数值分析简明教程课后习题答案

1、算法1、（，题1）用二分法求方程x3x10在1,2内的近似根，要求偏差不超出10-3.【解】由二分法的偏差预计式|x*xk|ba1103，获取3ln102k12k12k11000.两端取自然对数得k18.96，所以取k9，即最少需二分9次.求解过程见下表。ln2kakbkxkf(xk)符号012+123456789（，题2）证明方程f(x)ex10 x2在区间0,1内有独一个实根；使用二2、分法求这一实根，要求偏差不超出1102。ex2【解】因为f(x)10 x2，则f(x)在区间0,1上连续，且f(0)e0100210，f(1)e11012e80，即f(0)f(1)0，由连续函数的介值定理知

2、，f(x)在区间0,1上最少有一个零点.又f(x)ex100，即f(x)在区间0,1上是单调的，故f(x)在区间0,1内有独一实根.由二分法的偏差预计式*ba112k.|xxk|2k12k1210，获取21002ln10两端取自然对数得23.32196.6438，所以取k7，即最少需二分kln2次.求解过程见下表。kakbkxkf(xk)符号0011234567偏差1（，题8）已知e=，试问其近似值x12.7，x22.71，x2=，x32.718各有几位有效数字？并给出它们的相对偏差限。【解】有效数字：因为|ex1|0.018280.051101，所以x12.7有两位有效数字；2因为|ex2|

3、0.008280.051101，所以x22.71亦有两位有效数字；21因为|ex3|0.000280.0005103，所以x32.718有四位有效数字；2|ex1|0.05r1x11.85%；2.7|ex2|0.051.85%；r2x22.71|ex3|0.00050.0184%。r3x32.718评（1）经四舍五入获取的近似数，其全部数字均为有效数字；（2）近似数的全部数字并不是都是有效数字.2（，题9）设x12.72，x22.71828，x30.0718均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对偏差(限)与相对偏差(限)。【解】10.005，r110.0051.84103；x12.72

4、20.000005，r220.0000051.84106；x22.7182830.00005，r330.000056.96104；x30.0718评经四舍五入获取的近似数，其绝对偏差限为其末位数字所在位的半个单位.sinx；3（，题10）已知x11.42，x20.0184，x3184104的绝对偏差限均为0.5102，问它们各有几位有效数字？【解】由绝对偏差限均为0.5102知有效数字应从小数点后两位算起，故x11.42，有三位；x20.0184有一位；而x31841040.0184，也是有一位。泰勒插值和拉格朗日插值1、（，习题1）求作f(x)sinx在节点x00的5次泰勒插值多项式p5(x

5、)，并计算p5(0.3367)和预计插值偏差，最后将p5(0.5)有效数值与精确解进行比较。【解】由f(x)sinx，求得f(1)(x)cosx；f(2)(x)f(4)(x)sinx；f(5)(x)cosx；f(6)(x)sinx，所以p5(x)f(x0)f(1)(x0)(xx0)f(2)(x0)(xx02!f(0)f(1)(0)xf(2)(0)x2f(5)(0)2!5!f(3)(x)cosx；(5)2f(x0)(xx0)55!x5x1x31x53!5!插值偏差：R5(x)|f(6)()|(xx0)6|sin()|(xx0)61x6，若x0.5，则6!6!6!p5(0.3367)0.33670

6、.336730.336750.3303742887，而3!5!0.33676R5(0.3367)2.021060.5105，精度到小数点后5位，6!故取p5(0.3367)0.33037，与精确值f(0.3367)sin(0.3367)0.330374191对比较，在插值偏差的精度内完整切合！2、（，题12）给定节点x01,x11,x23,x34，试分别对以下函数导出拉格朗日余项：（1）f()4x33x2；x（2）f(x)x42x3【解】依题意，n3，拉格朗日余项公式为f(4)()3R3(x)(xxi)4!i0（1）f(4)(x)0R3(x)0；（2）因为f(4)(x)4!，所以R3(x)f(

