2023届广西高三上学期西部联考数学（文）试题 （解析版）

1、PAGE 第5页2023届高三年级西部联考卷文科数学注意事项:1.本试卷满分150分,考试时间120分钟。2.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。3.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.回答选考题时,考生须按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。5.考试结束后,将本试卷和答题卡一并收回。一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

2、要求的.1. 已知集合, 则A. B. C. D. 2. 已知复数, 则A. 2B. C. D. 3. 已知数列满足, 其中, 则A. 1B. C. 2D. 4. 已知, 则的大小关系为A. B. C. D. 5. 已知函数, 则A. -9B. -8C. 8D. 96. 已知锐角满足, 则A. B. C. 2D. 37. 右图是战国时期的一个铜镞,其由两部分组成,前段是高为、底面边长为1cm的正三棱锥, 后段是高为0.6cm的圆柱, 圆柱底面圆周与正三棱锥底面的正三角形内切, 则此铜镞的体积约为A. B. C. D. 8. 2022年6月6日是第27个“全国爱眼日”,为普及科学用眼知识，提高群

3、众健康水平,预防眼疾,某区残联在残疾人综合服务中心开展“全国爱眼日”有奖答题竞赛活动.已知5位评委老师按百分制(只打整数分)分别给出某参赛小队评分,可以判断出一定有评委打满分的是A.平均数为98,中位数为98 B.中位数为96,众数为99C.中位数为97,极差为9D.平均数为98,极差为69. 执行如图所示的程序框图, 则输出的值为A. 11B. 12C. 13D. 1410.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为A. B. C. D. 11. 如图, 在平面四边形中, , 现将沿折起, 并连接, 使得平面平面, 若所得三棱锥的外接球的表面积为, 则三棱锥的体积为A. B. C. D.

4、12. 如图 1 所示, 双曲线具有光学性质: 从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射, 其反 射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点. 若双曲线的左、右焦点分别为 , 从发出的光线经过图 2 中的两点反射后, 分别经过点和, 且, 则双曲线的离心率为A. B. C. D. 二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13. 已知非零向量满足,且,则与的夹角为_.14. 已知等比数列满足, 则_.15. 已知满足约束条件则的取值范围为_.16. 已知椭圆的左、右焦点分别为, 点为椭圆的上顶点, 直线与椭圆的另一个交点为, 若, 则_.三、解答题: 共 70 分,解答应写出

5、文字说明、证明过程或演算步骤. 第 题为必考题, 每个 试题考生都必须作答. 第 22、23题为选考题, 考生根据要求作答.(一) 必考题:共 60 分.17. (本小题满分 12 分)在中, 内角所对的边分别为, 且.(1) 若, 求;(2) 若为边上一点, 且, 求的面积.18. (本小题满分 12 分)某收费APP(手机应用程序)自上架以来,凭借简洁的界面设计、方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用(单位:元)及该月对应的用户数量(单位:万人) ,得到如下数据表格:用户一个月月租减免的费用(元)34567用户数量(万人)11.11.

6、51.92.2已知与线性相关.(1) 求关于的线性回归方程 ;(2)据此预测, 当月租减免费用为 10 元时, 该月用户数量为多少?参考公式: 对于一组具有线性相关关系的数据 ,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,19. (本小题满分 12 分)如图, 在三棱柱中, 平面平面, 四边形是菱形, 是的中点.(1) 证明: 平面;(2)若点到平面的距离为，求.20. (本小题满分 12 分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若函数有且仅有两个零点，求实数的取值范围.21. (本小题满分 12 分)已知抛物线(为正常数) 的焦点为是抛物线上任意一点, 圆的方程为 的最小值为 4 .(1

7、) 求的值;(2) 过点作圆的两条切线分别与抛物线相交于点 (异于点), 证明: 直线也始终与圆相切.(二)选考题: 共10分.请考生在第 22 、23题中任选一题作答. 如果多做,则按所做的第一题计分.22. (本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中, 曲线的参数方程为 ( 为参数). 以坐标原为极点, 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系, 则曲线的极坐标方程为.(1) 分别求曲线和曲线在平面直角坐标系中的标准方程;(2) 若曲线和曲线相交于两点, 求.23. (本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲已知均为正数, 且满足. 证明:(1) ;(2)

