大学物理课件：10-1 简谐振动

1、1 振动和波动狭义上 具有时间周期性的运动振动广义上 任何复杂的非周期性运动可以分解为一系列不同频率简谐振动的叠加可以分解为频率连续分布的无限多简谐振动的叠加振动的类型机械振动，电磁震荡，分子振动，原子振动等波动振动在空间的传播波动的类型声波水波 地震波 等光波 无线电波微波等机械波电磁波物质波等电子波等光波一定波段的电磁波（横波），具有干涉衍射和偏振等波动特有性质，在现代科技和生活中具有广泛应用。任何一个物理量在某个定值附近的反复变化.2第十章 机械振动和电磁振荡机械振动 物体在一定位置附近所作的来回往复运动. 如弹簧振子钟摆秋千发声体等的运动.电磁振荡 电路中电压和电流在某个定值附近的反复

2、变化, 具有振动的共性. KCLII 我们把振动分为周期性准周期性和非周期性运动,本章主要讨论周期性准周期性振动.31. 什么是简谐振动？2. 谐振动体系的受力情况、运动微分方程、运 动表达式有何特点？3. 如何判断运动体系所作的运动为简谐振动？4. 如何确定振动频率及周期？5. 如何确定运动表达式中的振幅和初相位？6. 同相及反相的定义7. 孤立谐振动系统的能量有何特点？10-1 简谐振动周期性准周期性和非周期性振动可以分解为一系列不同频率或无限多连续分布频率的简谐振动的叠加.4以光滑台面上弹簧振子的振动为例弹簧振子体系：轻质弹簧+物体物体在平衡位置的两侧，在弹性恢复力及惯性两个因素互相制约

3、下，不断做周期性往复运动。平衡位置：振动物体所受合外力为零的位置.1.简谐振动的特征及其表达式简谐振动(谐振动) ： 物体运动时，离开平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)规律随时间变化。振动的条件:（1）存在弹性恢复力；（2）物体具有惯性5xFvvF -AAx=0F=0弹簧振子的振动6oxkxF由牛顿定律：弹簧振子的角(圆)频率km= 小幅振动（弹性限度内）时弹性力满足胡克定律（物体所受的弹性力F与弹簧的伸长即物体相对平衡位置的位移x成正比而方向相反）：令7简谐振动的运动方程简谐振动的运动学特征式其通解为： 可见，弹簧振子运动时，物体相对平衡位置的位移按余弦或正弦函数关系随时间变化，因此

4、其运动为简谐振动。 推论：如果物体受到始终指向平衡位置的线性回复力（大小与物体对其平衡位置的位移成正比而方向相反）的作用，则该物体做简谐振动。简谐振动的动力学特征式简谐振动的表达式8其中称为速度幅值和加速度幅值。A简谐振动的速度、加速度to2T速度vT速度和加速度也是简谐振动, v比x领先/2,a与x反相加速度atoT2TTA9振幅A和初相 0决定于体系的初始条件：设t = 0时，物体的初位移为x0，初速度为v0，则有解得：在- 到 +之间， 0 通常存在两个值，需要结合x0 和v0 的正负来取舍。102.简谐振动的振幅、周期、频率和相位xtoA-AT (1) 振幅A简谐振动的物体离开平衡位置

5、的最大位移的绝对值.(2) 周期和频率周期T：完成一次完整振动所需的时间.11T （ ， ）只决定于振动系统本身的性质，因此称之为固有周期（角频率，频率）。对弹簧振子：频率 ( f ): 单位时间内物体所作的完整振动的次数.12(3) 相位 t + 0和初相 0(a)决定振动物体在任一时刻的运动状态；(b)反映振动周期性特点; 在一个周期0T时间内，相位从0-2变化，不同时 刻t的相位不同，运动状态也不同； 凡位置和速度相同的运动状态，其对应的相位差2n(c) 可以比较两个振动在步调上的差异. 相位是反映周期性特点，并用来描述运动状态（位置和速度)的重要物理量:13设两个同频率的简谐振动分别为

6、任意时刻它们的相位差为：两个振动步调相同, 同相.当= 2k, (k=0, 1, 2,)t位移x2x1xoT2T14当= (2k+1), (k =0, 1, 2,)，tx2x1位移xoT2TT当为任意值时，两个振动步调相反 , 称反相。位移xtoT2Tx2x1若若称x2落后x1 则 x2比x1较早达到正最大,称x2 超前x1 15vavaxxtoT加速度a 与x 位移反相,速度v超前位移x2 相位也可以用来比较不同物理量变化的步调，对于简谐振动的位移、速度和加速度，存在:16其端点M作匀速圆周运动, 在x轴上的投影点的位移x=Acos(t+0)，因此投影点作简谐振动 。如图为旋转矢量A作逆时针

7、匀速转动,其长度等于振幅.3.简谐振动的矢量图示法两种表示法的对照txoxAt+0A与x轴的夹角为t+0， 0为t=0时的夹角.AMtM0Ox174.简谐振动的指数图示法旋转矢量表示法直观形象, 是研究振动叠加的简便方法.旋转矢量A的长度即简谐振动的振幅,A的旋转角速度即谐振动的角频率,A与x轴的夹角即谐振动的相位,t=0时A与x轴的夹角即谐振动的初相位.AMtM0Ox简谐振动表式的复指数形式:实数部分即为简谐振动表式.谐振动表式指数形式的优点是运算方便(特别是乘除运算).18仍以弹簧振子为例振子的动能为振子的势能为5. 谐振动的能量谐振动的动能和势能是时间的周期性函数。可得体系机械能为：机械