7、4)()(x1)(x1)(x3)(x4)(x1)(x1)(x3)(x4)4!3、（，题13）依照以下数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算sin(0.3367)的近似值并预计偏差。i012xisin(xi)【解】依题意，n3R3f(4)()3xi)，拉格朗日余项公式为(x)4!(xi0（1）线性插值因为x0.3367在节点x0和x1之间，先预计偏差f()sin()x)max(xx0)(x1x)R1(x)(xx0)(xx1)(xx0)(x122!20.0121104；须储存到小数点后4为，计算过程剩余两位。22y(x1-x0)2/4y=(x-x0)(x-x1)0 x0 xx1P1(x)xx1s

8、in(x0)x0 x1P1(x)1(0.33670.0210.01670.02xx0sin(x1)1(xx0)sin(x1)(x1x)sin(x0)x1x0 x1x00.32)sin(0.34)(0.340.3367)sin(0.32)sin(0.34)0.0033sin(0.32)0.3304（2）抛物线插值插值偏差：f()(xx0)(xx1)(xx2)cos()x0)(x1x)(xx2)R2(x)6(x3!max(xx0)(x1x)(x2x)30.0131106662y=(x-x0)(x-x1)(x-x2)Max=3(x1-x0)3/80 x0 xx1x2抛物线插值公式为：P2(x)(xx

9、1)(xx2)(xx0)(xx2)sin(x1)(xx1)(xx0)(x0 x1)(x0 x2)sin(x0)x0)(x1x2)(x2x1)(x2sin(x2)(x1x0)1(x1x)(x2x)(xx0)(x2(x1x)(xx0)0.0222sin(x0)x)sin(x1)2sin(x2)P2(0.3367)1050.0223.8445sin(0.32)38.911sin(0.34)2.7555sin(0.36)1053.8445sin(0.32)38.911sin(0.34)2.7555sin(0.36)0.330374390.022经四舍五入后得：P2(0.3367)0.330374，与s

10、in(0.3367)0.330374191精确值对比较，在插值偏差范围内完整切合！分段插值与样条函数1、（，习题33）设分段多项式x3x20 x1S(x)bx2cx11x22x3是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确立系数b，c的值.【解】依题意，要求S(x)在x=1节点函数值连续：S(1)1312213b12c11S(1)，即：bc1(1)一阶导数连续：S(1)312216122b1cS(1)，即：2bc1(2)解方程组（1）和（2），得b2,c3，即S(x)x3x20 x12x32x23x11x2因为S(1)321262122S(1)，所以S(x)在x=1节点的二阶导数亦连续。1的一组数

11、据，x00,x11,x22和y01,y10.5,y20.2，2、已知函数yx211）求其分段线性插值函数；2）计算f(1.5)的近似值，并依据余项表达式预计偏差。【解】（1）依题意，将x分为0,1和1,2两段，对应的插值函数为S1(x)和S2(x)，利用拉格朗日线性插值公式，求得S1(x)xx1y0 xx0y1x11x00.50.5x1；x0 x1x1x00110S2(x)xx2y1xx1y2x20.5x10.20.3x0.8x1x2x2x11221（2）f(1.5)10.30769230769，而S2(1.5)0.31.50.80.35，1.521实质偏差为：|f(1.5)S2(1.5)|0

12、.04230.05。f(1)(x)2x2,f(2)(x)2(13x2),f(3)24x(1x2)由(12)(12)3(x)2)4,可xx(1x知M2f(2)(1)0.5，则余项表达式R(x)|f(2)()|(x1)(x2)|M20.520.540.06250.52!2!曲线拟合1、（，习题35）用最小二乘法解以下超定方程组：2x4y113x5y3x2y62xy7【解】构造残差平方和函数以下：Q(x,y)(2x4y11)2(3x5y3)2(x2y6)2(2xy7)2，分别就Q对x和y求偏导数，并令其为零：Q(x,y)xQ(x,y)y0：6xy17(1)，0：3x46y48(2)，解方程组（1）和

13、（2），得x4617483.04029,6483171.24176273y2732、（，习题37）用最小二乘法求形如yabx2的多项式，使之与以下数据相拟合。【解】令Xx2，则yabX为线性拟合，依据公式,公式43)，取m=2，a1=0，N=5，求得55255abXi5abxiyi(1)i1i1i1；555555aXibXi2axi2bxi4Xiyixi2yi(2)i1i1i1i1i1i1依照上式中的乞降项，列出下表xiyiXi(=xi2)Xi2(=xi4)Xiyi(=xi2yi)191936113032168592562539062531499619235214708938144420851

