)H(s)=-1得渐进线方程为：由二项式定理当s值非常大时，近似有令实部和虚局部别相等得：点斜式方程渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴正方向的夹角： 例 系统开环传递函数如下，试画出该系统根轨

5、迹的渐近线。 解 该系统n=4，m=1，n-m=3；三条渐近线与实轴交点 为它们与实轴正方向的夹角分别是 根轨迹的渐近线swj-4-3-2-10BCAas60-60300as180四种情况下的渐近线规律五 根轨迹的别离点和别离角 两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的别离点。 常见的根轨迹别离点位于实轴上。实轴上两个相邻的开环极点之间或两个相邻的开环零点之间，至少有一个别离点。别离点也可能以共轭形式成对出现在复平面上。 实轴上的别离点 复平面上的别离点 swj-4-3-2-10别离点swj4p3p1p2pAB0sd1d2Cs别离点，实质上就是系统特征方程的重实根实轴

6、上的别离点或重共轭复根复平面上的别离点。 别离点的坐标d是以下方程的解：证明：闭环特征方程有重根的条件为：变换形式1、当开环系统无有限零点时，应取 别离点方程为 。 2、只有那些在根轨迹上的解才是根轨迹的别离点。别离点确实定需代入特征方程中验算。3、只有当开环零、极点分布非常对称时，才会出现复平面上的别离点。说明例 系统开环传函，试求出系统根轨迹别离点。 解 本系统无有限开环零点，所以 d2=-2.58不在根轨迹上上，舍去。 d1=-1.42是实轴根轨迹上的点，根轨迹在实轴上的别离点。比照较复杂的方程(次数大于2)，也可用试探法求解。别离角：根轨迹进入别离点的切线方向和离开别离点的切线方向之间

7、的夹角。设l为进入别离点的根轨迹的条数，那么别离角当l=2时，别离角为起始角pi 根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与实轴正方向的夹角。 规律六 起始角与终止角 wjs3P2P1P0s1pq2pq终止角zi 根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角。1z2z所以证明： 设A为根轨迹上离极点pi很近的一点。A离pi很近A点满足相角条件同理得：代入：进一步具体分析起始角与终止角的表示。例 系统的开环传递函数为 其中p1和p2为一对共轭复数极点，各零级点在s平面上的分布如以下图。试依据相角条件求出根轨迹离开开环复数极点p1的起始角p1。 sswj1z1p2p0解 对于根轨迹上无限靠近p1

8、的点A，由相角条件可得 由于A点无限靠近p1点 sswj1z1p2p3p)(31pp-)(21pp-)(11zp-01pqA角度替换后得：规律七 根轨迹与虚轴的交点由此可得虚部方程和实部方程为 根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根实部为零。用s=j代入特征方程可得 解虚部方程可得角频率c，即根轨迹与虚轴的交点的坐标值；用c代入实部方程，可求出系统开环根轨迹增益的临界值 。 对如何选择合适的系统参数、使系统处于稳定的工作状态有重要意义。例 系统开环传函如下，试求出根轨迹与虚轴的交点 及相应的开环根轨迹增益的临界值 。令s=j并代入特征方程得其虚部和实部方程分别为解 系统特征方程是解方程

9、组得： 当系统的阶次较高时，解特征方程将会遇到困难，此时可用劳斯判据求出系统开环根轨迹增益的临界值和根轨迹与虚轴的交点。规律八 根之和 当n-m2时，闭环传函特征根之和等于开环传函所有极点之和(常数)。证明：n-m2时，将开环传函表示的特征式展开后得：将闭环极点表示的特征式展开后得：两式相等当一些根随K*的增加而增加时，必有另一些根随K*的增加而减小。当K*变化时，随K*变化的n个闭环特征根的和具有常数性。在根轨迹图上表现为一些根轨迹分支向左延伸，另外一些分支必向右延伸。(根轨迹的自平衡性)结论根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹增益值K*的增加而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方向。要标出一

