矩阵的秩的等式及不等式的证明

1、目录第一章绪论 1第二章预备知识 236第五章用向量组秩的理论证明秩的等式和不等式 10第六章用矩阵分块法证明秩的等式和不等式 15第七章小结 23参考文献 24致谢 25第一章绪论矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，是矩阵理论中研究的一个重要内容，它具有许多的重 要性质.研究矩阵的秩对于解决矩阵的很多问题具有重要意义.矩阵的秩的等式及不等式的证明对于学习矩阵也是重点和难点，初学者在做这方面的题目往往不知如何下它仍然有着重要的研究价值，有关它的论文时见报端.很多国内外的有关数学书籍杂志对矩阵的秩都有讲述，如苏育才、姜翠波、张跃辉在矩阵论（科学出版社、2006 5 月出版7 月出版）也介绍了秩的一些性

2、质.但是对秩的等式及不本文通过查阅文献资料，总结归纳出有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些 命题常用的证明方法，从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等 角度给出多种证明方法.主要内容有：（1）用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（2）用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；（3）用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（4）用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.第二章预备知识定义 1 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩； 矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩； 矩阵的行秩和列秩统称为矩阵的秩.定义 2 如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为

3、等价.定义 3 数域 P 上的矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换：P中的一个非零数乘以矩阵的某一行（列）；把矩阵的某一行（列）c倍加到另一行（列）；互换矩阵中两行（列）的位置.4 sxn A k 行和k 列，位于这些选定的行列交叉点上的k2 k A k 级子式.5 A 为m n Ax=0 A 的零空间（即核空间）,记作 N（A）,即 N（A）=xAx=0.引理.引理 25 任意两个等价的向量组必有相同的秩.3n A1|A#0.d=A=0,由A（1A*）=（9A*）A=E A 必要性：如果 A 可逆，那么有 A使 AA,=E.两边取列式，得|AA=E=1,因而 A#0.引理 4 川矩阵的秩是

4、r 的充要条件为矩阵中有一个r 级子式不为 0,同时所有的 r+1 级子式全为 0.引理 51如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出，那么（I）的秩不超过（II）的秩.证明：根据已知可知向量组（I）极大线性无关组可由（II）的极大线性无关组线性表出，根据向量组的基本性质（见参考文献1）可得，向量组（I）极大线性无关组的向量个数不超过（II）的极大线性无关组的向量个数，即（I）的秩不超过（II）的秩.引理在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数为 n-r,这里 r 表示系数矩阵的秩，n-r 也是自由未知量的个数.第三章用矩阵的秩的理论证明秩的等式和不等式本章

5、主要是利用矩阵已知的秩的理论证明秩的等式和不等式问题，例如行秩等于列秩， 秩为 r 这些命题都是一些基本的命题.命题 3.1r(A)=r(AT).证明：由矩阵转置的定义,AAT AAT1 r(A)=r(AT),命题证毕. 3.2r(kA)=r(A)(k#0).证明：kAA的行向量组线性表出，AkA的行向量组线kAA的行向量组等价.2kA A的秩相等，命题证毕.3.3Asn PSMS 可逆矩阵，Q Mn 可逆矩阵，那么rA=rPA=rAQ.证明：B=PA,由矩阵乘积的秩不超过各因子的秩可知 r(B)r(A),但是由A=P，A,又有 r(A)r(B).所以 r(A 户 r(B 尸 r(PA).另一

6、个等式可以同样地证明，命题证毕.jn,如 r(A)=n命题 3.4设 A 是一个 n 阶方阵，则 r(A*)=1,如 r(A)=n-10,如 rA-n-2.证明：若r(A尸,由引理,知A可逆，A*=A，可逆，故r()=.r(A)=n-1,4,A n-1 0,A*#0,r(A*)1,又因AA*=|AE=0,r(A)+r(A)mn,r(A)nr(A)=1,r(A)=1.r(A)En-2,4,An-1 0,A=0,r(A*)=0.命题证毕.从这个命题可以得出 r(A 产 r(A)的结论.3.53 A mxn A 的s t s：t 个元素按原来的相对位置构成 sxt 子矩阵 C,则 r(C)+m+n

7、之 r(A)+s+t.DAssxtCsr(DA的d+m-sMd+1D中.M D M D k d 3 全为零.因此任意一个大于 d+ms 阶子式 M 必须等于零.由秩的定义，r(A)Er(D)+m-s.由行与列的对称性类似地可推出 r(D)r(A)r(A2 r(Ai 0,in 是有限m rAm=rAm1.3.2 A,Bn 阶方阵，En 阶单位矩阵，证明rAB-ErA-ErB-E.证明：因为 AB-EE(A-E)+A(B-E),所以rAB-E=rA-EAB-ErA-ErAB-ErA-ErB-E.命题 3.7 设 A 为 n 阶矩阵，证明：如果 A2=E，那么 r(A-E)+r(A-E)=n.证明：

