矩阵分析课件精品课件

1、关于矩阵分析第一张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月1.1 线性空间一、线性空间的概念几何空间和 n 维向量空间的回顾推广思想：抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集合上定义具有线性运算的代数结构。定义1.1（P .1）要点：集合V 与数域F向量的加法和数乘向量运算运算的性质刻画第二张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月常见的线性空间F n=X=（x1，x2，xn）T：x F 运算：向量加法和数乘向量F mn = A=aijmn：a ijF； 运算：矩阵的加法和数乘矩阵R mn ；C mn 。Pn x=p(x)= ：aiR 运算：多项式的加法和数乘Ca，b=f（x）：f（x

2、）在a，b上连续 运算：函数的加法和数乘eg5： V=R+，F=R， a b=ab， a=a F=R或C第三张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月线性空间的一般性的观点：线性空间的一般形式：V（F），元素被统称为向量：， ，线性空间的简单性质（共性）： 定理1 . 1：V（F）具有性质：（1） V（F）中的零元素是惟一的。（2） V（F）中任何元素的负元素是惟一的。（3）数零和零元素的性质： 0=0，k0=0，k =0 =0 或k=0（4） = （1）数0向量0第四张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月二、线性空间的基和维数向量的线性相关与线性无关：定义形式和向量空间Rn中的定

3、义一样。有关性质与定理和Rn中的结果一样。例题1 证明C0，1空间中的向量组ex，e2x，e3x ，enx，x0，1 线性无关。第五张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月二、线性空间的基和维数基与维数的概念：P . 2，定义1 . 2常见线性空间的基与维数：Fn，自然基e1，e2，,en，dim Fn =nRmn ，自然基Eij，dim Rmn =mn。Pn x ，自然基1，x，x2，x3,x n-1，dimPn x =nCa，b， 1，x，x2，x3x n-1 Ca,b， dim Ca，b= 约定：V n （F）表示数域F上的 n 维线性空间。只研究有限维线性空间。第六张，PPT共一

4、百四十六页，创作于2022年6月三、坐标1 定义 1 .3 （P . 3)设1，2， n 是空间 的一组基， ， = ，则x1 ，x2， ， xn 是在基i下的坐标。例1：求 R22中向量 在基Eij下的坐标。 要点： 坐标与基有关 坐标的表达形式第七张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月例2 设空间P4x的两组基为：1，x，x2，x3和1，（ x - 1）1，（ x - 1）2，（ x - 1）3求f（x）=2+3x+4x2+x 3在这两组基下的坐标。归纳：任何线性空间V nF在任意一组基下的坐标属于Fn 。每一个常用的线性空间都有一组“自然基”，在这组基下，向量的坐标容易求得。求坐

5、标方法的各异性。第八张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月2、 线性空间V n（F）与Fn的同构 坐标关系V n （F） Fn 基1，2，。 n由此建立一个一一对应关系 V n （F），X Fn， （）=X（1+2）=（1）+（2）（k）=k（）在关系下，线性空间V n （F）和Fn同构。第九张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月同构的性质定理1.3:V n （F）中向量1，2，n线性相关它们的坐标X1 , X2, ,Xn在Fn中线性相关。同构保持线性关系不变。应用： 借助于空间Fn中已经有的结论和方法研究一般线性空间的线性关系。第十张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6

6、月例题2 设R22中向量组Ai1 讨论Ai的线性相关性.2求向量组的秩和极大线性无关组.3把其余的向量表示成极大线性无关组的 线性组合.第十一张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月四、基变换和坐标变换讨论：不同的基之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关系基变换公式设空间中有两组基：过渡矩阵C的性质：C为非奇异矩阵C的第i列是 i 在基i 下的坐标则过渡矩阵第十二张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月2 坐标变换公式已知空间中两组基：满足: ;讨论X和Y的关系 X=CY123第十三张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月例题4、 已知空间R中两组基（I）Eij（II）；

7、 求从基（I）到基（II）的过渡矩阵C。求向量 在基（II）的坐标Y。例题3、（P6例题11）第十四张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月1.1 五、 子空间 概述：线性空间Vn（F）中，向量集合V可以有集合的运算和关系：Wi V， W1W2， W1W2，问题： 这些关系或运算的结果是否仍然为线性空间 ？第十五张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月1、 子空间的概念定义： 设集合WVn（F），W ，如果W中的元素关于Vn（F）中的线性运算为线性空间，则称W是Vn（F）的子空间。 判别方法：定理15W是子空间 W对Vn（F）的线性运算封闭。子空间本身就是线性空间。子空间的判别方法

8、可以作为判别线性空间的方法第十六张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月重要的子空间： 设向量组1，2， mVn（F），由它们的一切线性组合生成的子空间：L1，2，m = 矩阵AF mn，两个子空间：A的零空间：N（A）=X ： AX=0F n，A的列空间： R（A）= LA1，A2，A nF m， Ai为A的第i列。第十七张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月2、子空间的“交空间”与“和空间” 讨论：设W 1 Vn（F），W2 Vn（F），且都是子空间，则W1W2和W1W2是否仍然是子空间？（1） 交空间 交集： W1W2= W1 而且 W 2Vn（F）定理16 W1W2是子空