8、能守恒，系统的总能量 ，这一结论对于任何简谐系统都成立。由：19简谐振动系统动能和势能的平均值都等于总能量的一半.故有：20从图可见，动能和势能的变化频率是位移变化频率的2倍。孤立谐振动系统体系总能量不随时间改变，机械能守恒。动能的最大点在平衡位置，最小点在峰值；势能的最大点在峰值位置，最小点在平衡位置。xtTEEpEk(1/2)kA20Et0(1/4)kA221作用力形式：线性回复力 F - kx 回复力矩 M - K判别简谐振动的依据:(3) 质点的振动表达式为:满足上述任一条件皆可判定为简谐振动(2) 运动方程为: 6. 简谐振动的动力学计算(准弹性力)22首先分析受力情况由牛顿第二定律

9、写出振动的运动方程，找出2由初始条件求振幅A和初相位0写出简谐振动表达式特别介绍两种最常见的简谐振动求解方法:求解步骤:(1) 单摆(2) 复摆23(1) 单摆 (小角度摆动)Ol mgT小幅摆动，一根不会伸缩细线(刚性轻杆), 上端固定(与无摩擦铰链连接), 下端悬挂一个很小重物, 在竖直平面内小角度来回摆动, 称为单摆.w2sin-mg22ddstq=24(2) 复摆Ol mgT振动表式为qm和f0由初始条件决定sin-mgq回复力只有在q角很小时与角位移q成正比，为准弹性力.当q不是很小时, 回复力与sinq成正比， 由于sinqq，故振动周期增大一个可绕固定轴O摆动的刚体称为复摆.如图

10、摆的重心C在O下方, OC = h.25复摆受到对于O轴的力矩为负号表示力矩的方向与q角相反.当摆角很小时则简谐振动的动力学特征设复摆转动惯量为J, 由转动定律得简谐振动的运动学特征T =长为l细杆, 一端为轴，26FGCCBBCBCBFG船舶在水中摇摆27分析：载流线圈在磁场中受磁力矩作用，线圈的法线方向（即磁矩方向）与磁场平行时磁力矩为零，线圈处于稳定平衡状态。例1 一边长为l 的正方形线圈载有电流I，处在均匀外磁场B 中，B 垂直图面向外，线圈可以绕通过中心的竖直轴OO转动，其转动惯量为J。求线圈在平衡位置附近作微小摆动的周期TBOOI解：设线圈偏离平衡位置时磁矩与外场的夹角为，因为磁力

11、矩总是使线圈转向减小的平衡位置，因此为恢复力矩，则：28当摆角很小时根据转动定律:可见微小摆动时，线圈在其平衡位置附近作简谐振动，振动的园频率和周期分别为：BOOI29解取平衡位置为坐标原点o平衡点 V为平衡时比重计的排水体积。当偏离平衡点发生位移x 时，合力总指向平衡位置，为回复力：例2 质量为 m 的比重计，放在密度为 的液体中。已知比重计圆管的直径为 d 。试证明在竖直方向的振动为简谐振动，并计算周期。mgFOx满足简谐振动的运动学特征30bx例3 一轻弹簧上端固定，下端悬挂一质量为m的物体。平衡时弹簧伸长一段距离l0。如果再用手拉物体，弹簧伸长b后无初速度地释放，试写出物体的运动表达式

12、。O解：当物体处于平衡时取平衡位置为坐标原点，建坐标系，则任意位置x时物体所受的合力F为：合力相当于一个弹性回复力，指向平衡位置O。l0o31初始时刻t=0时，可得：0=0或p, 再代入x0，可得A=b, 0=0则物体的运动方程为：32解：由图可以看出例4 已知简谐振动曲线如下,写出此振动的运动表达式当t = 0 时，ot (s)x (m) -0.050.1O33例5 两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点 1 在 x1 = 0 处，向 x 轴正方向运动时，另一个质点 2 在 x2 = A/2 处，向x 轴负方向运动。求这两质点振动的相位差。解：依题意，画出振幅矢量图质点 1 的振动落后质点 2 的振动 Ox34例 6 AB为一均质细杆，其长度为l ,质量为m,它可以绕A端的水平轴旋转，其B 端固定一劲度系数为k 的轻质弹簧，弹簧的另一端固定在天花板上， AB杆水平时，弹簧为原长，如图所示。在开始时，将B 端抬起至水平位置，然后从静止开始释放。求证B端作简谐振动，并求其振动周期及谐振动方程。lkmBA35+=20mglkblk(x+b)l2mgl2=Jtdqd2设平衡时，弹簧伸长为b：在任意位置时：x解：取坐标轴如图，原点在平衡位置2lkmg2lb=J13ml236=kxl13ml2l1t2dd2x=3mt2dd2xk+x0=jA=bcosx =b3mkt+3