微积分课件：第02讲 映射与函数

1、24 九月 20221第二讲 内容第一节、映射与函数24 九月 20222第一节、映射与函数24 九月 20223一、集合1.集合概念:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.这里：A是有限集，属于：描述集合有列举M是无限集，和描述二种方法24 九月 20224N-自然数集 Z-整数集 Q-有理数集 R-实数集数集间的关系:不含任何元素的集合称为空集.例如,规定：空集为任何集合的子集.相等：读作A包含于B包含：下面是几个常用的数集：24 九月 20225集合A与B的并集：AB= x|xA 或 xB 集合A与B的交集：AB= x|xA 且 xB 集合A与B的差集：AB=

2、 x|xA 且 x B 全集：所有可能的元素全体记为：I任一集合A都是全集的子集集合A的补集： Ac=x A 2.集合的运算笛卡尔积：A B=(x,y)|xA, yB24 九月 20226结合律：(AB) C=A(B C) (A B) C=A (B C) 分配律：(A B) C=(A C)(B C) (A B) C=(A C)(B C) 对偶律：(A B)c=AcBc； (A B)c=Ac Bc交换律：AB=BA； AB=B A运算法则：24 九月 202273.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,24 九月 20228都称为半开区间,以上

3、为有限区间这些是无限区间有限区间的长度:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.24 九月 202294.邻域:邻域中心半径记为：24 九月 2022105.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母头部 a, b, c 等表示常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母尾部 x, y, t 等表示变量.24 九月 202211 设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则 f, 使得对X中每个元素x, 按法则 f, 在Y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f 为从X 到Y 的映射, 记作 f : XY. 定义：称y为x (

4、在映射f 下)的像, 称x为y的原像. X称为映射f 的定义域, 记作Df. X中所有元素的像全体称为映射f 的值域(不是Y),记为 Rf , 或f (X), 即: Rf f (X)f (x)|xX. 二、映射1、映射的概念24 九月 202212 (1) 映射必备的三要素:1、定义域X, 即Df ; 2、值域的范围Y(注意: Rf Y, 可以确保像的唯一性); 3、对应法则f, 使对每个xX, 有Y中唯一确定的yf (x)与之对应. 二点注意 (2)对每个xX, 像y是唯一的. 而对yRf , 原像未必是唯一的. 映射f 的值域Rf Y, 但未必RfY.例1 设 f : RY=yy0,对每个

5、xR,y=f (x)是y2x的根. 例2 设 f : RR, 对每个xR, y=f (x) x2. 解: f 是一个映射, f 的定义域Df R, 值域Rf Y. 解:f 是一个映射, f 的定义域Df R, 值域Rf y|y0 R.原像不必唯一24 九月 202213 在几何上, 这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到 x 轴的区间1, 1上. 解：f 是一个映射, f 的定义域DfX, 值域Rf Y.例3 设X(x, y)|x2y21, Y(x, 0)|x|1, f : XY, 对每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应. 这里：Rf 是R的一个真子集.

6、解：例4 24 九月 202214一一对应:若映射f 既是单射, 又是满射, 则称f 为一一对应映射或双射. (一对一映上的映射) (1) f : RR, 对每个xR, f (x)x2. (2)设X(x, y)|x2y21, Y(x, 0)|x|1, f : XY, 对每个(x, y)X, 像(x, 0)Y. 讨论:下述二个映射各是什么映射？满射:若Rf Y, 即Y中任一元素y都是X中某元素的像, 则称f 为X到Y上的映射或满射.单射:若对X中任两个元素x1x2, 它们的像 f (x1)f (x2), 则称f 为X到Y的一对一映射或单射.一般映射且是满射是一个映射24 九月 202215 由于

7、f 是单射,所以对每个yRf 在X 中像唯一，它是映射, 称g为f 的逆映射, 记作f 1, 其定义域为Rf , 值域为X . 2、逆映射:设f : XY是单射, 则定义：g : R f X对每个yRf , 其像x=g(y) 满足f (x)y.讨论:下述二个映射是否存在逆映射？(1) f : RR, 对每个xR, f (x)x3. (2)设X(x, y)|x2y21, Y(x, 0)|x|1, f : XY, 对每个(x, y)X, 有唯一确定的(x, 0)Y与之对应. 是单射, 存在不存在24 九月 202216注2：映射的复合是有顺序的, fog有意义并不表示gof 也有意义.即使它们都有

8、意义, fog与gof也未必相同. 注1：映射g和f构成复合映射的条件是:g的值域Rg必须包含在f的定义域内,RgDf .否则,不能构成复合映射. 复合映射 设有映射g:XY1, f :Y2Z, 其中Y1Y2. 则可定义一个从X到Z的映射: 对每个xX, 像: y=g(x)Y1Y2, z=f(y) Z;显然这确定了一个从XZ的映射, 称为复合映射, 记为： fog: XZ, (fog)(x)f g(x), xX . 24 九月 202217数集D叫做这个函数的定义域因变量自变量三、函数1、函数概念24 九月 202218自变量因变量对应法则f不同于映射，函数两要素:定义域与对应法则.约定: 定

9、义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.24 九月 202219定义:根据映射性质定义域内任一x对应的函数值y是唯一的称为单值函数数学中也有多值函数概念，但我们课程中不涉及像这样，由一个方程确定的函数关系称为隐函数24 九月 202220 (1) 符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo24 九月 202221(2) 取整函数 y=xx表示不超过 的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线24 九月 202222有理数点无理数点1xyo(3) 狄利克雷函数24 九月 202223(4) 取最值函数yxoyxo24 九月 20222

10、4在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.24 九月 202225(5) 绝对值函数xyo关于绝对值的不等式：24 九月 202226例1解故24 九月 202227M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX函数的有界性:2、函数的特性24 九月 202228函数的单调性:xyo24 九月 202229xyo24 九月 202230函数的奇偶性:偶函数yxox-x24 九月 202231奇函数yxox-x24 九月 202232函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.24 九月 202233DWDWWD3、反函数24 九月 202234

11、 直接函数与反函数的图形关于直线 对称.24 九月 202235复合函数定义:24 九月 202236注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.24 九月 202237例2解单值函数,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期)不是单调函数,24 九月 2022384.函数的运算 设函数f(x), g(x)的定义域依次为D1, D2, DD1D2, 则可以定义这两个函数的下列运算: 和(差) f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD; 积 f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD;24 九月 202239映射与函数

12、小结基本概念集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值.函数的概念函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.反函数、复合函数24 九月 2022401.幂函数5、初等函数基本初等函数24 九月 2022412.指数函数24 九月 2022423.对数函数24 九月 2022434.三角函数正弦函数24 九月 202244余弦函数24 九月 202245正切函数24 九月 202246余切函数24 九月 202247正割函数24 九月 202248余割函数24 九月 2022495.反三角函数24 九月 20225024 九月 20225124 九月 202252 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.24 九月 202253初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.24 九月 202254例1解24 九月 202255解24 九月 202256综上所述24 九月 2