14、36441936374809615753277277699将所求得的系数代入方程组（1）和（2），得5a05327b271.4(1)5327a07277699b369321.5(2)a271.47277699369321.553277791878.157277699532753270.97258；8011566b5369321.55327271.4400859.70.05004；57277699532753278011566即：y0.972580.05004x2。机械求积和插值求积1、（，习题3）确立以下求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所拥有的代数精度：hf(x)dxh

15、1f(x)dx01f(x)dx0A0f(h)A1f(0)A2f(h)；A0f(1)A1f(1)A2f(3)；424f(0)A0f(x0)。【解】（1）令f(x)1,x,x2时等式精确成立，可列出以下方程组：A0A1A22h(1)A0A20(2)A0A22(3)h3,A1hhf(解得：A0A2h4h，即：f(x)dxh)4f(0)f(h)，可以33h3验证，对f(x)x3公式亦成立，而对f(x)x4不成立，故公式（1）拥有3次代数精度。（2）令f(x)1,x,x2时等式精确成立，可列出以下方程组：A0A1A21(1)A02A13A22(2)解得：A03A012A127A216(3)f(1)2f(

16、3)，可以A22,A11，即：f(x)dx12f(1)13303424验证，对f(x)x3公式亦成立，而对f(x)x4不成立，故公式（2）拥有3次代数精度。A03（3）令f(x)1,x时等式精确成立，可解得：4x02311f(0)3f(2)，可以验证，对f(x)x2即：f(x)dx公式亦成立，而对0443f(x)x3不成立，故公式（3）拥有2次代数精度。2、（，习题6）给定求积节点x01,x13,1试构造计算积分If(x)dx的插值型求积440公式，并指明该求积公式的代数精度。【解】依题意，先求插值求积系数：1xx1dx1x32(1x23x)A04dx0 x0 x101324101；2441x

17、1A11xx0dx4dx2(1x21x)0 x1x003124101；244插值求积公式：nAkf(xk)1f(1)1f(3)f(x)dx10k02424当f(x)1，左侧=11；右侧=11111；左=右；f(x)dx02211x21111131当f(x)x，左侧=；右侧=；左=右；f(x)dx02022424211x311；右侧=11195；左右；当f(x)x2，左侧=f(x)dx030321621616故该插值求积公式拥有一次代数精度。梯形公式和Simpson公式1、（，习题9）设已给出xf(x)00f(x)1exsin4x的数据表，345266591分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分【

18、解】（1）用复化梯形法：If(x)dx的近似值。0a0,bba1,n5,hnn1hT5f(xk)f(xk1)k0210.254hn12f(xk)f(b)f(a)2k1T50.25f(0.00)2f(0.25)f(0.50)f(0.75)f(1.00)2T50.1251.000002(1.655341.551521.06666)0.72159T51.28358（2）用复化辛普生法：a0,b1,n2,hba1n0.5n1h2S2f(xk)4f(x1)f(xk1)hk06f(a)k26S20.5f(0.00)4f(0.25)f(0.75)26S211.0000010.8883.103040.7215

19、912n1n14f(xk1)2f(xk)f(b)k02k1f(0.50)f(1.00)1.30939I11105，问2、（，习题10）设用复化梯形法计算积分exdx，为使截断偏差不超出02应当区别区间【0,1】为多少均分？假如改用复化辛普生法呢？【解】（1）用复化梯形法，a0,b1,f(x)f(x)f(x)ex，设需区别n均分，则其截断偏差表达式为：|RT|ITn|(ba)3f()(10)3e；12n2max12n3依题意，要求|RT|1105，即2e1105n2e105212.849，可取n213。12n226（2）用复化辛普生法，a0,b1,f(x)f(x)f(x)ex，截断偏差表达式为：

20、55e4；|RS|ISn|(ba)4maxf()(10)4e180(2n)2880n2880n依题意，要求|RS|1105，即2e1105n4e1053.70666，可取n4，区别8均分。2880n421440数值微分1、（，习题24）导出三点公式(51)、(52)和(53)的余项表达式f(x0)13f(x0)4f(x1)f(x2)(51)2hf(x1)1f(x0)f(x2)(52)2hf(x2)1f(x0)4f(x1)3f(x2)(53)2h【解】假如只求节点上的导数值，利用插值型求导公式获取的余项表达式为f(n1)(k)nR(xk)(xkxj)f(xk)p(xk)(n1)!j0jk由三点公