8、因为(AEXA+E)=A2+AAE=EE=0,由命题 5.3 知r(A-E)+r(A-E)n.又 rA-ErAE_rAEA-E=r2A=rA而=，所以=1，即0,)=.因此r(A-E)+r(A-E)之 n.由，可得 r(AE)+r(AE 尸 n.例3.设A,B为n阶方阵，且ABA=Br(E+A)+r(AB)=n.证明：因为 ABA=B,所以(ABj=E.由命题 3.7 知rABErAB-Ei-n(1)由 rEAB=rABE,rE-AB=rAB-E(2)由(1),(2)知有 r(E+AB)+r(EAB)=n 成立.3.4 A为n A2=A,r(A)+r(A-E)=n.证明：由 A2=A，可得 A

9、(AE)=0.r(A)+r(A-E)nE-AA-E有相同的秩，所以n=r(E 产 r(A+E-A)Mr(A)+r(E-A)由，可得 r(A)+r(A-E 尸 n.第四章用线性空间的理论证明秩的等式和不等式本章主要是利用线性空间的维数公式，同构，直和分解，核与值域的一些性质和定理来 矩阵的联系起来，是有一定的难度的.这其中要构造一些映射.4.1A设为nARnR(A)A的零空问(即核空间)N(A)Rn,r(Ar(A2).证明：根据引理 6,要证 r(A)=r(A2),只要证 AX=0 与 A2X=0 同解.AX=0 A2X=0 A2X=0 的任一解Y同时也是A2X=0 的解.AY#0,A(AY)=

10、0,AYWN(A).n另一方面，AY=y WRlA),i1TAr%,也,，.Y=(%。2,，yn)从而0=AYRA-NA,Rn=R(A)N(A)A2X=0 AX=0 的解，于是它r(A)=r(A2).4.2 Am矩阵，Bn=1Sylrester 公式:rA+rB-nrAB.Am矩阵，Bn 1 矩阵,设(的解空间分别为AB,B,A,则V=n-r(,X者联系起来,方程组 BX=0作|VBL则它为A 的子空间，从而AY=0dim(BXXWVAB)WdimVA=n-r(A),又B 为AB 的子空间，作:AB二W一方面VAV=1-rAB：1-rB=rB-rAB下证 WJBXXVAB)定义|Wf=B易知这

11、个映射是单满的，并且满足线性运算条件，所以它是同构映射.dim=VAB但上面：dimBXXwVABWdimVA=n-r(A).因止匕 nr(A)之 r(B)r(AB),即 r(A)+r(B)-nm 矩阵，AB=BA.r(A+B r(A)+r(B)r(AB).证明：设 w1,w2,w3,w4 分别为 A,B,A+B,AB 行空间，那么dimw1=rA,dim 也=rB dimw3=rAB,dimw4=rAB由于 w3 三 w1+w2,并由维数公式得：dimdim(1+)=dim1+dim2m(02)即得：rABrArB-dimw1-w2(1)ABB的行向量的线性组合，w41w2 AB=BA,所以

12、有,4-WI,因此有4-WIC,所以有mWI-W2(2).将(2)代入(1)即得：r(A+B)证明：设方程组ABX=0与0 AB,VB.r(AB)=r(B),6 dim(VAB)=dim(VB) 又因为满足0 解向量也满足ABX=0AB5由可推出ABVB.r(ABC r(BC),ABCX=0 BCX=0 同解. 设方程组0 与0 VAB,B.显然ABB,只要证C-C.由 ABCX=0 知 CXwVAB=VB,即 BCX=0,因此 VABC 三 VBC,命题得证.此例是一个有价值的结论.4.1n A满足A2r(A)+r(A-E n.1*A2=A A1A0*I-J的对角阵，其中 1 的个数为(人)

13、,又-八与-人相似，从而有相同的秩，而1*E-4=1,0*I-J0 A的秩，1 n-r(A).所以rArE-A=rArE-AD=rAn-rA=0.充分性.只要证明对任意 X 均有 A2X=AX 即可.由 r(A)+r(E-A)=nt明，AXi=0 的解空间 Vi与(A)=0 的解空间y 满足VV=X 存在唯一分解X=Xi+X2 其中 XiwV1X2-V2,所以A2X=A2X1X2=AAXAAX2=0AAX2=0X2=AX1AX2=AX1X2=AX综上即证 A2=A.命题 4.5 设 A,B 分别是 mMm,mxn 矩阵，其中 A 为可逆矩阵，证明 r(AB)=r(B).证明：设 AB=Q,A=

