求解静电磁场的方法

1、第四章求解静电磁场的方法1第四章求解静电磁场的方法1 电像法24-1 enantiomorphous method 解决的问题：一个或几个点电荷；区域边界是导体或介质面方法：以某个或几个假想电荷（镜象电荷）代替感应电荷。注意：不改变所研究空间电荷分布。即泊松方程不受影响关键：满足边界条件3 4-1 enantiomorphous method 例1接地无限大平面导体板，附近一点电荷Q (距板a)，求空间中的电场。解：空间场 点电荷Q+感应电荷边界条件：导体上镜象电荷Q（镜象电荷）：与电荷Q 关于导体板对称；Q= -Q满足边界条件：导体板为等势体。等量异种电荷连线的中垂面是等势面场点P 电势（P

2、Q - r, PQ- r):OQ(0,0,a)Q(0,0,-a)P(x,y,z)xy4点电荷对接地相交半无限大平面导体平面xyqd2d1d1d1d1d2d2d2q3= qq2= -qq1= -qABO满足OA 边零电势q1满足OB 边零电势q2同时满足OA、OB 边零电势q3OA与OB 夹角=/n，镜像电荷个数为（2n-1)个5 4-1 enantiomorphous method 例2 真空中接地导体球半径R0 ，距离球心a (aR0 )处有点电荷Q。求空间某个点的电势。QQOabrR0rPQQOabrRrP解：镜象电荷Q，由对称性Q在OQ连线上 。 由边界条件确定Q及位置6 4-1 ena

3、ntiomorphous method 球面上任一点P，边界条件（电势为零）：即：只要选Q使OQP OQP: 7 4-1 enantiomorphous method 球外任意一点P的电势：讨论：由高斯定律Q等于球面上总感应电荷Q的大小、位置选择满足边界条件QQ，因Q发出的电力线只有一部份收敛于Q，余下的伸展到无穷远8 4-1 enantiomorphous method 例3 若上题中导体球不接地且带电荷Q0， 求球外电势分布，及电荷Q所受力。 解：导体条件： （1）球面为等势面（不为零） （2）从球面发出的总电通量Q0如上题假设电荷Q球面电势为零。球心加另一假设电荷( Q0 Q) 球面等势

4、面，电势( Q0 Q) /40R0球体总电荷Q0和9 4-1 enantiomorphous method 球外任意一点P的电势：电荷Q 受到Q和（Q0 - Q）的作用力：Q激发的电势Q= -R0Q/a 激发的电势(Q0 -Q) 激发的电势10介质平面zxqh12xqh11qhp介质1中电势 ：镜像q 代替极化电荷； 整个空间充满1介质xh22q”+qp介质2中电势 ：镜像q” 代替极化电荷； 整个空间充满2介质上、下无限大空间充满两种不同介质，介质1中点电荷q 4-1 enantiomorphous method xh22q”+qp11介质1、2中电势分别为： 4-1 enantiomorp

5、hous method 12Z=0,边界条件 4-1 enantiomorphous method 131.像电荷等于感应电荷吗 问题带电不接地导体球+Q模型中，没有依据可以说明Q、Q”等于感应电荷，二者之和为Q0。由于感应电荷，使球面电荷分布变化，像电荷Q偏心。接地导体球+Q模型中，Q等于感应电荷。（用高斯定理可得）不能一概而论2. 可以求到感应电荷吗？ 如接地无限大导体板+Q模型中，由ED如带电球+Q模型中，则为所带电荷重新分布的结果143.像电荷电量选取唯一吗？接地导体球+Q模型中，球面上的势得对任何上式均成立，可得解为：（无意义，舍去）（唯一像电荷）和无穷大接地导体+Q模型,对称-Q为

6、边界条件之唯一像电荷.15或者。边界条件可写为：式中r、r是 P点坐标的函数，Q、Q不是坐标函数；P点取球面任何一点上式均成立。因此比值r/r对球面上任何一点均具有同一数值即为一常数：即只有在三角形相似时，比值r/r对球面上任何一点均具有同一数值162 拉普拉斯方程 分离变量法第四章求解静电磁场的方法17 4-2 Laplace equation几类边界条件：（1）两绝缘介质的边界条件：（2）给出导体电势：（3）给出导体总电量：导体表面自由电荷密度：18 4-2 Laplace equation拉普拉斯方程：选择导体表面为区域V边界，V内部自由电荷密度=0， 泊松方程简化为拉普拉斯方程拉普拉斯

