数列典型例题

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业2.3 等差数列的前n项和测试题一、选择题1.(2008陕西卷)已知是等差数列，则该数列前10项和等于( )A.64 B.100 C.110 D.120考查目的：考查等差数列的通项公式与前项和公式及其基本运算.答案：B解析：设的公差为. ，两式相减，得，.，.2.(2011全国大纲理)设为等差数列的前项和，若，公差，则( )A.8 B.7 C.6 D.5考查目的：考查等差数列通项公式的应用、前项和的概念.答案：D解析：由得，即，将，代入，解得. 3.(2012浙江理)设

2、是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是( )A.若，则数列有最大项 B.若数列有最大项，则C.若数列是递增数列，则对任意，均有D.若对任意，均有，则数列是递增数列考查目的：考查等差数列的前项和公式及其性质.答案：C解析：根据等差数列的前项和公式，可得，因为，所以其图像表示的一群孤立的点分布在一条抛物线上. 当时，该抛物线开口向下，所以这群孤立的点中一定有最高点，即数列有最大项；反之也成立，故选项A、B的两个命题是正确的. 选项C的命题是错误的，举出反例：等差数列1，1，3，5，7，满足数列是递增数列，但对于选项D的命题，由，得，因为此式对任意都成立，当时，有；若，则，与矛盾，所以一

3、定有，这就证明了选项D的命题为真.二、填空题 4.(2011湖南理)设是等差数列的前项和，且，则 . 考查目的：考查等差数列的性质及基本运算答案：81.解析：设的公差为. 由，得，. ，故.5.(2008湖北理)已知函数，等差数列的公差为. 若，则 .考查目的：考查等差数列的通项公式、前项和公式以及对数的运算性质，考查运算求解能力.答案：.解析：是公差为的等差数列， .6.(2011广东理)等差数列前9项的和等于前4项的和. 若，则_考查目的：考查等差数列的性质及基本运算.答案：10.解析：设等差数列前项和为. ，；，. ，故.三、解答题7.设等差数列的前项和为，且，求：的通项公式 及前项和；

4、考查目的：考查等差数列通项公式、前项和的基本应用，考查分析问题解决问题的能力.答案：； .解析：设等差数列的公差为，依题意，得，解得.；由，得.当时，当时，8.(2010山东理)已知等差数列满足：，的前项和为求及；令，求数列的前项和.考查目的：考查等差数列的通项公式与前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法以及运算求解能力.答案：，；.解析：设等差数列的公差为，因为，所以有，解得，所以，.由知，所以，所以，即数列的前项和.一、选择题1.(2009广东文)已知等比数列的公比为正数，且，则( ).A. B. C. D.2 考查目的：考查等比数列通项公式的基本应用.答案：B 解析：设公比为，由已

5、知得，得，又因为等比数列的公比为正数，所以，故.2.(2007天津理)设等差数列的公差，若是与的等比中项，则().A.2 B.4 C.6 D.8考查目的：考查等差数列、等比数列的概念与通项公式、等比中项的概念等基础知识及基本运算能力.答案：B解析：，；又是与的等比中项，即；，解得，或(舍去).3.(2010江西理数)等比数列中，函数，则( )A. B. C. D.考查目的：多项式函数的导数公式、等比数列的性质等基础知识，考查学生的创新意识，综合与灵活地应用所学数学知识、思想和方法解决问题的能力.答案：C.解析：是多项式函数，的常数项的一次项系数， .二、填空题4.(2007重庆理)设为公比的等

6、比数列，若和是方程的两根，则_.考查目的：考查一元二次方程、等比数列的概念等基础知识，考查分析问题解决问题的能力答案：18.解析：根据题意，得，.5.(2009江苏卷)设是公比为的等比数列，令，若数列有连续四项在集合中，则 . 考查目的：考查等比数列的概念、等价转化思想和分析推理能力.答案：.解析：根据题意可知，有连续四项在集合中，因为是等比数列，且公比满足，所以这四项只能依次是，所以公比，.6.(2012辽宁理)已知等比数列为递增数列，且，则数列的通项公式_.考查目的：考查等比数列的通项公式及方程思想和逻辑推理能力.答案：.解析：，得，；又，解得或(舍去)，.三、解答题7.已知数列的首项，关