14、(%,%,.,am),B=(Pi,p2,.,Pn),Q=ai/2,.,Yn),：则(I,，:飞尸：T),.,m)-2三审(.2厂。)一=n：A m,故可将(%,”,.,m)m 维线性空间的一组基， 则向量%,.,(在这组基下的坐标向量分别为1,%.,Pn.作l(Pi,P2,.,Pn),lJ2,.Jn),在这两个线性空间中构造映射，将(工/,.,鬣)中的每个向量映射到在基(Qm)下的坐标向量，这个映射是一个同构映射，因此 1 出,尾,.,此),1。1 工,.,*)这两个线性空间同构，所以0,.,)J,.J),dim(l(Bi,.,Bn)=r(B),dim(l0i,T2,.,Yn)=r(AB).r

15、(AB)=r(B).同理可证明当 B 为可逆矩阵时，r(AB)=r(A).这章主要是利用线性空间和线性变换的一些知识来证明矩阵的秩的等式和不等式命题， 联系.第五章用向量组秩的理论证明秩的等式和不等式本章主要利用向量组的秩和极大线性无关组的一些知识，以及线性方程组的解空间的维数和系数矩阵的秩的关系来证明秩的等式和不等式.5.1 Amxn 矩阵,Bmpr(A)或r(B)4r(A：B)4r(A)+r(B).证明：(A，BABr(A)r(B r(AB下面证明r(0)r()+r(不妨设4人，r与j,j，B2 分别是A与B的列向量组的极大线性无关组，则(AE)的每个列向量均可用向量组线性表出，根据引理

16、5 可知AAAr，BjBjBjrABn 矩阵，r(A)r(Br(AB)Er(A)+r(B).证明：先证明 r(A+B)r(A)+r(B).设A=AA,AnB=Bi,B2,Bn,则AB=AiBi,A2B2,AnBn.不妨设AA，Ar与jBj，BjrA与B则有As=kiAik2A2krAs=i,2,n Bs=liBiil2Bi2lrBirAsBs=kiAik2A2r1AqliBiil2Bi2r2Bir2即 A+B 的列向量可以由 A1,A2，A/BjBj2，Bj.2 线性表出，由引理 5 知rABrAi,A2,A.,Bji,Bj2,Bj 七三 r1=rArB.再证明 r(A)_r(B)Mr(A+B

17、).由刚证明的结论 r(A+B 产 r(A)+r(B)可知rA)=rABB 工 rABr：；-B=rABrB,移项得到rA-rB_rAB,同理可得 r(B)-r(A)r(A+B),因此 r(A)-r(BJr(A+B).综上所述我们证明了 r(A)r(B)4r(A+B)r(A)+r(B),对于 r(A)-r(BJr(A-B)r(A)+r(B),只要把以上证明过程的 B 改成B 即可得证，命题证毕. 由命题 3.1r(A)=r(AT),命题 3.2r(kA 尸 r(A)(其中 k#0)和本命题可推知r(kA+旧户 r(A)+r(B)(其中 kl#0).5.1 A,Bmn 矩阵,证明:r(A B)r

18、(Ar(A+B r(A 旧A=A，AB=旦旦,Bn,则A+B(B，+)(.)=(，,，).不妨设AA，ABjBjBjrA与BAskkkrArs=1,2,nBs=lM 曲 1 凡ABAkAkrA1旧1B3即A+BAA，ArBjBj，BjrAAAr，BjBBjr也是来自于(AB)的列向量组的向量，所以 A+B 的列向量也可以由(A 5可知5+8户5七).对于5-8)61)，B改成B 即可得证，命题证毕.5.3 Ammn 矩阵，BnpAB=0,r(A)+r(B 产n.证明：设 B=(BI,B2,，Bp),则 AB=(ABi,AB2,，ABp)=0.ABi=AB2=ABp=0AX=0 pBi,B2,，