9、间，被称为“交空间” （2）和空间和的集合：W1W2=X1X2X1W1，X2W2，W1W2 W1W2定理16 W1W2是子空间，被称为“和空间”，W1W2不一定是子空间，W1W2 W1W2 第十八张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月例17 设R3中的子空间W1=Le1，W2=Le2 求和空间W1W2。 比较：集合W1W2和集合W1W2。 如果 W1=L1，2， m ， W2=L1，2， k， 则 W1W2=L1，2，m，1，2， k 第十九张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月3 、维数公式 子空间的包含关系： dimW1W2 dim Wi dimW1W2 dimVn（F）。

10、定理17 ：dimW1dimW2=dim（W1W2）dim（W1W2）证明：第二十张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月4 、子空间的直和 分析：如果dim（W1W2）0，则 dim（W1W2）dimW1dimW2 所以： dim（W1W2）=dimW1dimW2 dim（W1W2）=0 W1W2=0直和的定义： 定义16 ： dim（W1W2）=0 ，则和为直和 W=W 1W2=W1W2，第二十一张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月子空间的“和”为“直和”的充要条件 ： 定理18 设W=W1W2，则下列各条等价：（1） W=W1W2（2） X W，X=X 1X2的表 是惟一

11、的（3） W中零向量的表示是惟一的（4） dim W =dimW1dimW2第二十二张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月例1 P12 eg18例2设在Rnn中，子空间 W 1=A AT =A ， W2=B BT= B ， 证明Rnn=W1W2。 例3 子空间W的“直和补子空间” 第二十三张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月12 内积空间 主题：定义内积的概念，借助于内积建立线性 空间的度量关系。 一、 欧氏空间和酉空间1 几何空间中度量关系的定义基础2 内积的定义定义17 (P13) ：要点 内积(，)是二元运算：Vn(F) F (，)的公理性质 (，)是任何满足定义的运算

12、。 讨论(，12), (，k) 第二十四张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月3. 内积空间的定义Vn（F）；（，） ，F= R ，欧氏空间；F=C，酉空间4 常见的内积空间：R n ；(，)= T ,C n ；(，)=H ,C mn；(A，B)=tr (B H A) PnX ；(f(x)，g(x) )= 第二十五张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月 5 向量的长度 定义： | | =6 欧氏空间中向量的夹角： 定义：0，0，夹角定义为： cos=性质： | k | =k | | ； Cauchy 不等式： ， Vn(F)；(，), | (，) | | | | | 。| |

13、| | | | 和 正交 （，）=0 第二十六张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月7 线性空间的内积及其计算：设1，2，, n 是内积空间Vn(F)的基，Vn(F)，则有=x11x22x n n = (12 n)X；=y11y22y n n= (1 2 n)Y(，)= =Y HAX， 定义内积 在一个基1，2， n 中定义内积 定义一个度量矩阵A 。 度量矩阵 A度量矩阵的性质：第二十七张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月二、标准正交基 1 标准正交的向量组： 定义：1，2，n为正交组(i，j ) =0性质： 2 标准正交基基1， 2，n是标准正交基 (i， j)=标准正交

14、基的优点：第二十八张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月标准正交基的优点：度量矩阵是单位矩阵，即A=I=(12 n)X，=(12 n) Y，(，)=YHX= x11x22x n n，xi=(，i)和正交其坐标 X和Y正交 坐标空间F n的内积求标准正交基的步骤： Schmidt 正交化 标准化矩阵方法讨论第二十九张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月正交补”子空间(i) 集合的U的正交集： U=Vn(F )： U，(，)=0 (ii) U是Vn(F)的子空间 U 是Vn(F)子空间 (iii) Vn(F)=U U 。U的正交补子空间第三十张，PPT共一百四十六页，创作于2022

15、年6月13 线性变换 一、 线性变换的概念定义 1.11 (P.19)要点：（i）T是Vn（F）中的变换： T：Vn（F）Vn（F）。(ii) T具有线性性： T（）=T（）T（） T（k）=kT（ ）从一般性的角度给出的定义第三十一张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月例题1 Vn（F）中的相似变换T ：是F中的数，Vn（F），T（）= 。特例： =1 ， T 是恒等变换， =0 ， T是零变换。 可以在任何线性空间中 定义相似变换!例题2 Fn中的变换 TA：设A Fnn是一个给定的 矩阵，XFn，TA（X）=AX。例题3 Pn X中的微分变换：第三十二张，PPT共一百四十六页，创

16、作于2022年6月2 线性变换的性质：（i）T(0)=0（ii） T()=T()（iii）3 线性变换的象空间和零空间设线性变换T：Vn( F )Vn( F )， 象空间 R(T)=： Vn(F)，=T() 零空间 N（T）=：Vn(F ) ，T ( ) =0 定义： T 的秩=dim R（T）； T 的零度=dim N（T）线性变换保持线性相关性不变！第三十三张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月例题27 求Fn线性中的变换TA:Y=AX的象空间和零空间。R（TA）=R（A）；N（TA）=N（A）第三十四张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月4 线性变换的运算设T1，T2都是

