大学物理课件：3-1~3刚体的转动

1、二、角动量守恒定律分量式：由角动量定理：当时，恒矢量研究对象：质点系一、质点的角动量和角动量定理：上节内容回顾在有心力场中，关于力心的角动量守恒。质点的一维或二维平动质点系或刚体的定轴转动第三章 刚体和流体的运动3-1 刚体模型及其运动3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律3-3 定轴转动中的功能关系3-4 定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律目的:掌握定轴转动定律理解力矩,转动惯量,角动量的概念及彼此的联系重点:定轴转动定律难点:定轴转动定律第3-1 刚体的模型及其运动一、刚体：既考虑物体的质量， 又考虑形状和大小，但忽略其形变的物体模型,物体的形状和大小不发生变化，即物体内任意两点之间的

2、距离都保持不变刚体(Rigid body )。说明1) 理想化的力学模型；2) 任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、 而各个质点间距离保持不变的质点系。二、 刚体的平动与转动一）、刚体运动1、平动当刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同时，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线时，刚体的运动叫作平动。2、转动刚体中所有的点都绕同一条直线作圆周运动，这种运动称为转动。这条直线叫作转轴。平动是刚体的一种基本运动形式，刚体做平动时，刚体上所有点运动都相同，可用其上任何一点的运动来代表整体的运动。转轴的类型：瞬时转轴：转轴随时间变化 一般转动

3、如：车轮的滚动。固定转轴：转轴不随时间变化 刚体定轴转动 如：门的转动。定轴转动的特点：1)、各质点都作圆周运动；2)、各质点圆周运动的平面垂直于轴线，圆心在轴线上；3)、各质点的矢径在相同的时间内转过的角度相同。 OvP,rr定轴刚体参考方向z3、刚体的一般运动一个汽车轮子在地上的滚动A、B、C、各点的运动都不相同绕过o 轴的转动oABCo o轮子的平动ABCoABCoABABCCo刚体的运动平动转动二）、刚体转动的角速度和角加速度角位置角速度角加速度pro转动平面三）、匀变速转动当刚体定轴转动时，如果在任意相等的时间间隔内，角速度的增量都是相等的，这种变速转动叫做匀变速转动。角加速度 角速

4、度 角位移 角位置 四)、角量与线量的关系速度切向加速度法向加速度oPvr路程和角位移做直线运动的质点：1个自由度做平面运动的质点：2个自由度做空间运动的质点：3个自由度质点：(x, y, z) i = 3 三、自由度 所谓自由度就是决定系统在空间的位置所需要的独立坐标的数目。C(x,y,z)物体有几个自由度，它的运动定律就归结为几个独立的方程。运动刚体：自由刚体有 6个自由度：随质心的平动 + 绕过质心轴的转动确定质心位置 3个平动自由度 (x, y, z)确定过质心轴位置 2个转动自由度 (， )确定定轴转动角位置 1个转动自由度 ( )3-2、 力矩 转动定律 转动惯量一）、力矩(Mom

5、ent of force)1、引入外力对刚体转动的影响，与力的大小、方向和作用点的位置有关。力通过转轴：转动状态不改变力离转轴远： 容易改变力离转轴近： 不易改变2、力对点的力矩rFOrFM3、力对转轴的力矩情况1：力与轴平行，则M=0力对O点的力矩在通过O点的轴上的投影称为力对转轴的力矩力臂：转轴和力的作用线之间的距离d称为力对转轴的力臂。力矩：力的大小与力臂的乘积，称为力F对转轴的力矩。rodF情况2：刚体所受的外力F在垂直于转轴的平面内4、合力矩结论：合力矩等于每个分力的力矩之和。单位Nm将力F分解为平行于轴的分力Fz和垂直于轴的分力F 。Fz不影响刚体的转动，只有F能使刚体绕OZ轴转动

6、， O情况3：若力F不在垂直于转轴的平面内（转动平面）5、关于刚体内各质点间的内力矩在刚体内取质点1和2，位置矢量分别为其内力大小相等，方向相反，在一条直线上且有这一对内力矩之和为刚体内质点间的作用力总是成对出现，并遵守牛顿第三运动定律，每一对内力矩之和为零，故总内力矩为二)、转动定律1、单个做变速率圆周运动质点的情况法向力 Fn=man，通过转轴，力矩为零切向力 Ft=mat=mr对转轴的力矩为 M= Ft r= mr2 = M/(mr2)质点的角加速度与质点所受的力矩成正比2、内力矩dff 两个内力的合力矩为零。推广：刚体的内力力矩之和为零。or3、刚体的情况把刚体看成是由许多质点所组成的

7、，对于质点i，假设它的质量为mi，所受的外力为Fi，内力为f i，(假设Fi, f i均在垂直于转轴的平面内）则定义转动惯量对mi 用牛顿第二定律：切向分量式为：外力矩内力矩对所有质点求和：zOrifiFimiii转动定律：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。刚体转动定律2. 力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。说明：1. M=J 与 F=ma 地位相当，m反映质点的平动惯性，J反映刚体的转动惯性, M=J是解决刚体定轴转动问题的基本方程。3.合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的；力矩是矢量，方向沿转轴，对定轴转动只有两个方向，