8、PAGE 13答案第 = !异常的公式结尾页，共 = sectionpages 13 13页PAGE 13页参考答案：1D【分析】根据集合中元素的条件，寻找集合中的奇数，即为交集中的元素，由此得到答案.【详解】为奇数，当且仅当为奇数，集合，满足的奇数为-1、1、3，所以.故选：D.2B【分析】根据共轭复数的概念与模长的运算求解即可.【详解】.故选：B3C【分析】根据已知递推关系，可以得到，数列为等差数列，然后利用等差数列的性质求得的值.【详解】由，得是等差数列，.故选：C4C【分析】利用指对数运算及函数性质、三角函数单调性判断大小关系.【详解】，.故选：C5C【分析】利用诱导公式化简函数的表达

9、式，利用三角函数和特殊幂函数的奇偶性进行分析，可得到，进而计算得到答案.【详解】由，有，可得.故选：C6A【分析】根据已知条件，利用二倍角公式转化为关于的三角函数的方程，化简，然后利用同角三角函数关系求得的值.【详解】，即，又为锐角，即，.故选：A7D【分析】先求出内切圆半径为r，再分别利用三棱锥体积与圆柱体积公式即可求出总体积.【详解】因为正三棱锥的底面边长为1，设其内切圆半径为r，由等面积法，可得：，解得：，所以其内切圆半径为.由三棱锥体积与圆柱体积公式可得：.故选：D.8D【分析】根据平均数、中位数、众数、极差的计算公式分析选项或举出反例即可【详解】解：选项A：当打分结果为时，满足平均数

10、为98，中位数为98，所以A错误；选项B：当打分结果为时，满足中位数为96，众数为99，所以B错误；选项C：当打分结果为时，满足中位数为97，极差为9，所以C错误；选项D：假设没有评委打满分，结合极差为6可得总成绩，则平均数，与选项不符，故假设不成立，所以平均数为98，极差为6时，一定有评委打满分，故选：D.9C【分析】根据程序框图的意义，结合指数对数的关系，求得答案.【详解】由，得到，当从1一直取到最后一个小于等于4100的数，且实数为整数的值时，计数这样的情况的次数，即为最后输出的的值.由，可得输出的值为13.故选：C10A【分析】先由周期大于等于单调区间的长度的2倍，求得的初步范围，然后

11、结合余弦函数的单调性进一步确定的范围，得到答案.【详解】由题意有，可得，又由，必有，可得.故选：A11C【分析】利用面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理可以证得为直角，又为直角，进而利用直角三角形的性质得到外接球的球心为斜边AB的中点，然后根据球的面积公式求得球的半径，进而计算求得三棱锥的体积.【详解】平面ACD平面ABC，平面ABC平面BCD=AC，ACBC，BC平面ABC，BC平面ACD，又AD平面ACD，ADBC，又ADDC，BCDC=C，BC平面BCD，DC平面BCD，AD平面BCD，又BD平面BCD，ADBD，即为直角，又为直角，取的中点，连接OC，OD，由直角三角形的斜边上的中线

12、性质OA=OB=OC=OD，可得为三棱锥外接球的球心，由三棱锥外接球的表面积为，可得外接球的半径，BC平面ACD，为直角，三棱锥的体积为故选：C12B【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算和向量数量积为0的条件，判定，结合已知条件得到，设出，表示出直角三角形的其余边，结合双曲线的定义表示出，利用建立方程求得，进而求得，然后利用勾股定理求得，从而得到，从而得到离心率的值.【详解】如图，由，有，可得，可得，有.在Rt中，由，不妨设，则，由勾股定理得，又由双曲线的定义可得，根据可得，解得，所以，在Rt中，可得，故双曲线的离心率为.故选：B.13【分析】根据垂直向量数量积为0，结合数量积的公式求解即