17、空间Vn(F)中的线性变换，常见的用它们构成的新的变换：（i） T1T2 Vn（F）， （T1T2）（）=T1（）T2（）（ii） T1T2 Vn（F）， (T1T2)（）=T1（T2（）（iii） kT Vn（F）， （kT）（）=k（T（）（iv） 若T 1是可逆变换，T1 T1( )= 当且仅当T()=。定义第三十五张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月二、 线性变换的矩阵 1 线性变换的矩阵与变换的坐标式Vn（F）上线性变换的特点分析：定义变换T 确定基中向量的象T（i）。定义T（i） 确定它在基下i的坐标A i 。定义变换T 确定矩阵A=A1，A2，An（i） A 为变换矩阵

18、（ii） 变换的坐标式：Y=AX（iii） 应用意义第三十六张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月例题1 对线性变换 : P4 X P4 X，求D在基1，X，X2，X3下的变换矩阵。2 求向量 在变换D下的象。第三十七张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月 2 线性变换运算的矩阵对应：设Vn（F）上的线性变换T1，T2，它们在同一组基下的矩阵：T1A1；T2A2（i） （T1T2） （A1A2）（ii） （T1T2） A1A2（iii） （kT） kA（iv） T1 A1第三十八张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月 3 不同基下的变换矩阵两组基：1，2，, n ，1，

19、2，, n ， （12 n）=（12 n ）CT（1 2 n ）=（1 2 n）AT（1 2 n）=（1 2 n）B 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的B=C1AC123例题2 （P23， eg28）第三十九张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月例题2 （P23， eg28）例题3 （P24， eg29） 设单位向量u=（2/3，-2/3，-1/3），定R3上的线性变换 P（x）= x - （x，u）u，求P在自然基e1，e2，e3下的变换矩阵。求P在标准正交基u，u2，u3下的变换矩阵。第四十张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月三、不变子空间问题的背景：变换矩阵的化简和

20、空间的分解的对应关系1. 不变子空间的概念矩阵简化要求空间分解的特点定义(p24, 定义1.14)2 . 不变子空间的判别W是T的不变子空间 W T（） W。特别：W=L 1，2，m， W是T的不变子空间 T（i）W 。 T（W）W。第四十一张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月P24，例题30R3上的正交投影P：P（x）= x（x，u）u，u是单位向量。证明L（u）和 u =x ：（x，u）=0是P的不变子空间。第四十二张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月3 空间分解与矩阵分解Vn（F）=WU，W，U是T的不变子空间 ，W=L 1，r，U= r + 1 ， ， n则T1，r

21、， r + 1 ， ， nVn（F）=U1U2 Uk，则T矩阵Ai 的阶数=dim Ui第四十三张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月四、 正交变换和酉变换讨论内积空间V；（，） 中最重要的一类变换。1 定义1 . 15 （P25）2 正交（酉）变换的充要条件： （定理1.15, P26 ）T是内积空间V（F）上的线性变换，则下列命题等价：T是正交变换T保持向量的长度不变T把V（F）的标准正交基变成标准正交基T在标准正交基下的矩阵是正交矩阵3 正交矩阵和酉矩阵的性质正交矩阵C：CTC=I 酉矩阵U： UHU=I定理1 . 16(P27)第四十四张，PPT共一百四十六页，创作于2022年

22、6月常见的基本正交变换：平面上的旋转几何描述：绕坐标原点，逆时针旋转一个 角。变换矩阵：在自然基下，R3空间中的镜像变换定义：S（x）= x 2（x，u）u。变换矩阵与几何意义空间中的旋转几何描述：绕空间中过原点的 一根直线L， 旋转一 个角。变换矩阵第四十五张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月 例题1 求R3中绕过原点、以 u=（1，1，1）T为正向的直线，顺u方向看去是逆时针的旋转变换T在R3中自然基下的变换矩阵。第四十六张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月五、线性空间Vn (F) Vm (F)的线性变换定义 1.16 (P.28)要点：（i）Vn (F)， =T()

23、Vm (F) (ii) T具有线性性： T(12)=T（1）T(2) T（k）=kT( )例题1 (P29， eg34)例题2（P29， eg35）第四十七张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月T的变换矩阵： T：Vn (F) Vm (F)设1，2，, n 是空间Vn (F) 的基， 1，2，, m是空间Vm (F)的基，T(1，2，, n )=(1，2，, m)A A是变换矩阵。第四十八张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月T在不同基下变换矩阵的关系设在两个空间中分别取两组基：分析线性变换在两组基下变换矩阵的关系第四十九张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月推荐练习题

