版圆证明计算版

1、圆的证明与计算专题解说圆的证明与计算是中考取的一类重要的问题，本题达成状况的利害对解决后边问题的发挥有重要的影响，因此解决好本题比较要点。圆的有关证明一、圆中的重要定理:圆的定义:主假如用来证明四点共圆.垂径定理:主假如用来证明弧相等、线段相等、垂直关系等等.三者之间的关系定理:主假如用来证明弧相等、线段相等、圆心角相等.圆周角性质定理及其推轮:主假如用来证明直角、角相等、弧相等.切线的性质定理:主假如用来证明垂直关系.切线的判断定理:主假如用来证明直线是圆的切线.切线长定理:线段相等、垂直关系、角相等.2.圆中几个要点元素之间的相互转变:弧、弦、圆心角、圆周角等都能够经过相等来相互转变.这在

2、圆中的证明和计算中常常用到.二、考题形式剖析：主要以解答题的形式出现,第1问主假如判断切线；第2问主假如与圆有关的计算：求线段长（或面积）；求线段比；求角度的三角函数值（实质仍是求线段比）。知识点一：判断切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常有手法有：全等转变；平行转变；直径转变；中线转变等；有时可经过计算联合相像、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常有手法：角均分线定理；等腰三角形三线合一，隐蔽角均分线；总而言之，要达成两个层次的证明：直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；直线与半径的关系是相互垂直。在证明中的要点是要办理好弧、弦、角之间的相互转变,要

3、擅长进行由此及彼的联想、要总结常增添的协助线.例：方法一：若直线l过O上某一点A，证明l是O的切线，只要连OA，证明OAl就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于怎样证明两线垂直.例1如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延伸线于F.求证：EF与O相切.例2如图，AD是BAC的均分线，P为BC延伸线上一点，且PA=PD.求证：PA与O相切.证明一：作直径AE，连接EC.AD是BAC的均分线，DAB=DAC.PA=PD，2=1+DAC.2=B+DAB，1=B.又B=E，1=EAE是O的直径，0ACEC，E+EAC=90.01+EAC=90.即O

4、APA.PA与O相切.证明二：延伸AD交O于E，连接OA，OE.AD是BAC的均分线，BE=CE，OEBC.0E+BDE=90.OA=OE，E=1.PA=PD，PAD=PDA.又PDA=BDE,01+PAD=90即OAPA.PA与O相切说明：本题是经过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例3如图，AB=AC，AB是O的直径，O交BC于D，DMAC于M求证：DM与O相切.0例4如图，已知：AB是O的直径，点C在O上，且CAB=30，BD=OB，D在AB的延伸线上.求证：DC是O的切线2例5如图，AB是O的直径，CDAB，且OA=ODOP.求证：PC是O的切线.例6如图，ABCD

5、是正方形，G是BC延伸线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与CFG的外接圆相切.剖析：本题图上没有画出CFG的外接圆，但CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连接OC，证明CEOC即可得解.证明：取FG中点O，连接OC.ABCD是正方形，BCCD，CFG是RtO是FG的中点，O是RtCFG的外心.OC=OG，3=G，ADBC，G=4.AD=CD，DE=DE，0ADE=CDE=45，ADECDE（SAS）4=1，1=3.2+3=900,1+2=900.即CEOC.CE与CFG的外接圆相切方法二：若直线l与O没有已知的公共点，又要证明l是O的切线，只要作OA

6、l，A为垂足，证明OA是O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”(一般用于函数与几何综合题）例1：如图，AB=AC，D为BC中点，D与AB切于E点.求证：AC与D相切.剖析：说明：证明一是经过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角均分线的性质证明DF=DE的，这种习题多半与角均分线有关.例2：已知：如图，AC，BD与O切于A、B，且ACBD，若0COD=90.求证：CD是O的切线.证明一：连接OA，OB，作OECD，E为垂足.AC，BD与O相切，ACOA，BDOB.ACBD，1+2+3+4=1800.0COD=90，2+3=900，1+4=900.4+5=900.1=5.RtAOCRt