7、方程的通解用分离变量法求出：以界面形状定坐标分离变量法求通解边界条件定常数19球坐标下的拉普拉斯方程：若仅为r和的函数(2D) ： 4-2.1 球坐标系下的分离变量法20分离变量：代入上式，除以R: 4-2.1 球坐标系下的分离变量法21式1：其通解：解代入上式1得： 4-2.1 球坐标系下的分离变量法22式2写为：令：式2变为： 4-2.1 球坐标系下的分离变量法23其解为勒让德多项式：电势的通解为： 4-2.1 球坐标系下的分离变量法2425球坐标下的通解（一般3D）：Anm, bnm,cnm,dnm 常数由边界条件定。 Pnm(cos) 缔合勒让德函数。有对称轴取为极轴，电势不依赖只须由

8、边界条件定常数 4-2.1 球坐标系下的分离变量法26例1 内径、外经分别为R2和R3的带电导体球壳，带电Q，包围同心导体球R1（R2），球接地。求空间个点电势，导体球感应电荷。解：球对称，电势不依赖，取n=0 ( P0(cos)=1)解写为，球壳外、内电势：12R1R2R3 4-2.1 球坐标系下的分离变量法27边界条件：内导体球接地：导体球壳为等势体：球壳总电荷：dSE=- 4-2.1 球坐标系下的分离变量法以球壳为对象，两个闭合曲面（R2，R3）包围。后一项面积外法线指向球心.Q+Q1-Q128将，代入边界条件：其中： 4-2.1 球坐标系下的分离变量法29电势：导体球上感应电荷：解题步

9、骤：1. 对称分析简化通解2. 边界条件分析3. 确定常数 4-2.1 球坐标系下的分离变量法30例2 介电常数的介质球置于均匀外电场E0 中，求电势。球半径R0 ， 球外为真空。z解：电场在球上激发束缚电荷，束缚电荷的场叠加于外场，得到总电场E。对称性：轴对称 （球直径），极轴取过球心区域内无自由电荷，满足拉普拉斯方程。球外电势1，球内2， 通解：球外球内以边界条件定常数 4-2.1 球坐标系下的分离变量法31(1)无穷远处，EE0. 势则为外电场的势 , (R) =E0 Rcos*R, b1项1/R20(2) R=0, 2 为有限值(3) 介质球面上 (R=R0) 4-2.1 球坐标系下的

10、分离变量法32把1，2 的通解代入上二式：an=0 (n1). 余a1 项比较P1的系数： Pn 系数： 4-2.1 球坐标系下的分离变量法33得：讨论：球内场极化强度矢量：球总电偶极矩：电偶极矩产生的势： 4-2.1 球坐标系下的分离变量法34*匀强电场E0的势原点势x为P点位矢匀强电场可认为是无限大平行板电容器产生的场, 电荷分布不限制在有限区域,不能选无穷远为0 电势.选原点势为0.35例3 导体球置于均匀外电场E0 中，求电势和导体上电荷面密度。球半径R0 。球外为真空。导体球接地。 4-2.1 球坐标系下的分离变量法36解 3 ：电场在球上激发感应电荷对称性：轴对称 （球），极轴取过

11、球心导体外区域无自由电荷，满足拉普拉斯方程。球外电势， 通解：球外 4-2.1 球坐标系下的分离变量法37(1)无穷远处，EE0. (R) =ERcos（2）R=R0, =0（导体电势）P1P2R, b1项1/R20 4-2.1 球坐标系下的分离变量法比较P1系数比较Pn系数38得导体面上感应电荷面密度 4-2.1 球坐标系下的分离变量法读书例P71 例2、339例4 导体尖劈带电势V，分析它的尖角附近的电场解：用柱坐标，z轴沿尖劈边。尖劈以外空间02- (小角）。 电势不依赖z,拉氏方程：用分离变量法。设特解：拉氏方程：正实数或零R函数与 函数都为常数（设为2 ） ，才可相等* 4-2.1