24、：第一章P31：1（3），（4），2，4，6，9，10，13，17，20，23，24，26，28，29， 31第五十张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月 第1章勘误表diyiban位置误 正P.9，例题16AF nnAF mnP.14，第4行（，） 2 （，） 2P.16，第1行P.17，倒7和倒8L1，2，L1，2， P.22，倒3 ei P（ei）P.27习题一上方 u W第五十一张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月第2章：Jordan标准形介绍Jordan Canonical Form第五十二张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月第2章：Jordan标准形介绍

25、问题：对线性空间中的线性变换T，求一组基1，2 ， n和矩阵J ，使 T: 1，2 ， n J矩阵J 尽可能简单。矩阵J的结构对任何变换可行内容：首选A为对角形 线性变换的对角化问题。建立J 一般的结构 Jordan标准形理论。Jordan方法及其应用方法：用矩阵的相似化简研究问题 Jordan化方法重点：第五十三张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月2.1 线性变换的对角表示背景： T(1 2 n) = (1 2 n)一、变换T的特征值与特征向量定义(p35 ，定义2.1)求解分析：(p35 ，定理2.1)(12 n) 线性无关Ti= ii ； L i是不变子空间 A的特征值就是T的

26、特征值 A的特征向量是T的特征向量的坐标第五十四张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月例题1(p37 ，例题2.1)3、 特征向量的空间性质特征子空间：特征子空间的性质：(p36 ，定理2.2)Vi是不变子空间i j，则ViVi=0 若i是ki重特征值，则1dimViki 推论：若i是单特征值，则dimVi =1V1+V2+=Vs= V1V2Vs V1V2Vs Vn（F）第五十五张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月二、线性变换矩阵对角化的充要条件T可以对角化T有n个线性无关的特征向量。 dimVi =n dimVi =ki 定理2. 4(p39)T可以对角化T的变换矩阵A可以

27、对角化。第五十六张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月例题2 已知1，2 ，3 是空间V3（F）的基，T是空间上如下定义的线性变换， T（ 1 ）= 1 T（ 2 ）=2 2 T（ 3 ）= 1 +t 2+2 3讨论：t为何值，T有对角矩阵表示例题3 证明幂等变换(T2=T)有对角矩阵表示。第五十七张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月2.2 Jordan 矩阵介绍目标：发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵结构-Jordan矩阵。一、 Jordan 矩阵Jordan 块(p40，定义2.3) 形式：确定因素：Jordan 块矩阵的例子：值矩阵的阶数例题1 下列矩阵哪些是Jorda

28、n块？第五十八张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月形式：Jordan矩阵举例特点元素的结构Jordan矩阵是上三角矩阵对角矩阵是Jordan 矩阵2 Jordan 矩阵3 Jordan 标准形定理2 . 5 (p41) 含义：Jordan 矩阵可以作为相似标准形。惟一性：Jordan 子块的集合惟一。A相似于BJA相似于JB第五十九张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月二、方阵A的Jordan 标准形的求法目标：求可逆矩阵P和Jordan矩阵JA ，使AP=PJA分析方法： 在定理 2.5 的基础上逆向分析矩阵JA 和P的构成。求法与步骤：矩阵A和JA的特征值相等细分矩阵Pi

29、 和 Ji，在Jordan块上，有第六十张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月Jordan链条，y2，ynj特征向量广义特征向量第六十一张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月方法步骤：由特征值i 的代数重数确定主对角线元素是的 i 的 Jordan 矩阵J(i ) 的阶数。由特征值i 对应的线性无关的特征向量的个数确定 J(i) 中Jordan 块的个数由特征向量求得的Jordan 链条的长度确定Jordan块的阶数链条中的向量合起来构成可逆矩阵P，Jordan块构成JA例题1 (p44，例题5)例题2 (p45，例题6)第六十二张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月例

30、题3 将矩阵A化为Jordan 矩阵。例题4 (p46，例题7) 第六十三张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月2.3 最小多项式 (minimal polynomials)讨论n 阶矩阵多项式的相关问题：矩阵多项式（重点是计算）矩阵的化零多项式（Cayley 定理）最小多项式Jordan标准形的应用相似不变性Jordan化的方法第六十四张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月一、矩阵多项式定义2 . 性质（定理2 . 7）AX = 0 X g(A)X= g(0 )XP -1 AP =B P -1 g(A)P= g(B) 第六十五张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月3

31、矩阵多项式 g(A ) 的计算方法：mr g（J）的结构特点： 由第一行的元素生成Jordan块第六十六张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月例题1 设对P38，eg3中的矩阵A，计算g（A）。解第六十七张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月二、矩阵的化零多项式 (Annihilating polynomials of Matrices)问题：AFnn ， A0，是否存在非零多项式g（），使 得 g( A )=0？化零多项式（P.52） 如果 g(A) = 0，则g()被称为矩阵A的化零多项式。 要点：矩阵A一旦有化零多项式，则有无穷多化零多项式。g（ A ）= 0 的决定因素