8、所 以用正、负号表示方向。三)、转动惯量1、定义 刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量与各质点到转轴距离平方的乘积之和。 y rix z yi xi mi 2.转动惯量的物理意义： 当以相同的力矩分别作用于两个绕定轴转动的不同刚体时，它们所获得的角加速度一般是不一样的，转动惯量大的刚体所获得的角加速度小，即角速度改变得慢，也就是保持原有转动状态的惯性大；反之，转动惯量小的刚体所获得的角加速度大，即角速度改变得快，也就是保持原有转动状态的惯性小。因此，转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。3.与转动惯量有关的因素：刚体的质量；转轴的位置；刚体的形状。实质与转动惯量有关的只有前两个因素。形

9、状即质量分布，与转轴的位置结合决定转轴到每个质元的矢径。转动惯量是标量；转动惯量有可加性； 单位：kgm2 4、转动惯量的计算1）、若质量离散分布若m1和m2在同一平面内，且到直线的距离分别为r1,r2,则m1和m2对z轴的转动惯量为2）、若质量连续分布质量为线分布质量为面分布质量为体分布线分布体分布面分布为质量的线密度为质量的体密度为质量的面密度注意 只有几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才用积分计算其转动惯量,一般刚体则用实验求其转动惯量。例1、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。ALXL/2L/2CX解：取如图坐标，dm=dxBL/2XO hdxA:C:B:O O

10、dxdxxxx讨论：1、三个刚体，质量相等，因转轴位置或质量分布不同，转动惯量不相等；2、对B：当h=L/2时,变成A；当h=0时，变成以O为转轴的情况C。3、平行轴定理：刚体对任一转轴的转动惯量J等于对通过质心的平行转轴的转动惯量Jc加上刚体质量m乘以两平行转轴间距离h的平方。ALXCL/2L/2OXBL/2XO h例2、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解：ROdmJ是可加的，所以若为薄圆筒(质量为m ，不计厚度）结果相同。例3、求质量为m、半径为R均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。mR解：取半径为r宽为dr厚度为l的薄圆环,可见，转动惯量与

11、l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2。lORrdr例3、内半径为R1 外半径为R2 质量为m 的匀质中空圆柱绕其对称轴的转动惯量rdr讨论：1、R102、R1R23、能否利用割补法计算Jl例4、质量为m 半径为R 的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯量在球面取一圆环带，半径r例5、质量为m 半径为R 的匀质球体绕过球心轴的转动惯量解：把球体看作无数个同心薄球壳的组合 对与球体相切的轴的转动惯量又为多少？Z Z四、平行轴定理 刚体对任一转轴的转动惯量J等于对通过质心的平行转轴的转动惯量Jc加上刚体质量m乘以两平行转轴间距离d的平方OOJcJdmriri过质心C 的轴与平面的交点为坐标原

12、点O。计算过O点轴的转动惯量*垂直轴定理(仅适用于薄平面情况) 对于薄板刚体，若建立坐标系Oxyz，其中z轴与薄板垂直，Oxy平面在薄板内，则薄板刚体对z 轴的转动惯量等于对x 轴的转动惯量和对y 轴的转动惯量之和 yx z 圆盘 R C mdm求质量为m、半径为r的均质薄圆盘对通过盘心并处于盘面内的以盘的直径为轴的转动惯量 *垂直轴定理(仅适用于薄平面情况) 对于薄板刚体，若建立坐标系Oxyz，其中z轴与薄板垂直，Oxy平面在薄板内，则薄板刚体对z 轴的转动惯量等于对x 轴的转动惯量和对y 轴的转动惯量之和 dmr(x,y,z)oxyzdm到z轴的距离为 到x轴的距离为 到y轴的距离为（2）

13、+（3）得刚体对三个 轴的转动惯量分别为当z足够小时（z=0） 转动惯量是刚体转动惯性的度量，其表达式为J=mir2i 如果刚体的质量是连续分布的，则上式可写为积分形式 在工程中，常将转动惯量表示为 式中 m为刚体的质量， rG称为回转半径，单位为m或cm。回转半径的物理意义为：若将物体的质量集中在以 rG为半径、Oz 为对称轴的细圆环上，则转动惯量不变。回转半径 五）、几种常见形状的刚体的转动惯量影响刚体转动惯量的因素 刚体的质量：同形状的刚体，越大，J就越大。 质量的分布：质量相同，dm分布在r越大的地方，则J 越大。 刚体的转轴位置：同一刚体依不同的转轴而有不同的 J.如何计算（4）的J

14、.六)、刚体定轴转动的转动定律的应用题目类型已知两个物理量，求另一个：1.已知J和M，求2.已知J和 ，求M3.已知M和，求J解题步骤1.确定研究对象；2.受力分析；3.选择参考系与坐标系；4.列运动方程；5.解方程；6.必要时进行讨论。注意以下几点：1.力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的；2.要选定转动的正方向，以便确定已知力矩或角加速度、角速度的正负；3. 系统中有转动和平动，转动物体转动定律平动物体牛顿定律例、一个质量为M、半径为R 的定滑轮上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m 的物体而下垂。细绳不打滑，忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度

15、。解：定轴ORthmv0=0绳M 例2:一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方程式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即从以上各式即可解得 当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0时，有 上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、 m2 、r和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a，再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1和m2相近，从而使它们的加速度a和速度v都较小，这样就能精确地测出a来。例3、一根长为l、质量为m 的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O 的力矩。 棒上取质元dm,当棒处在下摆角时，重力矩为：XOdmg dm=m/ldrx据质心定义rdr再求角速度XOdmgdmx例4匀质圆盘的质量为m，半径为R，在水平桌面上绕其中心旋转，如图所示。设圆盘与桌面之间的摩擦系数为，求圆盘从以角速度0旋转