19、Bp.r(A r,6,Bi,B2,，Bp n-r 个解向量组成的基础解系线性表出. 5 r(B)=n-r,r(A)+r(B)Mr+(n-r)=n,命题证毕.例 5.2A 是 mn 矩阵,则 r(ATA)=r(AAT)=r(A)=r(AT).证明：由命题 3.1 知 r(A)=r(AT).下面我们先证明 r(ATA)=r(A).只要证明 ATAX=0 与 AX=0 同解便可得到 r(ATA)=r(A).一方面，满足 AX=0 解向量也满足 ATAX=0;另一方面，由 ATAX=0 两边同时左乘 XT 得至XTATAX=0,即(AXT(AX)=0,&i、r：一一.T22.一一.一一一.设 AX=:

20、，那么(AX)(AX)=ki+kn=0,所以(=0(i=i,2，n),AX=0,满足 ATAX=0 的解也满足 AX=0.综上所述 ATAX=0 与 AX=0 同解，解空间的维数相等，由系数矩阵的秩与线性方程解空间的维数之间的关系可知n-r(ATA)=n-r(A),r(ATA)=r(A).对 r(AAT)=r(AT)证明过程与此类似，所以 r(ATA)=r(AAT)=r(A)=r(AT),命题证毕. 例 5.3 证明：若线性方程组 AX=0 的解均为 BX=0 的解，则 r(A 户 r(B).AX=0与0的解空间分别为VA,B,若线性方程组0的解均为的解，则VAVB,mdimVB根据引理 6

21、有 nr(A)Mnr(B),即 r(A 户 r(B),命题得证.5.4 A 为mxn 矩阵，B nx1 ABX=0 与BX=0 同解的充分必要条件为rAB=rB.证明：设方程组ABX=,0 解空间分别为AB,B.必要性：若A=VBm(AB尸m(根据引理6可知n-rAB)=n-rB,可以推出 rAB=rB.充分性：若 r(AB)=r(B),则根据引理 6 知mVAB)=m(V)又因为满足 BX=0 解向量也满足 ABX=0,所以VABVB由可推出ABVB5.4 APnm Pm”r(AB)minr(A),r(B)即矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.证明：构造齐次线性方程组 ABX=0 与 BX=0,设

22、方程组 ABX=0 与 BX=0 的解空间分别为AB,B.显然，满足 BX=0 解向量也满足 ABX=0,所以 VAB3VB,dim(VAB 卢 dim(VB),根据引理 6 知r(AB)r(B).BTATX=0 与ATX=0,r(BTAT)Mr(AT),即r(AB)r(A).综上所述 r(AB 产 minAr(B).此命题用归纳法可以推广为：如果 A=AA勺那么秩(A)叫出秩(A)5.4 mn AX=0b+b2K2*,+bnxn=0 的解，其中AX=(Xi,X2,Xn),求证 r=r(A).H1b b2,bn/HAX=0Albb,，bn/X=0 同解，根据引理 6 它们的系数矩阵的秩相等，所

23、以 r第六章用矩阵分块法证明秩的等式和不等式本章主要是利用矩阵分块的方法来证明矩阵的秩的等式和不等式，也包括矩阵分解的方法证明秩的等式和不等式，涉及到了矩阵的广义初等变换和广义初等矩阵.例6.设AP上m 矩阵，BP上s 矩阵，r(ABAminG(A),r(B),即矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.ana12a1m证明：设八= a21a22a2mb2b1s,B=b21b22b2sn1n2nmj1bmibm2bmsj令I，2,，m BG，,，n表示C=AB的行向量。由于i的第jm个分量和 0B1+ai2B2+amBm 的第j 个分量都等于aikbkj,因而 kmC a B a BB 1,2i= i1

24、1 i2 2am m =,E),即矩阵ABI,2,，n 可经B的行向量组线性表出，所以AB的秩不超Br(AB)Er(B).同样，令，m A的列向量,DI,，s 表示BDi=b1iAb2iA2bmiAm(i=12,s)AB 的列向量组可经矩阵 A 的列向量组线性表出，所以 r(AB)Wr(A),也就是rAB 三 minrA,rB)；.6.2 A,Bn 阶方阵，En 阶单位矩阵，求证A-E证明：因为0B-E、B B-E 01AB-E0、0J-AB-E、B-EB-EB-E/rAB-ErA-ErB-E.=r(A-E)+r(B-E).因此 rAB-ErA-ErB-E.6.1 A,Bmxn r(AB)r(

25、A)+r(B). 证明：构造分块矩阵A、0,对其施行用广义初等变换可得切0)fAB)fAA+B)JTTAkBJ10BJ10Bj根据初等变换不改变矩阵的秩可以推出AA+BAi0Bi0A0、又由于i0=rAB由，即得rA_Br(A)+r(B),即=rEnr-AB=n-rAB.En0可推出iAnrAB 一 rArB.所以 rArB-nrAB.这个公式代数里称为 Sylverster(薛尔佛斯特)公式.命题6.3设A,B分别为s,nm矩阵，则r(A)十r(B卜n=r(AB)的充要条件为A0、0B/-A证明：由EE【-B-ABY E-B0-AB根据矩阵秩的性质, 可以得到等式0、B=rABnA(A充分性