32、。存在性问题。Cayley-Hamilton 定理（P.52， 定理、2 . 7）： AFnn，f ( )= det( IA)，则f ( A )= 0。Cayley 定理的应用举例：使Ak ( kn)降阶至不超过n-1次的多项式。f（ 0） 0，则A的逆矩阵可以用多项式表示。对线性变换T，f ( T)=0，即f（ T ）为零变换。 第六十八张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月三、最小多项式1 定义（P.54， 定义2 . 5）mA（ ）是最小多项式mA（ A） =0mA（ ）在化零多项式中次数最低。mA（ ）最高次项系数是1。mA（ ）整除任何化零多项式2 mA（ ）的结构：设f（

33、）= IA=定理2.8：mA（ ）= 定理2.9：mA（ ）= 是i对应的Jordan块的指数。P.54第六十九张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月3 变换对角矩阵表示的条件定理2.10：线性变换T可以对角化的充要条件是T的最小多项式是一次因子的乘积。例题1 （P.56， eg10）例题2 设A R44 ，mA（ )=求矩阵A的所有可能的Jordan矩阵。例题3 设 是矩阵A的化零多项式，证明A可以相似于对角矩阵。第七十张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月相似问题中的一些矩阵结果1. 幂等矩阵、幂零矩阵和乘方矩阵幂等矩阵（idempotent）： A 2 =A幂零矩阵（ni

34、lpotent）： A0， k为正整数，Ak=0乘方矩阵（involutary）： A 2 = IA为幂零矩阵的充要条件是A的特征值都是零。A为乘方矩阵的充要条件是A相似于矩阵 A为幂等矩阵的充要条件是A相似于矩阵第七十一张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月2 (p47，例题8) 设A为阶方阵，证明矩阵A和AT 相似。证明思想： 证明A和AT 相似 证明 Jordan 矩阵JA和JAT相似 证明JA和JAT的Jordan 块J和JT相似。证明方法： 取逆向单位矩阵S，证明：SJ=JTS （backward identity ）第七十二张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月3、

35、矩阵A ， AT ， A 和AHA设A为n 阶方阵，则下列结果成立：矩阵A相似于矩阵AT矩阵A相似于矩阵AH的充要条件是矩阵的非实数特征值对应的Jordan 块以共轭对出现。矩阵AHA相似于矩阵AAH第七十三张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月4 . 设矩阵AFmn ，矩阵BFnm ，则AB和BA的非零特征值相同。讨论：若A、B都是方阵， AB和BA的特征多项式是否相同？AB和BA的最小多项式是否相同？AB和BA是否相似？第七十四张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月第1章习题选讲要点：线性空间的表示形式：集合表示形式：Vn（F）= 满足的性质向量生成形式：L1，2，m 子空

36、间类型：L1，2，m W1W2矩阵AF mn，两个子空间不变子空间线性变换：线性变换的表示线性变换的数量关系重要的线性变换第七十五张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月第3章、 矩阵的分解Matrix Factorization and Decomposition第七十六张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月矩阵分解的概述矩阵的分解：A=A1+A2+Ak 矩阵的和A=A1A2 Am 矩阵的乘积矩阵分解的原则：实际应用的需要理论上的需要计算上的需要显示原矩阵的某些特性矩阵化简的方法之一主要技巧：各种标准形的理论和计算方法矩阵的分块第七十七张，PPT共一百四十六页，创作于2022年

37、6月3.1 常见的矩阵标准形与分解常见的标准形等价标准形相似标准形合同标准形本节分解：三角分解满秩分解可对角化矩阵的谱分解AT=A相似标准形等价标准形第七十八张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月一、矩阵的三角分解方阵的LU和LDV分解（P.61） LU分解：AFnn， 存在下三角形矩阵L ，上三角形矩阵U ，使得A=LU。LDV分解：AFnn， L、V分别是主对角线元素为1的下三角形和上三角形矩阵，D为对角矩阵，使得A=LDV。已知的方法：Gauss-消元法例题1 （P.61eg1）设 求A的LU和LDV分解。结论：如果矩阵A能用两行互换以外的 初等行变换化为阶梯形，则A有LU分解。

38、第七十九张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月三角分解的存在性和惟一性定理3.1 （P.62） ：矩阵的k 阶主子式：取矩阵的前k行、前k列得到的行列式，k=1，2， ，n。定理: AFnn有惟一LDV分解的充要条件是A的顺序主子式Ak非零，k =1，2，n-1。 证明过程给出了LDV分解的一种算法。定理3.2（P.64）设矩阵AFnn ，rank（A）=k（ n），如果A的j阶顺序主子式不等于0， j =1，2，k,则 A有LU分解。定理条件的讨论例题2 （P.65 eg2） LU分解的应用举例第八十张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月二、矩阵的满秩分解定义3.2 （P.6