7、于的二次方程(，且)都有实数根，且满足. 求证：是等比数列；求的通项公式. 考查目的：考查等比数列的概念、通项公式、一元二次方程的根与系数的关系等基础知识，考查综合运用知识分析问题解决问题的能力.答案：略；解析：由题设可得，(，且)；又由，得. 所以，即()，化为(，且)，又，所以是首项为，公比为的等比数列. 由的结论，得，所以的通项公式为8.(2012广东文)设数列前项和为，数列的前项和为，满足，.求的值；求数列的通项公式.考查目的：考查等比数列的概念、递推公式的处理方法、化归思想，考查分析问题解决问题的能力.答案：；.解析：当时，. 因为，所以，求得.当时， ，. 得 ，所以. ，易求得，

8、. 所以是以3为首项，2为公比的等比数列，故所以，.置：2.5 等比数列的前n项和测试题一、选择题1.(2007陕西理)各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则( )A.16 B.25 C.30 D.80考查目的：考查等比数列的前项和公式及运算求解能力.答案：C.解析：由，可知，的公比，式除以式，得，解得(舍去)，代入，得. .2.(2010天津理)已知是首项为的等比数列，是的前项和，且，则数列的前项和为( )A.或 B.或 C. D. 考查目的：考查等比数列前项和公式的应用及等比数列的性质.答案：C解析：设的公比为，若，则，不合题意，所以. 由，得，得，所以，因此是首项为1，公比为的等比数列

9、， 故前5项和为.3.设等比数列的前项和为，若，则等于( )A. B. C. D.考查目的：考查等比数列前项和公式及性质等基础知识，考查运算求解能力.答案：A.解析：解法1：若公比，则，. 由，得，.解法2：由可知，公比(否则有).设，则，根据，也成等比数列，及，得，故.二、填空题4.在等比数列中，已知，则公比 .考查目的：考查等比数列的前项和公式及其中包含的分类讨论思想答案：1或.解析：由已知条件，可得，当时，符合题意；当时，由，消去，得，解得或(舍去). 综上可得，公比或.5.(2009浙江理)设等比数列的公比，前项和为，则 考查目的：考查等比数列通项公式与前项和公式的基本应用.答案：15

10、.解析：，.6.已知等比数列的首项为，是其前项和，某同学经计算得，后来该同学发现其中一个数算错了，则算错的那个数是 ，该数列的公比是 .考查目的：考查等比数列的概念、前项和概念及公式等基础知识，考查分析问题解决问题的能力.答案：，.解析：假设正确，则由，得，所以公比，可计算得，但该同学算只算错了一个数，所以不正确，正确，可得，所以公比.三、解答题7.(2010重庆文)已知是首项为，公差为的等差数列，为的前项和.求通项及；设是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.考查目的：考查等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式的基本应用以及运算求解能力.答案：，；，.解析：因为是首项为，公

11、差为的等差数列，所以，.由题意，所以，.8.(2012陕西理)设是公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列.求数列的公比；证明：对任意，成等差数列.考查目的：考查等比数列的通项公式、前项和公式、等差数列的概念等基础知识，考查推理论证能力.答案：； 略.解析：设数列的公比为(). 由成等差数列，得，即. 由，得，解得(舍去)，所以数列的公比为.证法一：对任意， ，所以对任意，成等差数列.证法二：对任意， ，因此，对任意，成等差数列.第二章数列测试题（一） 一、选择题1.(2012安徽理)公比为等比数列的各项都是正数，且，则( ).A.4 B.5 C.6 D.7考查目的：考查等比数列的通项公

12、式与性质、对数的概念与运算等基础知识.答案：B.解析：，的各项都是正数，.2.(2011江西理)已知数列的前项和满足：，且，那么( ).A.1 B.9 C.10 D.55考查目的：考查数列的递推公式、等差数列的概念及通项公式、与的关系.答案：A解析：令，得，是首项为，公差为的等差数列，因此，.3.(2011天津理)已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，则的值为( ).A.-110 B.-90 C.90 D.110考查目的：考查等比中项的概念以及等差数列通项公式、前项和公式的基本应用.答案：D解析：设等差数列的公差为，根据题意得，即，将代入，并解得，所以.4.(2012湖北理)