12、球坐标系下的分离变量法40 xz 4-2.1 球坐标系下的分离变量法41特解叠加得通解：边界条件：（1）尖劈面上=0, =V, 与r无关 4-2.1 球坐标系下的分离变量法42（2）r0, 有限(3) 尖劈面上=2-, =V与r无关可能值：xrr0, x 4-2.1 球坐标系下的分离变量法43电势可写为：确定A还需给定边界条件。对尖角附近的分析。尖角附近r0, 求和式的主要贡献来自于低次幂n=1:电场： 4-2.1 球坐标系下的分离变量法44尖劈两面上的电荷密度 很小，11/2, r -1/2. 尖端放电 4-2.1 球坐标系下的分离变量法45柱坐标系下的分离变量法电势通解：直角坐标系下的分离

13、变量法双曲函数通解形式：指数函数通解形式：463 电多极矩第四章求解静电磁场的方法474-3 Multi-dipole4-3.1 expended formula of electrical potential电荷密度（x) 激发的电势：通常：r（场点到电荷距离） l （电荷分布区域V的尺度） 以l/r 表示并展开以得到近似值48V区域内取O点为原点，O到P点距离R(场源点)场点到原点：x in V, R. 把x-x函数对小参量 x展开4-3.1 expended formula of electrical potential494-3.1 expended formula of electr

14、ical potentialx-x 的任意函数f(x-x) 在x=0 附近展开(多元函数)取f(x-x)=1/x-x=1/r, 有：504-3.1 expended formula of electrical potential令：张量 Dij51张量 Tij: 是具有9个分量的物理量。表示为：或并矢：矢量A, B 并列，记为AB，九个分量524-3.1 expended formula of electrical potential张量Dij 称为电四极矩。电四极矩可表为并矢：v534-3.2 Multi-dipole电势展开第一项：原点点电荷激发的电势，一级近似电势展开第二项：电偶极矩p

15、产生的电势544-3.2 Multi-dipole电偶极矩p 产生的电势+Q-QlO Pr+r-Rx 点上有正电荷Q, -x 点上有负电荷-Q电偶极矩：电偶极子激发电势：lR时：z554-3.2 Multi-dipole电势展开第三项：电四极子Dij激发的电势xi, xj 可互换，值不变。Dij 有6各分量：D11， D22，D33，D12=D21，D13=D31, D23=D32. 564-3.2 Multi-dipole电四极子Dij激发的电势+-lO Pr+r-Rz-+电偶极矩+p,电偶极矩-p 构成。总电荷为零，总电偶极矩为零。电四极矩：只有z方向，电荷坐标不为零， 即只有D33.正电

16、荷位于z=b, 负电荷位于z=a57电四极子Dij激发的电势4-3.2 Multi-dipole同于（2）书p74两个电偶极子势之和58电荷 电偶极子 电四极子电八极子.特征量电量Q表示Q，l（电荷间距离）电偶极矩电四极矩张量电偶极矩p， l（电极子间距离）59*4-3.2 Multi-dipoleD11 由两对x轴正负电荷组成。y+-xzD11+-xyzD22D12IIxyIIyzD23IIxzD3160*4-3.2 Multi-dipole电四极矩只有五个独立分量( 某定义下)当R0时，有书p45引入ij因此，第一式可写为：ij 时， =0，i=j 时， 同于一式的项为零 61*4-3.2

17、 Multi-dipole电势的展开式第三项，可写为其中由上页结论，加入不影响值62*4-3.2 Multi-dipole定义电四极矩：电势的展开式第三项，仍可写为利用电四极矩定义式，张量满足(3x2-r2)+ (3y2-r2)+ (3z2-r2)=063*4-3.2 Multi-dipole或写为并矢单位张量64*4-3.2 Multi-dipole对球对称分布电荷因此，D11=D22=D33=0而且，D12=D23=D31=0无电四极矩若电荷分布偏离球对称，一般会出现电四极矩。如沿z轴的椭球：由对称性65*4-3.2 Multi-dipole例 均匀带电的长形旋转椭球体半长轴为a 半短轴为