39、6 ） 对秩为r 的矩阵AFmn ，如果存在秩为r的矩阵 B Fmr，CFrn ，则A=BC为A 的满秩分解。实用方法：方法3例题2 （ P.69，eg5）列满秩行满秩定理3.2：任何非零矩阵AFmn都有满秩分解。满秩分解的求法：方法1：方法2例题1（ P.68， eg4 ）方法3例题3（ P.70，eg6）第八十一张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月三、可对角化矩阵的谱分解将方阵分解成用谱加权的矩阵和谱：设AFnn ， 则A的谱=1，2，s。，P具性质：1. 可对角矩阵的谱分解分解分析：分解结果：幂等矩阵意义：可对角化矩阵可以分解成以谱加权的幂等矩阵的加权和第八十二张，PPT共一百

40、四十六页，创作于2022年6月2、 矩阵可以对角化的一个充要条件 定理3.5（P.73 ）矩阵A可以相似对角化当且仅当矩阵A有谱分解 ，满足条件：充分性的证明：在A有谱分解时 Cn=V 1V 2 V n第八十三张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月3. 幂等矩阵的性质 定理3 .4（P.72）PFnn ，P2=P，则矩阵PH和矩阵（IP）仍然是幂等矩阵。P 的谱0，1，P 可相似于对角形。 Fn = N（P） R（P） N（P）=V =0 ，R（P）=V=1 P和（I P）的关系 N（I P）=R（P），R（ I P ）=N（P）Hermite 矩阵的谱分解定理3 .6（P.73）设A

41、是秩为k的半正定的Hermite 矩阵，则A可以分解为下列半正定矩阵的和。 A=v1v1H+v2v2H+vkvkH第八十四张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月3.2 Schur 分解和正规矩阵 已知：欧氏空间中的对称矩阵A可以正交 相似于对角形。讨论：一般方阵A ，在什么条件下可以 酉相似于对角矩阵？在内积空间中讨论问题，涉及：空间 Cn、 Cnn，酉矩阵U，UHU=I， U 1=UH酉相似： UHAU=J U1 AU=J 重点：理论结果第八十五张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月一、 Schur 分解1、 可逆矩阵的UR分解 定理3.7（P.74）ACnn为可逆矩阵，则存

42、在酉矩阵U和主对角线上元素皆正的上三角矩阵R，使得A=UR。（ 称A=UR为矩阵A的酉分解）证明：源于Schmidt正交化方法。例题1 求矩阵A的UR分解，其中定理3.8（P.76） ：设矩阵ACmn是列满秩的矩阵，则矩阵A可以分解为A=QR，其中Q Cmn的列向量是标准正交的向量组，R Cnn是主对角线上元素为正数的上三角形矩阵。QR分解第八十六张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月2 、Schur 分解定理3.7（P.74 ）对矩阵ACnn，存在酉矩阵U和上三角矩阵T，使得 UHAU=T=证明要点：A=PJ AP1 ，P=URA= PJ AP1 =U（RJR1 ）UH =UTUH。

43、第八十七张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月二、正规矩阵（Normal Matrices）1、 定义3.3（P.77 ）A是正规矩阵 AHA=AAH。常见的正规矩阵：对角矩阵对称和反对称矩阵：AT=A，AT=A。Hermite矩阵和反Hermite矩阵：AH=A，AH=A正交矩阵和酉矩阵：ATA=AAT=I，AHA=AAH=I。例题1 （P.78，eg 10）设A为正规矩阵，B酉相似于A，证明B也是正规矩阵。正规是酉相似的不变性质例题2、AFmn，矩阵AHA 和矩阵AAH是正规矩阵。第八十八张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月2、正规矩阵的基本特性定理3.10 （P.78

44、） ： ACnn正规A酉相似于对角形。推论：正规ACnnA有n个标准正交的特征向量构成空间Cn 的标准正交基。定理3.11（P.80 ）（正规矩阵的谱分解）A正规A有如下谱分解： Hermite性第八十九张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月3、正规性质的应用举例例题1（P.79 ，eg12）例题2 设ARnn，AT=A，证明A的特征值是零和纯虚数。矩阵A的秩是偶数。第九十张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月3 3 矩阵的奇异值分解Singular value decomposition(SVD)第九十一张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月33 矩阵的奇异值分解概述

45、：矩阵的奇异值分解是酉等价型的分解: AC mn，酉矩阵UC mm, VC nn ,使得A=U VH。矩阵A等价于= 奇异值分解基本适用于内积空间中与矩阵秩相关的问题 A的奇异值分解依赖于正规矩阵A HA 的酉相似分解的。第九十二张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月一、矩阵A的奇异值及其性质1、矩阵AHA和AAH的性质：AC mn，AHAC nn，AAHC mm ，都是Hermite矩阵。定理312（P82）秩（A）秩（AHA）=秩（AAH）。AHA 和AAH 的非零特征值相等。AHA和AAH 是半正定矩阵。 AHA和AAH 的特征值是非负实数：1 2 n2、奇异值的定义： （P72