21、式(51)、(52)和(53)可知，n2,hx1x0 x2x1，则f(21)(0)2f(0)(x0f(0)h2R(x0)(x0 xj)x1)(x0 x2)(21)!j13!3f(21)(1)2f(1)(x1f(0)h2R(x1)(2(x1xj)x0)(x1x2)1)!j03!6j1f(21)(2)2f(2)(x2f(2)h2R(x2)(2(x2xj)x0)(x2x1)1)!j03!3j22、（，习题25）设已给出f(x)1的数据表，(1x)2xf(x)试用三点公式计算f(1.0),f(1.1),f(1.2)的值，并预计偏差。【解】已知x01.0,x11.1,x21.2,hx1x0 x2x10.

22、1，用三点公式计算微商：f(1.0)14f(1.1)f(1.2)130.250040.22680.20660.24703f(1.0)22h0.1f(1.1)1f(1.0)f(1.2)2hf(1.2)1f(1.0)4f(1.1)2hf(x)1;f(x)x)2(1(110.25000.20660.217020.13f(1.2)140.226830.20660.18700.2500220.1624;f(x)4;f(x)5，x)3(1x)x)(1用余项表达式计算偏差R(1.0)f(0)2240.120.00253h3(11.0)5R(1.1)f(1)h2240.120.001253!3!(11.0)5

23、R(1.2)f(2)h2240.120.0496733(11.1)53（、，习题26）设f(x)sinx，分别取步长h0.1,0.01,0.001，用中点公式（52）计算f(0.8)的值，令中间数据储存小数点后第6位。【解】中心差商公式：f(a)f(ah)2hf(ah)，截断偏差：R(h)f(a)h2。可见步长h越小，截断偏差亦越小。3!(1)h0.1,x00.8h0.7,x20.8h0.9,则f(0.8)1sin(0.9)sin(0.7)210.7833270.6442180.695545；2h0.1(2)h0.01,x00.8h0.79,x20.8h0.81,则f(0.8)1sin(0.8

24、1)sin(0.79)12h20.7242870.7103530.69670.01(3)h0.001,x00.8h0.799,x20.8h0.801,则1sin(0.801)sin(0.799)1f(0.8)20.7180520.7166590.69652h0.01而精确值f(0.8)cos(0.8)0.6967067，可见当h0.01时获取的偏差最小。在h0.001时反而偏差增大的原由是f(0.8h)与f(0.8h)很凑近，直接相减会造成有效数字的严重损失。所以，从舍入偏差的角度看，步长不宜太小。Euler格式1、（，题1）列出求解以下初值问题的欧拉格式(1)yx2y2(0 x0.4)，y(

25、0)1，取h0.2；y2(2)yy(1x1.2)，y(0)1，取h0.2；xx【解】（1）yn1ynhynynh(xn2yn2)yn0.2(xn2yn2)；（2）yn1ynh(yn2yn)yn0.2(yn2yn)。xn2xnxn2xn2、（，题2）取h0.2，用欧拉方法求解初值问题yyxy2(0 x0.6)，y(0)1。【解】欧拉格式：yn1ynhynynh(ynxnyn2)yn0.2(ynxnyn2)；化简后，yn10.8yn0.2xnyn2，计算结果见下表。n0123xnyn3、（，题3）取h0.1，用欧拉方法求解初值问题y12y2(0 x4)，y(0)0。1x2并与精确解2x1比较计算结

26、果。yx21【解】欧拉格式：yn1ynhynynh(12yn2)yn0.2(12yn2)；1xn21xn2化简后，yn1yn0.4yn210.2，计算结果见下表。xn21、（，题7）用改进的欧拉方法求解上述题2，并比较计算结果。【解】因为yf(x,y)yxy2(0 x0.6)，h0.2，且y(0)1，则改进的欧拉公式：ypynhf(xn,yn)ynh(ynxnyn2)0.8yn0.2xnyn2ycynhf(xn,yp)ynh(ypxnyp2)yn0.2(ypxnyp2)。yn1(ypyc)2计算结果见下表。n0123xnypycyn与原结果比较见下表n0123xnynyn(改进)龙格-库塔方法