18、b, 带总电荷Q, 求它的电四极矩和远处的电势。解：z为旋转轴，椭球方程椭球电荷密度电四极矩：由对称性:xzxyy+-66*4-3.2 Multi-dipole令x2+y2=s2,由对称性67*4-3.2 Multi-dipole68*4-3.2 Multi-dipole电四极矩产生的电势：69*4-3.2 Multi-dipole椭球电偶极矩：对称远处电势，精确到电四极矩：70*2-6.3 energy of charge system in exterior field 外电场电势为e , 电荷分布(x) 的体系在外电场中能量：若电荷分布于小区域内，原点取于区域内， e 对原点展开：71*

19、2-6.3 energy of charge system in exterior field 第一项：电荷集中到原点时在外场的能量。第二项：体系电偶极矩在外场的能量。72*2-6.3 energy of charge system in exterior field 第三项：电四极子在外场中的能量。只有在非均匀场中其能量才不为零（场在空间变化）733 磁多极矩第四章求解静电磁场的方法743-3 magnetic multi-moment 3-3.1 expended formula of magnetic vector potential给定电流分布在空间激发磁矢势若电流分布于小区域V， 场

20、点x 较远；取区域内某点为原点，把1/r 展开。753-3.1 expended formula of magnetic vector potential第一项：由恒定电流的连续性，电流可分为许多闭和的电流管。一个电流管：无磁单极，（对比电场，有电荷产生的势）763-3.1 expended formula of magnetic vector potential第二项：恒定电流，电流管R 与积分变量无关。x是线圈上各点坐标，因此，dx=dl。ox1x2dxdl773-3.1 expended formula of magnetic vector potential全微分绕闭合回路的线积分为零

21、：矢量公式，及 dx=dl 。可得：即：矢量公式(I.2)783-3.1 expended formula of magnetic vector potential其中：m称为磁矩体分布电流，IdlJdV， 793-3.1 expended formula of magnetic vector potential小线圈，线圈所围面积为S，有小线圈磁矩：扇形面积S=rl/2803-3.2 field and scalar potential magnetic dipole带入磁偶极子的矢势A(1) ，磁感应强度：=0=0m不是x 的函数813-3.2 field and scalar poten

22、tial magnetic dipoleR0时，有电流分布以外空间，磁场可用磁标势表示（第二节）823-3.2 field and scalar potential magnetic dipole由矢量公式=0m非x的函数=0因：见B(1)所以：833-3.2 field and scalar potential magnetic dipole一个任意电流线圈的总磁偶极矩：S是线圈所围的某一个曲面，不唯一。m 应不依赖S的选取。以线圈为边界得曲面S1和S2，这S1 与 -S2 （法线反向）合起来为闭合曲面： m具有相同值843-3.3 energy of current in exterior

23、 magnetic field 外磁场Be 的矢势Ae，电流分布在场中相互作用能：若是电流线圈：e 外磁对线圈L的磁通853-3.3 energy of current in exterior magnetic field 若电流分布的区域很小，远小于磁场发生显著变化的线度；坐标原点选于区域内某点。Be(x) 可在原点邻域展开：代入上式取第一项电偶极子在外电场中的能量：成立条件：线圈上电流、产生外磁场电流不变863-3.3 energy of current in exterior magnetic field 设外磁场有线圈 L e的电流 Ie 产生。相互作用能：e 外磁对线圈 L 的磁通；

24、电流I对Le的磁通若线圈运动而电流不变，磁能改变:磁通变，感应电动势，为使电流不变，须电源供能抵抗感应电动势的功。线圈上电流、产生外磁场电流不变情况下：873-3.3 energy of current in exterior magnetic field L及Le 的感应电动势：在t 内感应电动势的功：为使电流不变，电源供能抵抗感应电动势的功：上页883-3.3 energy of current in exterior magnetic field 能量守恒：体系-外电源，电磁场，线圈电流。线圈移动时场对其的功A; 电源提供能Ws; 总磁能改变W因：得：对线圈作功等于磁能的增量。定义势函数

25、U（力学） ：作功等于势函数U 的减小磁偶极子的势函数U： 同电场形式893-3.3 energy of current in exterior magnetic field 磁偶极子在外磁场中受力：因产生外电场的电流一般不在磁矩m所在区域。取第一项为零磁偶极子所受力矩：矢量（I.23）905 格林函数法第四章求解静电磁场的方法914-5 Green function 研究问题：给定V内电荷分布和V的边界S上各点电势S或电场法线分量 ， 求各点电势4-5.1function of point charge density 点电荷的电荷密度分布：体积很小，电荷密度很大的带电小球的极限。 V0,