46、）AC mn，秩（A）=r，设AHA的特征值1 2 r 0，r+1= r+2 = n =0，则矩阵的奇异值第九十三张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月3、特殊矩阵的奇异值：定理313（P82）：正规矩阵A的奇异值等于A的特征值的模长。正定的Hermite矩阵A的奇异值就是A的特征值。酉等价矩阵的奇异值相等。A和B酉等价，则AHA和BHB酉相似。奇异值是酉等价的不变性质。第九十四张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月二、矩阵的奇异值分解1、定理314（P83）任何矩阵AC mn，秩（A）=r，则存在酉矩阵 UC mm，VC nn，使得证明思想：AHA正规，VHAHAV= ，酉矩

47、阵V。 令 ，i=1，2，r，得U1=u1，u2， ，ur 扩充为标准正交基 酉矩阵U。第九十五张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月例题1 求矩阵A的奇异值分解，A= 。例题2（P84，eg13）求矩阵A的奇异值分解，A=第九十六张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月2、矩阵U，V的空间性质：V=v 1，v2，vr ， ，v n =V1 V2C nn的列向量是空间C n的标准正交基。V2的列向量是空间N（A）的标准正交基。V1的列向量是空间 N （A） 的标准正交基。U=u 1，u2，ur ， ，u m =U1 U2C mm的列向量是空间C m的标准正交基。U1 的列向量是R

48、（A）的标准正交基。U2的列向量是R （A）的标准正交基。3、奇异值分解的展开形式及其应用定理3 15（ P87）左奇异向量右奇异向量第九十七张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月例题：图像的数字化技术与矩阵的奇异值分解 计算机处理图像技术的第一步是图像的数字化存储技术，即将图像转换成矩阵来存储。转换的原理是将图形分解成象素（pixels）的一个矩形的数阵，其中的信息就可以用一个矩阵A=（a ij）mn来存储。矩阵A的元素a ij是一个正的数，它相应于象素的灰度水平（gray level） 的度量值。由于一般来讲，相邻的象素会产生相近的灰度水平值，因此有可能在满足图像清晰度要求的条件下

49、，将存储一个mn阶矩阵需要存储的mn个数减少到n+m+1的一个倍数。 第九十八张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月压缩数字化图形存储量的方法主要是应用矩阵的奇异值分解和矩阵范数下的逼近。如果图象的数字矩阵A的奇异值分解为：A=UVT， 其展开式：压缩矩阵A的方法是取一个秩为k （kr）的矩阵Ak来逼近 矩阵A。Ak按如下方法选取：有在秩为k （kn）的所有矩阵中，矩阵Ak所对应的图象和矩阵A所对应的图象最相近。一般的，k越大图象就越清晰。经典的方法是选取接近k，使Ak 的存储量比A的存储量减少20%。 第九十九张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月存储矩阵Ak只需要存储k个奇

50、异值，k个m维向量ui和n维向量vj的所有分量，共计k（m+n+1）个元素。如果m=n=1000，存储原矩阵A需要存储10001000个元素。取k=100时，图象已经非常清晰了，这时的存储量是100（2000+1）=200100个数。和矩阵A比较，存储量减少了80%。第一百张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月 三、矩阵的奇异值分解和线性变换TA矩阵AC mn可以定义线性变换 TA ： C n C m设矩阵的奇异值分解A=U VH ，则将U和V的列分别取做空间C m 、C n的基，则变换TA的矩阵为:=VX C m ,则TAX=(U VH )VX=U(X)=U变换TA在单位球上的象：

51、定理316 （ P88）第一百零一张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月四、矩阵的极分解（Polar Decomposition）方阵的极分解设矩阵AC nn ，则矩阵A的奇异值分解:A=UVH=U （ UH U）VH = （U UH ）UVH=PQP是半正定的Hermite 矩阵，P相似于 。Q是酉矩阵定理317 （ P89）方阵极分解的意义和应用描述变换Y=AX的拉伸和扭曲第一百零二张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月例题1 （ P90） 求矩阵A= 的极分解，依此讨论变换Y=AX的几何特性。解第一百零三张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月第4章 矩阵的广义逆T

52、he Pseudoinverse第一百零四张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月矩阵的广义逆概述：矩阵的逆：A n n ，B n n ，B A= A B =I, 则B=A 1 广义逆的目标：逆的推广对一般的矩阵 A m n可建立部分逆的性质。当矩阵A n n可逆时，广义逆与逆相一致。可以用广义逆作求解方程组AX=b的理论分析。第一百零五张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月 4. 1 矩阵的左逆与右逆一、满秩矩阵和单侧逆1、左逆和右逆的定义定义4. 1 (P . 93) A C m n， B C n m，BA=In，则称矩阵B 为矩阵A 的左逆，记为 B = 。例题1 矩阵A的

53、左逆A= 。A C m n ， C C n m ，AC=Im，则称矩阵C 为 矩阵A 的右逆，记为 C= 。第一百零六张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月 2、左逆和右逆存在的条件 的存在性直观分析 存在矩阵A列满秩 = （AHA）1AH 定理4. 1(P . 93) 设A C mn ，下列条件等价A左可逆A的零空间N（A）=0。mn，秩（A）=n，即矩阵A是列满秩的。矩阵AH A可逆。 例题2 求矩阵A = 的左逆。第一百零七张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月矩阵右逆的存在性定理4 . 2 (P . 94)A C m n ，则下列条件等价：矩阵A右可逆。A的列空间R（A