7、BDO.ACOC.OBODOA=OB，ACOC.OAOD0又CAO=COD=90，AOCODC，1=2.又OAAC，OECD,OE=OA.E点在O上.CD是O的切线.证明二：连接OA，OB，作OECD于E，延伸DO交CA延伸线于F.AC，BD与O相切，ACOA，BDOB.ACBD，F=BDO.又OA=OB，AOFBOD（AAS）OF=OD.0COD=90，CF=CD，1=2.又OAAC，OECD，OE=OA.E点在O上.CD是O的切线.证明三：连接AO并延伸，作OECD于AC与O相切，ACAO.ACBD，AOBD.BD与O相切于B，AO的延伸线必经过点B.AB是O的直径.ACBD，OA=OB，

8、CF=DF，OFAC，1=COF.0COD=90，CF=DF，E，取CD中点F，连接OF.OF1CDCF.22=COF.1=2.OAAC，OECD，OE=OA.E点在O上.CD是O的切线说明：证明一是利用相像三角形证明1=2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明1=2.证明三是利用梯形的性质证明1=2，这种方法必要先证明A、O、B三点共线.课后练习：（1）如图，AB是O的直径，BCAB，ADOC交O于D点，求CD证：CD为O的切线；ABO（2）如图，以RtABC的直角边AB为直径作O，交斜边AC于CD，点E为BC的中点，连接DE，求证：DE是O的切线.DEAOB（3）如图，以等腰ABC的一腰为直

9、径作O，交底边BC于AD，交另一腰于F，若DEAC于E（或E为CF中点），求证：DE是OO的切FE线.BDC（4）如图，AB是O的直径，AE均分BAF，交O于点E，过点EA作直线EDAF，交AF的延伸线于点D，交AB的延伸线于点OC，求证：CD是O的切线.BFCED知识点二：与圆有关的计算计算圆中的线段长或线段比，往常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相像等知识的联合，形式复杂，无规律性。剖析时要要点注意察看已知线段间的关系，选择定理进行线段或许角度的转变。特别是要借助圆的有关定理进行弧、弦、角之间的相互转变，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。此中重要而常有的数学思想

10、方法有：1）结构思想：如：建立矩形转变线段；建立“射影定理”基本图研究线段（已知随意两条线段可求其余全部线段长）；射影定理：所谓射影，就是正投影。此中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影。由三角形相像的性质：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比率中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比率中项。公式RtABC中,BAC=90,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:：(1)(AD)2;=BDDC,(2)(AB)2;=BDBC,(3)(AC)2;=CDBC。等积式

11、(4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)结构垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；结构勾股定理模型（已知线段长度）；结构三角函数(已知有角度的状况）;6找不到，找相像（2）方程思想：设出未知数表示要点线段，经过线段之间的关系，特别是发现此中的相等关系成立方程，解决问题。（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，经过基本图形的解题模型迅速发现图形中的基本结论，从而找出隐蔽的线段之间的数目关系。典型基本图型：图形1：如图1：AB是O的直径，点E、C是O上的两点，基本结论有：（1）在“AC均分BAE”；“ADCD”；“DC是O的切线”三个论断中，知

12、二推一。（2）如D图2、3，DE等于D弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（D或弓形ECECECECBCE的半弦EF）。FFAOBAOBAOBAOKB图1图2图3图4DEC（3）如图（4）：若CKAB于K，则：GCK=CD；BK=DE；CK=1BE=DC；AE+AB=2BK=2AD;2AOB图52ADCACBAC=AD?AB4）在(1)中的条件、中任选两个条件，当BGCD于E时（如图5），则：122DE=GB；DC=CG；AD+BG=AB；AD?BG=DG=DC4图形2：如图：RtABC中，ACB=90。点O是BAC上一点，以OCBB为半径作O交AC于点E，基本结论有：GDDDGFHFCOE

13、ACOEACAOE图3图1图21）在“BO均分CBA”;“BODE”;“AB是O的切线”;“BD=BC”。四个论断中，知一推三。（2）G是BCD的CG=GD心里；BCO12CDEBO?DE=CO?CE=CE；23）在图（1）中的线段BC、CE、AE、AD中，知二求四。4）如图（3），若BC=CE，则：AE=1=tanADE；BC：AC：AD2AB=3：4：5；（在、中知一推二）设BE、CD交于点H，,则BH=2EH图形3：如图：RtABC中，ABC=90,以AB为直径作O交AC于CD，基本结论有：DE如右图：（1）DE切OE是BC的中点；AOB2）若DE切O，则：DE=BE=CE；D、O、B、