13、定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列， 仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：；.则其中是“保等比数列函数”的的序号为( ).A. B. C. D. 考查目的：本题考察等比数列的性质及函数计算.答案：C.解析：对于，所以是“保等比数列函数”； 对于，所以不是“保等比数列函数”；对于，所以是“保等比数列函数”；对于，所以不是“保等比数列函数”.5.已知数列满足，当时，则( ).A.1 B.2 C.-1 D.-2考查目的：考查数列递推公式的运用、周期数列的概念与判断，考查分析判断能力.答案：A.解析：由条件可得该数列为：，所以是周期为的周期数列，所以.6.(201

14、2上海理)设，在中，正数的个数是( ).A.25 B.50 C.75 D.100考查目的：数列前项和的概念、三角函数的周期性，考查综合运用知识分析问题解决问题的能力.答案：D.解析：当时，；当时，但其绝对值要小于时相应的值；当时，；当时，但其绝对值要小于时相应的值；当时，. 当时，均有.二、填空题7.(2009北京理)已知数列满足：，则_；_.考查目的：考查数列的概念、周期数列等基础知识.答案：1，0.解析：依题意，得，.8.(2011湖北理)九章算术“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升.考查目的：

15、考查等差数列的概念、基本运算以及运算能力.答案：.解析：记题中的等差数列为，公差为，前项和为. 根据题意知，两式联立解得，.9.(2010天津文)设是等比数列，公比，为的前项和.记，设为数列的最大项，则 .考查目的：考查等比数列的前项和公式及平均值不等式等基础知识，考查运算能力.答案：4.解析：根据等比数列前项和公式，得 .，当且仅当，即时取等号，而，当时，取最大值，即数列的最大项为，所以.10.(2011江苏卷)设，其中成公比为的等比数列，成公差为1的等差数列，则的最小值是_.考查目的：考查等差数列、等比数列的概念和通项公式，考查不等式的有关知识及推理判断能力.答案：.解析：由题意可得，.

16、，当取最小值时，即的最小值是.11.(2012四川理)记为不超过实数的最大整数，例如，.设为正整数，数列满足，现有下列命题：当时，数列的前3项依次为5，3，2；对数列都存在正整数，当时总有；当时，；对某个正整数，若，则. 其中的真命题有_.(写出所有真命题的编号)考查目的：本题属于新概念问题，主要考查对新概念的理解、不等式的性质，以及数列知识的灵活运用和推理论证能力.答案：解析：易证，对于取整函数有下列性质：性质1：当时，；性质2：对，有；性质3：若，则. 当时， ，故为真；当时，易知该数列为：(1与2交替出现)，所以为假； ，；由题易知，对一切，均为正整数，所以无论是奇数还是偶数，均有 ，故

17、为真；若对某个正整数，则由 ，得，是正整数，.又，(或由为真，及，直接可得)，故，因此为真.第二章数列测试题（二） 三、解答题12.(2009浙江文)设为数列的前项和，其中是常数求及；若对于任意的，成等比数列，求的值考查目的：考查数列的通项与前项和以及它们之间的关系，考查等比数列的概念以及运算求解能力.答案：，；或.解析：当时，；当时，.而也适合上式，所以.，成等比数列，即，化简并整理得. 此式对成立，或.13.(2010全国卷文)已知是各项均为正数的等比数列，且，.求的通项公式；设，求数列的前项和.考查目的：考查等比数列的通项公式与前项和公式、方程与方程组等基础知识，考查运算求解能力.答案：.解析：设的公比为，则.由已知，有 ，化简得，解得，(舍去)，所以.由知，所以 .14.(2008湖南理)数列满足求，并求数列的通项公式；设，证明：当时，.考查目的：考查数列递推公式的运用、等差数列、等比数列的概念和通项公式、三角函数等基础知识，考查数列求和、不等式证明的基本方法，以及分析问题解决问题的能力.答案：，；略.解析：，.一般地，当时，即，所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此.当时，所以数列是首项为2、公