54、）=Cmn m ，秩（A）=m，A是行满秩的。矩阵A AH 可逆 =AH（AAH）1讨论：可逆矩阵An n的左、右逆和逆的关系 可逆矩阵A的左、右逆就是矩阵A的逆A A1=（AHA）1AH =AH（AAH）1第一百零八张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月二、单侧逆和求解线性方程组AX=b讨论AX=b 有解与左、右逆存在的关系。借助于左、右逆求AX=b的形如X=Bb的解。1、右可逆矩阵定理4 4 (P . 95)A C m n右可逆，则bCm，AX=b有解。X= b 是方程组AX=b的解。第一百零九张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月二、单侧逆和求解线性方程组AX=b2、左可

55、逆矩阵求解分析：定理4 3 (P . 94)设矩阵A C m n左可逆，B是矩阵A的任何一个左逆，则AX=b有形如X=Bb的解的充要条件是 ( ImAB )b=0 ()当()式成立时，方程组的解是惟一的，而且惟一解是X=（AHA）1AH b证明：讨论：对任何满足式( ) 的左逆B，X=Bb都是方程组的 解，如何解释方程组的解是惟一的？第一百一十张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月 4. 2 广义逆矩阵思想：用公理来定义广义逆。一、减号广义逆定义4 . 2 (P . 95) A C m n ，如果，G C n m使得，AGA=A，则矩阵G为的A减号广义逆。或1逆。A的减号逆集合A1=A

56、11，A21， ， Ak1 例题1 A C nn可逆，则A1 A1； A单侧可逆，则A 1LA1；A1RA1。减号逆的求法：定理4.5（P . 95）减号逆的性质：定理4.6 (P . 96)第一百一十一张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月二、Moore-Penrose（M-P）广义逆由Moore 1920年提出，1955年由Penrose发展。1、 定义4.3 (P . 98)设矩阵A C m n ，如果 GC n m ，使得AGA=A GAG=G（AG）H = AG（GA）H =GA 则称G为A的M-P广义逆，记为G=A+。 A1 = A + ； A1L = （AHA）1AH=A

57、 +； A 1R =AH（AAH）1=A + ； 若 A + ，则A + 是 A1 。例题2 讨论原有的逆的概念和M-P广义逆的关系。第一百一十二张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月3、M-P广义逆的存在性及其求法定理4.8（P . 99）任何矩阵都有M-P广义逆。求法：设A满秩分解A=BC， 则A + =CH （CCH ）1（BH B）1BH 。（定理4.9）设A奇异值分解 ：，则2、M-P 广义逆的惟一性定理4.9 (P . 98)如果A有M-P广义逆，则A的 M-P广义逆是惟一的。第一百一十三张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月例题1 求下列特殊矩阵的广义逆； 零矩阵

58、0；1阶矩阵( 数) a；对角矩阵例题3 设 ， 求A+。0 + mn =0 nm 例题2 设向量 的M-P广义逆。.第一百一十四张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月4、M-P广义逆的性质定理4.12 (P . 100) ：则A满足下列性质：（ A + ）+=A（A + ） H =（A H ）+（A）= +A+A列满秩，则A+=（ A H A ） 1A H ，A行满秩，则A+=AH （AAH） 1。A有满秩分解：A=BC，则A+=C+B+。A +与A1 性质的差异比较：（AB）1=B 1 A 1 ，一般不成立（AB）+=B+A+。（只有满秩分解成立）（A1）k =（Ak） 1 ，但不

59、成立（A+）k=（Ak）+第一百一十五张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月 4. 3 投影变换（为讨论A + 的应用做准备）问题：逆在什么情形下是有用的？一、投影变换和投影矩阵定义4.4（P . 101）设Cn=L M ，向量x Cn, x=y+z， y L， z M， 如果线性变换 ： C nCn ， （x）=y， 则称为从 Cn 沿子空间M到子空间L的投影变换。投影变换的矩阵R（ ）=L； N（ ）=M， Cn=R（ ） N（ ）L和M是的不变子空间；L=I； M =0投影的矩阵和变换性质：定理4 .13（P . 101） 是投影 是幂等变换推论： 为投影变换的充要条件是变换矩阵

60、是 幂等矩阵第一百一十六张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月二、正交投影和正交投影矩阵正交投影的定义：定义4.5 （P . 103） 设 ：C nCn 是投影变换， C n =R（） N（），如果 R （） =N（），则称为正交投影。2 正交投影矩阵定理4.14（P . 103）是正交投影 投影矩阵A满足：A 2 =AAH=A例题1 设W是C n 的子空间，证明 存在到W的投影变换， 使R（）=W。第一百一十七张，PPT共一百四十六页，创作于2022年6月3、正交投影的性质定理4.16（P . 104）设W是C n的子空间，x0C n，x 0 W，如果是空间C n向空间W的正交投影，