26、:=rArB-A0 r(AB)+n=r(A)+r(B),即LE0BjrArB-n=rAB.必要性：若 r(A)+r(B)-n=r(AB)则 r(AB)+n=r(A)+r(B),由可知综上所述，命题得证.r=rA0)/A0)EB；、0B；6.3 A,Bs,nMm r(A)+r(B)-n=r(AB)的充分必要条件为存在矩阵 X,Y,使得 XA+BY=En.证明：由上一个命题可知 r(A)+r(B)-n=r(AB)的充要条件为fA0、/A0、/A0、/A0、r=r,那么我们只要证明 r=r 的充要条件为存在矩阵EBJ,0BJ 舌 BJ10B；X,Y,使得 XA+BY=En,即可完成本命题的证明.下面

27、就此进行证明充分性.En人EB人可知当 XA+BY=En 时，0YEAX0JA0Em 八 En-XA-BYB6.3E必要性.=rB)rArB-n=rAB.0设0;、 00其中 R,P2,Qi,Q2 均为可逆矩阵.R0A0Q10午 1A0YQ10PAQ10Er000000Es00000,A0QJRAQJRA10B 八 EB 八 0Q2、P2 耳 Bj10Q2 厂 EQ1E000、0000C1C2Es0对式（2）C1,C2,C3rArB-n=rAB,0P2BQ2,一A0、/A0、根据命题 6.3 有 rA0=rA0,因此式（1）,式（2）右端方阵秩相等，故EB；0B；在消去 G,C2,C3 时也消

28、去了 C4,对式（2）0F2J其中1=,Er00P2JQB 八 0Q210P2B 八 0Q210P2BQ2于是上述消去 G 的行变换相当于C0C，-C10VEr0十匕1分记为9C0C00A.00；0C4rC3C4/消去其余 C2,C3,C4 有类似的结果，这样初等变换就相当于存在矩阵 S,T,使SF1+F2T+C=0,即 SPAQ1+BBQzT+PQ1=0,进行变形整理，从而有(ksA+(T)=E.令 X=P2SP,Y=-Q2TQ，便得到 XA+BY=En,命题得证.6.4 A,A2,，Ap n 阶矩阵，A1A2Ap=0p个矩阵秩之和不大于(p-1.p个矩阵秩之和不大于(P-1)n.证明：由命

29、题 6.2 的 Sylverster(薛尔佛斯特)公式可得0=rA1A2Ap_rArA2Ap-n-rA1rA2rA3Ap-2n_-_rArArAp-p-1n,移项即得rAIrA2 广一 rApEp-1n.例 6.4 设 A,B,C 依次为 sn,nm,m：t 的矩阵，证明rABC_rABrBC-rB.证明：设 r(B 产 r,那么存在n 阶可逆矩阵 P,m 阶可逆矩阵Q,使得Er0把P,Q 适当分块P=(MN ,其中M为nr矩阵，N为r父m矩阵. 由式有B=MS=MN.1000Jr(ABC r(AMNC)6.2 Sylverster(薛尔佛斯特)公式可得rABC=rAMNC-rAMrNC-r-

30、rAMNrMNC-rB=rABrBC-rB,从而 r(ABC 户 r(AB)+r(BC)-r(B),命题得证.这个公式也称为 Frobenius(佛罗扁尼斯)公式.6.5 BrMs 矩阵，Ar mr 的列满秩矩阵(mAr),C s 的st 的行满秩矩阵(ss 矩阵，证明rAB-CDrA-CrB-D.证明：根据分块矩阵的乘法可知EmCyA-C0，名 BfA-CAB-CDr(AB-CD),0B-DJ从而得到 r(AB-CD)r(A-C)+r(B-D),命题得证.6.8 A,Bnxn AB=0,r(A)+r(B)4n.，BE、证明：构造分块矩阵 BE,对其做初等变换0A)BE；rBE/BE0E、色EE、BE、可推出r_rArB),所以r(A)+r(B)n.0A000A,、0AJ1AB0厂、00J100Amn 矩阵，Bnxp AB=0,则r(A)+r(B)Wn,已经在命题5.3 中用线性方程组的解空间的维数与系数矩阵的秩的关系方法证明了.本命题只是