13、可.【详解】设与的夹角为，又，故故答案为：1416【分析】根据等比数列下标差的性质求解即可.【详解】.故答案为：1615【分析】作出可行域如图所示，表示斜率为的平行直线，平移可得过点时，取最小值，过点时，取最大值，计算点的坐标代入计算即可【详解】解：作出可行域如图中阴影部分所示，可化简为，即斜率为的平行直线，结合图形可知，当直线过点时，取最小值，当直线过点时，取最大值，由，解得，所以，则,由，解得，所以，则，所以可求得的取值范围为，故答案为：16【分析】由椭圆的定义得，再由得到点坐标，代入椭圆方程即可求出的值.【详解】由，可得，如图过点作轴的垂线，垂足为，所以，因为，所以，所以，可得点的坐标为

14、，代入椭圆方程可得，有，解得.故答案为： 17(1)(2)【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和的正弦公式可得，即得A，从而求得答案;（2）由余弦定理结合可推得，利用向量表示出，结合可求得，利用三角形面积公式即可求得答案.（1）由根据正弦定理得：，即，故，因为，所以，所以，且，所以，故若，则；（2）在中，因为，所以，由余弦定理得，即，解得（舍去）.因为，所以，即，因为，所以，解得，所以的面积.18(1)(2)万人【分析】（1）根据已知数据，先求得，然后利用公式计算回归方程中的系数，得到回归方程；（2）利用回归方程估计.（1）解：由有，故关于的线性回归方程为；（2）解：由（1）知回归方程为，当

15、时，所以预测该月的用户数量为万人.19(1)证明见解析(2)2【分析】（1）连接，先根据面面垂直的性质可得平面，再根据线面垂直的性质与判定证明即可；（2）设，根据等体积法求解即可.（1）证明：连接，因为四边形是菱形，所以，因为，所以为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面平面，所以平面，平面，所以，因为，即，所以，又，平面，所以平面；（2）设，可得，由为正三角形，可得，在中，在Rt中，可得Rt的面积为，又由，有，解得，故.20(1)答案见解析(2)【分析】（1）求导，分解因式，提取公因式，分类讨论，可得函数的单调性；（2）根据（1）结论，结合零点存在定理得到函数有且仅有两个零点，必须且，得

16、到，构造函数，注意到特殊值，并结合的单调性，求得,然后只需证明当足够小和足够大时即可证得函数有两个不同零点，从而得到实数的取值范围.（1）解：，由函数的定义域为，有，当时，此时函数单调递增；当时，令可得，可得函数的增区间为，减区间为；（2）由（1）知，若函数有且仅有两个零点，必须且，有，可得，由函数单调递增，且有，可得.下面证明当时函数有两个不同零点，由于再结合及函数的单调性，利用零点存在定理验证时函数有两个零点，只需证明当足够小和足够大时即可.先说明当足够小时：设，有，由一元三次函数的图象和性质，当时，存在正实数，使得，可得.当时，当时，,当时，成立；再说明当足够大时：设，由三次函数的图象和

17、性质可知，当时，当且时，利用不等式（设，,，当时，在4,+)上单调递增，当时恒成立，即成立），有，当时，故只要时，成立，故若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为.【点睛】本题难点在于第二问中的利用不等式放缩，得到当时，成立；只要时，成立，再结合及函数的单调性，利用零点存在定理验证时函数有两个零点，要注意学习和掌握.21(1)2；(2)证明见解析.【分析】（1）根据的几何意义，结合抛物线性质有，即可得答案；（2）设，根据已知得是关于的方程的两个根，且为，由直线与圆的相切关系及分析法判断是否恒成立即可.（1）表示到圆心与焦点距离和，即到圆心与抛物线准线距离和，所以最小为到抛物线准线距离，则，可得.（2）由（1）知：抛物线的标准方程为，设，则的斜率为，直线为，整理为，得，由直线与圆相切有，整理为，同理，所以是关于的方程的两个根，故.直线为，若直线也始终与圆相切，则，故直线也始终与圆相切.22(1)曲线；曲线(2)【分析】（1）将曲线的参数方程消去参数，可得曲线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式