26、。单位点电荷的电荷密度分布，可用函数表示：x=0, (x)=. 函数是连续函数的极限。 广义函数924-5.1 function of point charge density x2a2a0, 且曲线下面积=1极限为函数处于x 的单位点电荷密度用(x-x)表示：934-5.1 function of point charge density 函数重要性质：若f(x) 为在原点附近的连续函数，原点包括在V内，有：若f(x) 为在x=x附近的连续函数，x包括在V内，有：理解：(x-x) 仅在x=x 点上不为零。该点f(x)=f(x), 函数积分为1944-5.2 Green function 处于

27、x 点上单位点电荷所激发的电势满足泊松方程：把此时的(x) 定义为格林函数 G(x-x)，即格林函数满足微分方程：第一类边值问题的格林函数：含x的区域V的边界S 上有边界条件第二类边值问题的格林函数：含x的区域V的边界S 上有边界条件n为面积S法线x源点（点电荷所在点） ，x 场点，2是对 x 的微分 面积无穷大唯一性定律: 、或954-5.2 Green function 几种区域的格林函数：（1）无界空间的格林函数：在 x 处的单位点电荷激发的电势:无界空间的格林函数为：上式是否满足格林函数的微分方程？96*4-5.2 Green function 证明：设点电荷位于原点，球坐标中，用极限

28、方法：97*4-5.2 Green function 作积分变换 r=a , 存在极限:因此：电源于x 点，r为x, x 距离：984-5.2 Green function （2）上半空间的格林函数（电像法例1）Q=1, 上半空间第一类边界问题的格林函数：电荷Q 坐标(x,y,z), 场点(x,y,z), r 是x与 x距离，r是 镜像点(x,y, -z)与 x 距离994-5.2 Green function （3）球外空间的格林函数（电像法例2）Q=1, 球心为原点，电荷Q处于P点的 坐标(x,y,z), 场点P点(x,y,z), 镜象点坐标为：P561004-5.2 Green func

29、tion yzxPPxxQrr格林函数的互易性：1014-5.3 boundary condition and Green formula 从格林函数获得一般边值问题的解第一类边界问题：V内电荷分布，边界上给定，求电势(x)格林函数问题：内x上有一点电荷，边界上给定电势为，内电势(x)(x,x)格林公式可联系此两问题。格林公式：n 为界面S的外发线1024-5.3 boundary condition and Green formula 格林公式证明：减去，互换的式子：化为积分，右项体积分为面积分则的格林公式1034-5.3 boundary condition and Green formu

30、la 取满足泊松方程：取为格林函数(x,x)积分变量由x 变为x ，格林公式中x 与x 互换：1044-5.3 boundary condition and Green formula 左第二项为：用格林函数，函数性质把泊松方程代入左第二项1054-5.3 boundary condition and Green formula 第一类边值问题中，格林函数满足边界条件：第一类边值问题的解：如已知格林函数，和给定, 可求(x)1064-5.3 boundary condition and Green formula 第二类边值问题：G(x, x) 是单位电荷激发的电势：满足上式最简单的边界条件为

31、：第二类边值问题的解：是电势在上的平均值1074-5.3 boundary condition and Green formula 例 无穷大导体平面上有半径为a 的圆，圆内园外用狭窄的绝缘环绝缘。圆内电势为V0 ，导体其余部分电势为零，求上半空间的电势。解：取柱坐标，原点-圆心，z轴垂直平板。R 空间到z轴距离。X点直角坐标(Rcos, Rsin ,z), X点 (Rcos, Rsin ,z)上半空间格林函数;108zxyR 1094-5.3 boundary condition and Green formula 上半空间=0，拉普拉斯方程第一边值问题。积分面S是z=0无穷大平面，法线沿-

32、z。只有圆内电势不为零，积分在ra1104-5.3 boundary condition and Green formula 1114-5.3 boundary condition and Green formula R2+z2a2时，展开被积函数：1126 超导体的电磁性质第四章求解静电磁场的方法1134-6 superconducting material 4-6.1 base electromagnetic phenomena (1) 超导电性：超导临界温度TC ：此温度以下，电阻率为零-超导态；此温度以上，正常态。不同材料有不同的临界温度。如汞TC=4.2K.临界磁场HC:处于超导态物

