湖北省省实验学校、武汉一中等六校2021-2022学年数学高二第二学期期末监测试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知直线l、直线m和平面，它们的位置关系同时满足以下三个条件：；l与m是互相垂直的异面直线若P是平面上的动点，且到l、m的距离相等，则点P的轨迹为（ ）A直线B椭圆C抛物线D双曲线2利用反证法证明“若，则”时，假设正确的是（ ）A都不为2B

2、且都不为2C不都为2D且不都为23已知空间向量OA向量OP=xOA+yOB+zOCA12B1C324二项式的展开式中的系数是（ ）ABCD5的展开式中，各项系数的和为32，则该展开式中x的系数为（ ）A10BC5D6已知,且，则的最小值是（ ）A1BCD37在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限8直线（为参数）上与点的距离等于的点的坐标是ABC或D或9 “杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的详解九章算法一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图下列数

3、表的构造思路就源于“杨辉三角”该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（ ）ABCD10函数的图象大致是（ ）ABCD11是第四象限角，,，则（ ）ABCD12设，则“”是的 （ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13由海军、空军、陆军各3名士兵组成一个有不同编号的的小方阵，要求同一军种不在同一行，也不在同一列，有_种排法14已知对任意正实数，都有，类比可得对任意正实数都有_15已知关于的不等式的解集为，则实数_.16如果实数满足线性约束条件，

4、则的最小值等于 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）设数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.18（12分）观察以下等式：131213+23（1+2）213+23+33（1+2+3）213+23+33+43（1+2+3+4）2（1）请用含n的等式归纳猜想出一般性结论，并用数学归纳法加以证明（2）设数列an的前n项和为Sn，且ann3+n，求S119（12分）在二项式的展开式中。（1）求该二项展开式中所有项的系数和的值；（2）求该二项展开式中含项的系数；（3）求该二项展开式中系数最大的项。20（12分）某理财公司有两种理财产品A和B，

5、这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：产品A投资结果获利40%不赔不赚亏损20%概率产品B投资结果获利20%不赔不赚亏损10%概率pq注：p0，q0（1）已知甲、乙两人分别选择了产品A和产品B投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求实数p的取值范围；（2）若丙要将家中闲置的10万元人民币进行投资，以一年后投资收益的期望值为决策依据，则选用哪种产品投资较理想？21（12分）为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计

6、数据如下表：超过1小时不超过1小时男208女12m（1）求m，n；（2）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？（3）以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.82822（10分）已知函数，.（1）若在处的切线与在处的切线平行，求实数的值；（2）若，讨论的单调性；（3）在（2）的条件下，若，求证：函数只有一个零点，且参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个

7、选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】作出直线m在平面内的射影直线n，假设l与n垂直，建立坐标系，求出P点轨迹即可得出答案【详解】解：设直线m在平面的射影为直线n，则l与n相交，不妨设l与n垂直，设直线m与平面的距离为d，在平面内，以l，n为x轴，y轴建立平面坐标系，则P到直线l的距离为|y|，P到直线n的距离为|x|，P到直线m的距离为，|y|，即y2x2d2，P点轨迹为双曲线故选：D【点睛】本题考查空间线面位置关系、轨迹方程，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题2、C【解析】根据反证法的知识，选出假设正确的选项.【详解】原命题的结论是“

8、都为2”，反证时应假设为“不都为2”故选：C【点睛】本小题主要考查反证法的知识，属于基础题.3、A【解析】由题求得OP的坐标，求得OP，结合4x+2y+z=4可得答案.【详解】 =x+y,y,z ，OP利用柯西不等式可得42OP故选A.【点睛】本题考查空间向量的线性坐标运算及空间向量向量模的求法，属基础题.4、B【解析】利用二项展开式的通项公式，令的幂指数等于，即可求出的系数.【详解】由题意，二项式展开式的通项公式为，令，解得，所以的系数为.故选：B【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题.5、A【解析】令得各项系数和，求得，再由二项式定理求得展开式中x的系数【详

9、解】令得，二项式为，展开式通项为，令，所以的系数为故选：A.【点睛】本题考查二项式定理，考查二项展开式中各项系数的和掌握二项式定理是解题关键赋值法是求二项展开式中各项系数和的常用方法6、B【解析】利用柯西不等式得出，于此可得出的最小值。【详解】由柯西不等式得，则，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：B.【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值，关键在于对代数式朝着定值条件等式去进行配凑，同时也要注意等号成立的条件，属于中等题。7、A【解析】先化简复数，然后求其共轭复数，再利用复数的几何意义求解.【详解】因为复数，其共轭复数为，对应的点是，所以位于第一象限.故选：A【点睛】本题主要考查复数

10、的概念及其几何意义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.8、D【解析】直接利用两点间的距离公式求出t的值，再求出点的坐标.【详解】由，得，则，则所求点的坐标为或.故选D【点睛】本题主要考查直线的参数方程和两点间的距离公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9、B【解析】由题意，数表的每一行从右往左都是等差数列，且第一行公差为1,第二行公差为2,第三行公差为4,第2015行公差为，故第1行的从右往左第一个数为：，第2行的从右往左第一个数为：，第3行的从右往左第一个数为：，第行的从右往左第一个数为： ，表中最后一行仅有一个数，则这个数是.10、D【解析】先分析函数奇偶性,再分析函数