27、1、（，题11）用四阶经典的龙格-库塔方法求解初值问题y83y，y(0)2，试取步长h0.2计算y(0.4)的近似值，要求小数点后储存4位数字。【解】四阶经典的龙格-库塔方法公式：yn1h(K12K22K3K4)yn6K1f(xn,yn)K2f(x1,ynhK1)；2nK3f(x1,ynhK2)2nK4f(xn1,ynhK3)列表求得y(0.4)以下：nxnyn012迭代法及收敛定理1、（，题1）试取x01，用迭代公式xk120(k0,1,2,)，求方程2xkxk210 x32x210 x200的根，要求正确到103。【解】迭代计算结果列于下表kxk|xk-xk-1|kxk|xk-xk-1|1

28、N6N2N7N3N8N4N9Y5N因为|x9x8|0.00082103，所以xx91.36906。2、（，题2）证明方程x1cosx有且仅有一实根。试确立这样的区间2xk11cosxk对x0a,b均收敛。21cosx，则当x1【证明】设：g(x)R时，g(x)cosx22g(x)1sinx连续，|g(x)|1sinx|11，所以迭代过程222x0R均收敛。（压缩映像定理），方程x1cosx有且仅有一实根。2a,b，使迭代过程1，且一阶导数2xk11cosxk对23、（，题4）证明迭代过程xkxk1对随便初值x01均收敛于2。1xk2【证明】设：g(x)x1，对于随便x1，因为x12x12，所以

29、g(x)2。2x2x2x一阶导数g(x)1111，依据压缩映像定理，迭代公式xk1xk1对随便2x222xk初值x01均收敛。假定limxkx，对迭代式xk1xk1两边取极限，则有k2xkxx1，则x22，解得x2，因x2不在x1范围内，须舍去。2x故x2。牛顿迭代法1、（，题17）试用牛顿迭代法求以下方程的根，要求计算结果有4位有效数字：（1）x33x10，x02（2）x23xex20，x01【解】（1）设xk1xk程见以下表。f(x)(xk)f(xk)x33x1，则f(x)3x23，牛顿迭代公式：xkxk33xk12xk313xk233(xk2(k0,1,2,)，迭代计算过1)kxk|xk

30、-xk-1|12因为|x3x2|0.00006（2）设f(x)x23xexxk1xkf(xk)xkf(xk)，迭代计算过程见以下表。kxk|xk-xk-1|N3YN104，所以xx31.879。2，则f(x)2x3ex，牛顿迭代公式：xk23xkexk2xk2exk(xk1)22xk3exk2xk(k0,1,2,)3exkkxk|xk-xk-1|kxk|xk-xk-1|1N3N2N4Y因为|x3x2|0.00000104，所以xx40.2575。2、（，题18）应用牛顿法于方程x3a0，导出求立方根3a(a0)的迭代公式，并证明该迭代公式拥有二阶收敛性。【证明】（1）设：f(x)x3a，则f(

31、x)3x2，对随便x0，牛顿迭代公式xk1xkf(xk)xkxk3a2xk3a0,1,2,f(xk)3xk23xk2k（2）由以上迭代公式，有：limxkx3a。设g(x)2x32a(x0)k3xg(x)x；g(x)2a0；g(x)2a2(1x3)x4。3x3ax3a3axk1xg(xk)g(x)g(x)(xkx)g()(xkx)22!limxk1x2g(x)31，可见该迭代公式拥有二阶收敛性。k(xkx)2!a线性方程组迭代公式1、（，题1）用雅可比迭代与高斯3x1x22-赛德尔迭代求解方程组：2x2，要求结果有3x11位有效数字。x1(k1)1x2(k)21(2x2(k)【解】雅可比迭代公