14、E四点共圆CED=2A2CDCA=4BE,DECDBCRBDBA图形特别化：在（1）的条件下如图1：DEABABC、CDE是等腰直角三角形；CD如图2：若DE的延伸线交AB的延伸线于点F，若AB=BF，则：ECAOBFDE1;BE1EF3R2DEABO图形4：如图，ABC中，AB=AC，以AB为直径作O，交BC于点D，交AC于点F，图2E图1FCD基本结论有：AOB1）DEACDE切O；2）在DEAC或DE切O下，有：DFC是等腰三角形；BFEF=EC；D是的中点。与基本图形1的结论重合。连AD，产生母子三角形。图形5：以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于，基本结论有：ADADADEEG

15、EFOOOFBCBCBC图3图1图2（1）如图1：AD+BCCD；COD=AEB=90；OD均分ADC（或OC均分BCD）；（注：在、及“CD是O的切线”四个论断中，知一推三）ADBC1AB2=R2；4（2）如图2，连AE、CO，则有：COAE，CO?AE=2R2(与基本图形2重合)（3）如图3，若EFAB于F，交AC于G，则：EG=FG.图形6：如图：直线PRO的半径OB于E，PQ切O于Q，BQ交直线PQ于R。基本结论有：BBREPBOQQERAPBQEAPROOEPROQ（1）PQ=PR(PQR是等腰三角形)；（2）在“PROB”、“PQ切O”、“PQ=PR”中，知二推一2（3）2PRRE

16、=BRRQ=BE2R=AB图形7：如图，ABC内接于O，I为ABC的心里。基本结论有：2（1）如图1，BD=CD=ID；DIDEDA；AAOIDEAIB=90+1ACB;OIBEC2BCD图1图22）如图2，若BAC=60，则：BD+CE=BC.图形8：已知，AB是O的直径，C是中点，CDAB于D。BG交CD、AC于E、F。基本结论有：GFC（1）CD=1BG；BE=EF=CE；GF=2DEHE2ABOD(反之，由CD=1BGBG或BE=EF可得：C是中点)2（2）1，；2（3）BEBG=BDBABC=CG=AG（4）若D是OB的中点，则：CEF是等边三角形；典范解说：例题1：ABP中，ABP

17、=90，以AB为直径作O交AP于C点，弧CF=CB，过C作AF的垂线，垂足为M，MC的延伸线交BP于D.1）求证：CD为O的切线；2）连BF交AP于E，若BE=6，EF=2，求EF的值。AF例题2：直角梯形ABCD中，BCD=90，AB=AD+BC，AB为直径的圆交BC于E，连OC、BD交于F.求证：CD为O的切线若BE3，求BF的值AB5DFADOFBEC例题3：如图，AB为直径，PB为切线，点C在O上，ACOP。（1）求证：PC为O的切线。（2）过D点作DEAB，E为垂足，连AD交BC于G，CG=3，DE=4，求DG的值。DB例题4（2009调考）：如图，已知ABC中，以边BC为直径的O与

18、边AB交于点D，点E为的中点，AF为ABC的角均分线，且AFEC。1）求证：AC与O相切；2）若AC6，BC8，求EC的长ADEHBOFC家庭练习：BD=DE1如图，RtABC，以AB为直径作O交AC于点D，过D作AE的垂线，F为垂足.1）求证：DF为O的切线；2）若DF=3，O的半径为5，求tanBAC的值.FCDEAOBAD=DC2如图，AB为O的直径，C、D为O上的两点，过D作直线BC的垂线交直线AB于点E，F为垂足.FDC（1）求证：EF为O的切线；EAOB（2）若AC=6，BD=5，求sinE的值.3如图，AB为O的直径，半径OCAB，D为AB延伸线上一点，过D作O的切线，E为切点，连接CE交AB于点F.1）求证：DE=DF；（2）连接AE，若OF=1，BF=3，求tanA的值.CAFBDOE4如图，RtABC中，C=90，BD均分ABC，以AB上一点O为圆心过B、D两点作O，O交AB于点一点E，EFAC于点F.1）求证：O与AC相切；2）若EF=3，BC=4，求tanA的值.BOEAFDC5如图，等腰ABC中，AB=AC，以AB为直径作O交BC于点D，DEAC于E.（1）求证：DE为O的切线；（2）若BC=45，AE=1，求cosAEO的值.C