11、是否有零点即可.【详解】因为,故为奇函数,排除A,B.又当时,故有零点,排除C.故选D【点睛】本题主要考查函数图像的判定方法,一般考虑奇偶性与函数的零点或者函数的正负等,属于基础题型.11、D【解析】根据同角三角函数基本关系，得到，求解，再根据题意，即可得出结果.【详解】因为，由同角三角函数基本关系可得：，解得：，又是第四象限角，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查已知正切求正弦，熟记同角三角函数基本关系即可，属于常考题型.12、A【解析】分析：先化简两个不等式，再利用充要条件的定义来判断.详解：由得-1x-11，所以0 x2.由得x2，因为，所以“”是的充分不必要条件.故答案为：A.点睛：（

12、1）本题主要考查充要条件的判断和不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.(2)本题利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题和集合的对应关系.，；最后利用下面的结论判断：（1）若,则是的充分条件，若，则是的充分非必要条件；（2）若,则是的必要条件，若，则是的必要非充分条件；（3）若且，即时，则是的充要条件.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2592【解析】假设海军为a，空军为b，陆军为c，先将a，b，c，填入的小方阵，有12种填入方法，再每个a，b，c填入3名士兵均有种，根据分步计数原理可得【详解】解：假设海军为a，空军为

13、b，陆军为c，先将a，b，c，填入的小方阵，则有种，每个a，b，c填入3名士兵均有种，故共有，故答案为：2592 【点睛】本题考查了分步计数原理，考查了转化能力，属于难题14、.【解析】分析：根据类比的定义，按照题设规律直接写出即可.详解：由任意正实数，都有，推广到则.故答案为点睛：考查推理证明中的类比，解此类题型只需按照原题规律写出即可，属于基础题.15、【解析】因为，可得，根据根据关于的不等式的解集为，可得，分别讨论和不等式解情况，即可求得答案.【详解】根据关于的不等式的解集为可得解得：，故不合符题意，舍去.综上所述，.故答案为：.【点睛】本题主要考查了根本绝对值不等式解情况求参数值，解题

14、关键是掌握将绝对值不等式解法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.16、【解析】试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），再作直线，上下平移直线，当过点时，取得最小值.考点：简单的线性规划.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由数列恒等式，结合等比数列的求和公式，可得所求；（2）求得，运用数列的分组求和和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和【详解】（1），当时，而，符合上式，所以数列的通项公式为（2），设，相减可得，化简可得，可求和得：【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和和

15、裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题18、（1）猜想13+23+33+n3（1+2+3+n）2；证明见解析（2）2【解析】（1）根据式子猜想出一般性结论，然后当时，证明成立，假设时，式子也成立，然后对时的式子进行化简，从而证明结论成立；（2）对进行分组求和，然后根据（1）中所得到的求和公式，进行求和计算，得到答案.【详解】（1）猜想13+23+33+n3（1+2+3+n）2；证明：当n1时，左边1，右边1，等式成立；假设nk时，13+23+33+k3（1+2+3+k）2，当nk+1时，13+23+33+k3+（k+1）3（1+2+3+k）2+（k+1）3，可得nk+1时，猜想也成立，综上

16、可得对任意的正整数n，13+23+33+n3（1+2+3+n）2；（2）数列an的前n项和为Sn，且ann3+n，S1（13+23+13）+（1+2+3+1）（1+2+1）2552+552【点睛】本题考查数学归纳法的证明，数列分组求和，属于中档题.19、（1）（2）（3）【解析】（1）令，即可得该二项展开式中所有项的系数和的值；（2）在通项公式中，令的幂指数等于4，求得的值，可得含项的系数；（3）根据，求得的值，可得结论；【详解】（1）令，可得该二项展开式中所有项的系数和的值为；（2）二项展开式中，通项公式为，令，求得，故含项的系数为（3）第项的系数为，由，求得，故该二项展开式中系数最大的项为

17、 【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题20、（1）；（2）当时，E(X)E(Y)，选择产品A和产品B一年后投资收益的数学期望相同，可以在产品A和产品B中任选一个；当时，E(X)E(Y)，选择产品A一年后投资收益的数学期望较大，应选产品A；当时，E(X)E(Y)，选择产品B一年后投资收益的数学期望较大，应选产品B【解析】（1）先表示出两人全都不获利的概率，再求至少有一人获利的概率，列出不等式求解；（2）分别求出两种产品的期望值，对期望中的参数进行分类讨论，得出三种情况.【详解】（1）记事件A为“甲选择产品A且盈利”，事件B为“乙选择产品B且盈利”，

18、事件C为“一年后甲，乙两人中至少有一人投资获利”，则，所以，解得又因为，q0，所以所以 （2）假设丙选择产品A进行投资，且记X为获利金额（单位：万元），则随机变量X的分布列为X40-2p则假设丙选择产品B进行投资，且记Y为获利金额（单位：万元），则随机变量Y的分布列为Y20-1ppq则讨论：当时，E(X)E(Y)，选择产品A和产品B一年后投资收益的数学期望相同，可以在产品A和产品B中任选一个；当时，E(X)E(Y)，选择产品A一年后投资收益的数学期望较大，应选产品A；当时，E(X)E(Y)，选择产品B一年后投资收益的数学期望较大，应选产品B【点睛】本题考查独立事件的概率以及期望的求法，注意求概率时“正难则反”，若直接求不容易求，则求其相反的事件的概率，反推即可.21、（1），（2）没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关（3）估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数是4人【解析】（1）根据分层抽样比例列方程求出n的值，再计算m的值；（2）根据题意完善22列联表，计算K2，对照临界值表得出结论；（3）计算参加社区服务时间超过1小时的频率，用频率估计概率，计算所求的频数即可【详解】（1）根据分层抽样法，抽样比例为，n48；m48208128；（2）根据题意完善22列联表，如下； 超过1