辽宁省沈阳九中2023学年高考数学四模试卷（含解析）

1、2023学年高考数学模拟测试卷注意事项1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

2、的。1已知全集，则集合的子集个数为（ ）ABCD2已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是ABCD3若复数满足（为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（ ）ABCD4设直线过点，且与圆：相切于点，那么（ ）AB3CD15在中，为的外心，若，则（ ）ABCD6根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x，y进行回归分析，设u= lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为=0.5v+2，则变量y的最大值的估计值是（ ）AeBe2Cln2D2ln27已知各项都为正的等差数列中，若，成等比数列，则（ ）ABCD8已知等差数列的前项和为

3、，若，则等差数列公差（）A2BC3D49是的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件10已知分别为圆与的直径，则的取值范围为（ ）ABCD11已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差为（ ）ABCD12已知函数满足，设，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知，且，则_14已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是_15已知三棱锥中，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为_.16利用等面积法可以推导出在边长为a的正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值，类

4、比上述结论，利用等体积法进行推导，在棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和也为定值，则这个定值是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数，设为的导数，（1）求，； （2）猜想的表达式，并证明你的结论18（12分）设函数.（1）时，求的单调区间；（2）当时，设的最小值为，若恒成立，求实数t的取值范围.19（12分）已知函数的导函数的两个零点为和（1）求的单调区间；（2）若的极小值为，求在区间上的最大值20（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，（）求与平面所成角的正弦（）求二面角的余弦值21（12分）在三棱锥中，是边长为的

5、正三角形，平面平面，M、N分别为、的中点.（1）证明：；（2）求三棱锥的体积.22（10分）已知在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且（1）求角A的值；（2）若，设角，周长为y，求的最大值2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【答案解析】先求B.再求，求得则子集个数可求【题目详解】由题=, 则集合,故其子集个数为故选C【答案点睛】此题考查了交、并、补集的混合运算及子集个数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，是基础题2、D【答案解析】根据点差法得，再根据焦点坐标得，解方程组得，

6、即得结果.【题目详解】设双曲线的方程为，由题意可得，设，则的中点为，由且，得 ， ，即，联立，解得，故所求双曲线的方程为故选D【答案点睛】本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.3、D【答案解析】由已知等式求出z，再由共轭复数的概念求得，即可得虚部.【题目详解】由zi1i，z ，所以共轭复数=-1+，虚部为1故选D【答案点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念，属于基础题4、B【答案解析】过点的直线与圆：相切于点，可得.因此，即可得出.【题目详解】由圆：配方为，半径.过点的直线与圆：相切于点，；故选：B.【答案点睛】本小题主要考查向量数量积的计算，

7、考查圆的方程，属于基础题.5、B【答案解析】首先根据题中条件和三角形中几何关系求出，即可求出的值.【题目详解】如图所示过做三角形三边的垂线，垂足分别为，过分别做，的平行线，由题知，则外接圆半径，因为，所以，又因为，所以，由题可知，所以，所以.故选：D.【答案点睛】本题主要考查了三角形外心的性质，正弦定理，平面向量分解定理，属于一般题.6、B【答案解析】将u= lny，v=(x-4)2代入线性回归方程=-0.5v+2，利用指数函数和二次函数的性质可得最大估计值.【题目详解】解：将u= lny，v=(x4)2代入线性回归方程=0.5v+2得：，即，当时，取到最大值2，因为在上单调递增，则取到最大值

8、.故选：B.【答案点睛】本题考查了非线性相关的二次拟合问题，考查复合型指数函数的最值，是基础题,.7、A【答案解析】试题分析：设公差为或（舍），故选A.考点：等差数列及其性质.8、C【答案解析】根据等差数列的求和公式即可得出【题目详解】a1=12，S5=90，512+ d=90，解得d=1故选C【答案点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9、B【答案解析】分别判断充分性和必要性得到答案.【题目详解】所以 （逆否命题）必要性成立当，不充分故是必要不充分条件，答案选B【答案点睛】本题考查了充分必要条件，属于简单题.10、A【答案解析】由题先画出基本图形，结合向

9、量加法和点乘运算化简可得，结合的范围即可求解【题目详解】如图，其中，所以.故选：A【答案点睛】本题考查向量的线性运算在几何中的应用，数形结合思想，属于中档题11、D【答案解析】根据等差数列公式直接计算得到答案.【题目详解】依题意，故，故，故，故选：D【答案点睛】本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.12、B【答案解析】结合函数的对应性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可【题目详解】解：若，则，即成立，若，则由，得，则“”是“”的必要不充分条件，故选：B【答案点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数的对应性是解决本题的关键，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题