10、些特殊点的K*值，如起点(K*0)，终点(K*)；根轨迹在实轴上的别离点d(K*=Kd*)；与虚轴的交点(K*=Kr*)。还有一些要求标出的闭环极点s及其对应的开环根轨迹增益K*，也应在根轨迹图上标出，以便于进行系统的分析与综合。根轨迹的起点开环极点pi)用符号“标示；根轨迹的终点(开环零点zj)用符号“o标示。手工绘图时还需注意：第三节 知识要点了解广义根轨迹的概念掌握参数根轨迹和零度根轨迹的绘制方法掌握绘制广义参数根轨迹时闭环传函的变形方法掌握零度根轨迹和广义根轨迹的区别根轨迹的分类常规根轨迹： 负反响系统中K*变化时的根轨迹广义根轨迹 根轨迹增益K*以外，其它情形下的根轨迹参数根轨迹零度

11、根轨迹定义：以非根轨迹增益(比方比例微分环节或惯性环节的时间常数 )为可变参数绘制的根轨迹。闭环传函等效闭环系统其开环传函与常规根轨迹的开环传函具有相同形式变形参数根轨迹绘制思路：解题关键：要将开环传函变形，将非开环增益的参数变换到开环增益的地位 而且绘制根轨迹的相角、幅值条件和根本法那么均 是根据特征方程得到的。2假设选其它参量为可变参数，可以利用等效传递函数 构造一个新系统，使其特征方程与原系统的特征 方程相同的概念，将系统特征方程也转化为上式 的形式，以所选可变参量a代替K1位置： 1中选K1为可变参量时，特征方程为上一节的相角、幅值条件和绘制法那么都依然有效。 (1)以比例一微分环节的

12、时间常数为参量例 如以下图系统，绘出以时间常数T为参量 的根轨迹。解：系统的开环传递函数为：闭环传递函数为：分子分母同除以 由闭环传函标准形式知等效系统中等效系统为绘制T从0变化时原系统的根轨迹如以以下图：由开环传函原系统和等效系统的开环传函不同，但它们具有相同的闭环传函。绘出的根轨迹是参数T从0到变化时原系统闭环特征根的变化轨迹，因为等效系统与原系统的特征根是一样的。说 明等效变形时要化成闭环传函的标准形式(分母中要出现“1+的形式)。绘制步骤(1)列出原系统的特征方程。(2)以特征方程中不含参量的项去除特征方程，得到等效系统的根轨迹方程，该方程中原系统的参量为等效系统的根轨迹增益。(3)绘

13、制等效系统的根轨迹，即为原系统的参量根轨迹。(2)以惯性环节的惯性时间常数为参量例 如以下图系统，绘出以时间常数T 为 参量的根轨迹。解：系统的开环传递函数为 ：闭环传递函数为 ：分子分母同除以 由闭环传函标准形式知等效系统中所以等效系统为原因：闭环特征式等于开环传函的分子多项式和分母多项式的和，开环传函为G(s)H(s)和1/G(s)H(s)时，系统的特征多项式相同。作出的根轨迹是相同的特征方程的根随同一个参数变化的轨迹，因此，根轨迹的形状相同。 对于开环传函分母的阶数小于分子的阶数，无法用MATLBA绘制根轨迹。解决方法：绘制的根轨迹。开环传函：闭环传函：进一步说明两系统的开环传函，分别绘

14、制系统的根轨迹如下：绘制T从 0变化时原系统的根轨迹如以以下图：说 明 得到的根轨迹图和开环传函为G(s)H(s)的根轨迹图相比：形状上相同；起点和终点相反(零极点相反)；根轨迹增益互为倒数。定义：如果负反响系统开环传递函数的分子、分 母中s最高次幂系数不同号，或者正反响系 统开环传函的分子、分母中s最高次幂同 号，系统根轨迹为零度根轨迹。零度根轨迹m个零点n个极点nm幅值条件“+“-“1幅角条件（k =0, 1, 2, ） “2k”正反响系统的根轨迹由根轨迹方程1-G(s)H(s)=0推得相角条件为所以，零度根轨迹和常规根轨迹相比但凡和相角有关系的规律都要发生变化。实轴上的根轨迹：假设实轴上某点右侧的开环零、极点的个数之和为偶数，那么该点在实轴的根轨迹上。渐进线与实轴的夹角为 根轨迹的起始角和终止角 变化的规律根轨迹的分支数 (相同)根轨迹的起点和终点 (相同)根轨迹的对称性 (相同)实铀上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧(实轴上)开 环实零、