33、体，若加一大于临界值HC 的磁场，物体将由超导态变为正常态。HC(T)经验公式：超导态正常态HCTTCH01144-6.1 base electromagnetic phenomena （2）迈斯纳效应超导体内部的磁感应强度B=0，与超导所经历的历史无关。超导的迈斯纳效应是独立于零电阻性的。超导不能简单看作导体当电导率趋于无穷的极限。通常导体有 J有限，E0， B不随时间变。不能导出B=0，即不能导出B 被排出导体外。1154-6.2 electromagnetic equation （1）伦敦第一方程超导量子现象。超导时，部分传导电子聚于一个量子态，完全有序，不受晶格散射，无电阻。其余正常电

34、子传导电子密度n, 超导电子nS, 正常电子nn：导体内电流密度 J，超导电流JS, 正常电流Jn正常电流满足欧姆定律：1164-6.2 electromagnetic equation 对超导电流，E使电子加速（无阻尼）：超导电流密度：伦敦第一方程1174-6.2 electromagnetic equation 恒定情况下，E=0，Jn=0. 恒定情况下，导体内电流完全来自于超导电子。交变情况下， ， E0，Jn0. 有电阻损耗设交变电流频率，1184-6.2 electromagnetic equation （2）伦敦第二方程迈斯纳效应指出超导内部B=0。超导表面两侧，边值条件：磁场在超

35、导表面薄层内存在，麦氏方程：除麦氏方程，伦敦假设另一磁场与电流制约关系：伦敦第二方程超导体外部有磁场时1194-6.2 electromagnetic equation 伦敦第二方程与麦氏方程相容。伦敦第一方程取旋度，及麦氏方程对时间积分：设f(x)=0即伦敦第二方程1204-6.2 electromagnetic equation 超导电磁性质方程：可导出迈斯纳效应。对恒定电流，J=JS， 麦氏方程：取旋度，伦敦方程，B散度为零：即1214-6.2 electromagnetic equation 一般超导，L10-7m. 是B显著变化的线度。设超导体占满z0的上半空间，B沿x轴, Bx=B

36、(z)解为：当z为L 的数倍时，B（z）基本为零。穿透深度L ：标志磁场透入导体内的线度。1224-6.2 electromagnetic equation 超导体内的电流分布：与磁场形式相同。超导电流只能存在于超导体表面厚度约L 的薄层内。1234-6.2 electromagnetic equation 例：求超导体的面电流密度S 和边界上磁感应强度的关系解：设超导体占满z0的上半空间，设JS沿x轴zxJS边值关系：由迈斯纳效应，超导体内H1=B1/=0, 体外H2=B/0法线方向：B2n=B1n=0L边界上，B与界面相切124xzyJs: 体电流密度。沿x方向Js:s：面电流密度。在z=

37、0表面上流动。s因为电流分布主要分布于表面，用体密度求到的电流基本等于用面密度求到的电流。1254-6.2 electromagnetic equation BS超导体处于外磁场中：迈斯纳效应，体内B=0，即导体表面产生超导电流S，其磁场与外磁场反向，屏蔽外磁。可知S方向如图1264-6.3 superconductor as complete diamagnet B-J; H-Jf ; M-JM把超导电流看作自由电流， 与H相联系（上节）把超导电流看作磁化电流， 与M相联系 略去超导分子的磁化电流（很小）：即：S 超导电流密度（书P35）超导B=0，及超导体是完全抗磁体。（抗磁体：M0，M

38、与H 反向。抗磁体分子无固有磁矩）1274-6.3 superconductor as complete diamagnet 例：超导体球置于均匀外磁场中，求磁场和超导面电流分布解：超导电流看为磁化电流，无自由电流，体外、体内磁标势满足：用球坐标，原点在球心；极轴沿外场方向。均匀外场的磁标势：1，2 用勒让德多项式展开，从边界条件，1（R）= 0 只有cos 一次项，只展开cos 一次项即可。从无穷远条件，R=0有限。势展开简化为：1284-6.3 superconductor as complete diamagnet R=R0 上：即：势表达式带入：1294-6.3 superconductor as complete diamagnet 球内从2 ：因B2=0（H2 +M）=01304-6.3 s