10、5分，共20分。13、【答案解析】试题分析：因,故,所以，,应填.考点：三角变换及运用14、【答案解析】函数恰有4个零点，等价于函数与函数的图象有四个不同的交点，画出函数图象，利用数形结合思想进行求解即可.【题目详解】函数恰有4个零点，等价于函数与函数的图象有四个不同的交点，画出函数图象如下图所示：由图象可知：实数的取值范围是.故答案为：【答案点睛】本题考查了已知函数零点个数求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想.15、【答案解析】设的中心为T，AB的中点为N，AC中点为M，分别过M，T做平面ABC，平面PAB的垂线，则垂线的交点为球心O，将的长度求出或用球半径表示，再利用余弦定理即

11、可建立方程解得半径.【题目详解】设的中心为T，AB的中点为N，AC中点为M，分别过M，T做平面ABC，平面PAB的垂线，则垂线的交点为球心O，如图所示因为，所以，又二面角的大小为，则，所以，设外接球半径为R，则，在中，由余弦定理，得，即，解得，故三棱锥外接球的表面积.故答案为：.【答案点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积问题，解决此类问题一定要数形结合，建立关于球的半径的方程，本题计算量较大，是一道难题.16、【答案解析】计算正四面体的高，并计算该正四面体的体积，利用等体积法，可得结果.【题目详解】作平面，为的重心如图则，所以设正四面体内任意一点到四个面的距离之和为则故答案为：【答案点睛】本题考

12、查类比推理的应用，还考查等体积法，考验理解能力以及计算能力，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、,；，证明见解析【答案解析】对函数进行求导,并通过三角恒等变换进行转化求得的表达式,对函数再进行求导并通过三角恒等变换进行转化求得的表达式;根据中，的表达式进行归纳猜想,再利用数学归纳法证明即可.【题目详解】（1），其中， ，其中， （2）猜想， 下面用数学归纳法证明：当时，成立， 假设时，猜想成立即 当时，当时，猜想成立由对成立【答案点睛】本题考查导数及其应用、三角恒等变换、归纳与猜想和数学归纳法;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;熟练掌握用数学归纳法

13、进行证明的步骤是求解本题的关键;属于中档题.18、（1）的增区间为，减区间为；（2）.【答案解析】（1）求出函数的导数，由于参数的范围对导数的符号有影响，对参数分类，再研究函数的单调区间；（2）由（1）的结论，求出的表达式，由于恒成立，故求出的最大值，即得实数的取值范围的左端点【题目详解】解：（1）解：， 当时，解得的增区间为，解得的减区间为. （2）解：若，由得，由得，所以函数的减区间为，增区间为；， 因为，所以，令，则恒成立，由于，当时，故函数在上是减函数，所以成立； 当时，若则，故函数在上是增函数，即对时，与题意不符；综上，为所求【答案点睛】本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，求解

14、本题关键是根据导数研究出函数的单调性，由最值的定义得出函数的最值，本题中第一小题是求出函数的单调区间，第二小题是一个求函数的最值的问题，此类题运算量较大，转化灵活，解题时极易因为变形与运算出错，故做题时要认真仔细19、（1）单调递增区间是，单调递减区间是和；（2）最大值是【答案解析】（1）求得，由题意可知和是函数的两个零点，根据函数的符号变化可得出的符号变化，进而可得出函数的单调递增区间和递减区间；（2）由（1）中的结论知，函数的极小值为，进而得出，解出、的值，然后利用导数可求得函数在区间上的最大值.【题目详解】（1），令，因为，所以的零点就是的零点，且与符号相同又因为，所以当时，即；当或时，

15、即.所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和； （2）由（1）知，是的极小值点，所以有，解得， ，所以因为函数的单调递增区间是，单调递减区间是和.所以为函数的极大值，故在区间上的最大值取和中的最大者，而，所以函数在区间上的最大值是【答案点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间与最值，考查计算能力，属于中等题.20、 (1) .(2) .【答案解析】分析：（1）直接建立空间直角坐标系，然后求出面的法向量和已知线的向量，再结合向量的夹角公式求解即可；（2）先分别得出两个面的法向量，然后根据向量交角公式求解即可.详解：（）是矩形，又平面，即，两两垂直，以为原点，分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标

16、系，由，得，则，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，故与平面所成角的正弦值为（）由（）可得，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，故二面角的余弦值为点睛：考查空间立体几何的线面角，二面角问题，一般直接建立坐标系，结合向量夹角公式求解即可，但要注意坐标的正确性，坐标错则结果必错，务必细心，属于中档题.21、（1）证明见解析；（2）.【答案解析】（1）取 中点，连接，证明平面，由线面垂直的性质可得；（2）由，即可求得三棱锥的体积【题目详解】解：（1）证明：取中点D，连接，.因为，所以且，因为，平面，平面，所以平面.又平面，所以；（2）解：因为平面，平面，所以平面平面，过N作于E，则平面，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面