32、式：333，迭代计算结果列于下表。x2(k1)1x1(k)11(1x1(k)k2220.0005?x1(k)x2(k)|x1(k)x1(k1)|x2(k)x2(k1)|000-12/31/22/31/2N21/21/61/61/3N311/181/41/91/12N47/127/361/361/18N5N6N7N8N9N10Yx1x1(10)0.600;x2x2(10)0.200；由上表可见，所求根皆为小数点后第1位不为零的小数，要取3位有效数，则偏差限为1103。2x1(k1)1x2(k)21(2x2(k)高斯-赛德尔迭代公式：333，迭代计算结果列于下表。k012345x1x1(5)x2(

33、k1)12x1(k)x2(k)002/31/60.600;x2x2(5)x1(k1)11(1x2(k)26|x1(k)x1(k1)|x2(k)x2(k1)|0.0005?-2/31/6NNNNY0.200；2、（，题7）取4x13x1x21.25，用废弛法求解以下方程组，要求精度为1104。23x2164x2x3204x312【解】欧先写出高斯(k1)x1(k1)x2(k1)x3引入废弛因子，得赛德尔迭代：3x2(k)443(k)1(k)9(k)4x14x3516x21(k)9(k)1(k)4x2364x216x31x3(k)2(1)452x1(k1)(1)x1(k)x2(k1)(1)x2(k

34、)x3(k1)(1)x3(k)将方程组（1）代入（2），并化简(k1)x1(k1)x2(k1)x31x1(k)41x2(k)41x3(k)4(k1)x145(k1)(2)4x25(k1)4x3x1(k1)1x1(k)15x2(k)4165x2(k1)29x2(k)5x3(k)641652(3)x3(k1)45x2(k)11x3(k)25664258计算结果见下表。kx1(k)x2(k)x3(k)|x1(k)x1(k1)|x2(k)x2(k1)|x3(k)x3(k1)|0000-1552345678901234567e?-NNNNNNNNNNNNNNNNY迭代解：x1x1(17)1.5001,x

35、2x2(17)3.3333,x3x3(17)2.1667.精确解：x131.5,x2101323.3333,x32.1667.36线性方程组迭代公式1、（，题2）试列出求解以下方程组的雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式，并观察迭代过程的收敛性。10 x1x35x47x18x23x3113x12x28x3x423x12x22x37x417【解】（1）雅可比迭代公式：x1(k1)x2(k1)1x3(k)101x1(k)81x(4k)23x3(k)8710118(1)x3(k1)x4(k1)GJ3x1(k)81x1(k)70010841412771x2(k)42x(2k)7111023081082

36、071x4(k)82x3(k)7GJ23817771，迭代收敛。8（2）高斯-赛德尔迭代公式：x1(k1)1x3(k)10 x2(k1)1x1(k1)8x3(k1)3x1(k1)8x4(k)23x3(k)8x2(k1)4710118(2)1x4(k)2388x4(k1)1x1(k1)72x2(k1)2x3(k1)17777将方程组（1）带入（2），经化简后，得：x1(k1)1x3(k)1x4(k)710210 x2(k1)31x3(k)1x4(k)117801680(3)x3(k1)x4(k1)GGS19x3(k)19x4(k)78732064320121x3(k)39x4(k)3991112

37、022411200011102031138016，GGS1，迭代收敛。50019193206400893911202242、（，题5）分别用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解以下方程组：x12x21（1）x223x1x15x23x322）5x12x2x342x1x25x311【解】（1）雅可比迭代：x1(k1)2x2(k)131,不收敛。x2(k1)3x1(k)，G2高斯-赛德尔迭代：x1(k1)2x2(k)1x1(k1)2x2(k)161,不收敛。x2(k1)3x1(k1)或x2(k1)6x1(k)，G25（2）雅可比迭代：x1(k1)x2(k)x3(k1)5x2(k)5x1(k)2x1(k)53x3(k)1x3(k)2x2(k)522，G81,不收敛。115高斯-赛德尔迭代：x1(k1)5x2(k)3x3(k)2x1(k1)5x2(k)3x3(k)2(k)5(k1)1(k)或(k)25(k)(k)x22x12x32x22x28x33x3(k1)2x1(k1)1x2(k1)11x3(k1)1x2(k)14x3(k)1855525581,不收敛。3、（，题6）加工上述题5的方程组，比方调换方程组的摆列顺序，以保证迭代过程的收敛性。【解】加工后结果以下：3x1x22（1）2x21x15x