高数第2部分第二课-微分方程

1、大纲基本要大纲基本要（数学三不要求会方程。（数学二，三不要求会用微分方程解决一些简单应用问题1.一阶方程类型与1.一阶方程类型与解2.可降阶的三类微分方程与解3.线性方程解的性质与结构及常系数情形解4.微分方程变量代换微分方程的简单应1.一阶方程类型与解y1.一阶方程类型与解y或fy)d y gx)df(y)g(齐次方程：y f( yxyx令uPx, y)dxQx, y)dy Px, y)dxQx, y)dy 0 P)dx xy解法：计算ux, y) P(x, Q(x, y0 xy00则全微分方程通解为ux, y 或直接凑全微分等；例一阶方程求通解或特y Cxe 的通解是y(1例一阶方程求通解

2、或特y Cxe 的通解是y(1 x)x（2006-1(2)y 微分方xyy0（2008-2、y y(1) 1的解是 (yx x)dx xdy 0的通解2（2011-1(10)、y yexcosxy(00y ex siny x(Cex 微分方程 ydxx 3y2微分方程 ydxx 3y2dy 01的解为yx足条件.dx 1x通解：xy=y3 （2007-微分方dy y1y32 xxy （2007-微分方dy y1y32 xxy 满足y(1) 1的特解1ln（2014-xy y(lnxlny0y(1)xe2 .x2yxy y22x2yxy y22y1 x21y 1122yyxy y u xy( )

3、2,xxu xdu u2 分离变量后yyxy y u xy( )2,xxu xdu u2 分离变量后积2u x有1lnu2lnx1lnC即u2 2u2uy Cx2，即y2x Cx2yyx2y .故所求特解C 1由1 xxy y(x) x xy y(x) x x(t2tln( 1 u )0可降阶的三类微分方程与解yf可降阶的三类微分方程与解yf(x, y)y px) dp f(x, yf(y, y)y py y pdp f(y, f(x)y(例4（2002-微分方yyy)2 例4（2002-微分方yyy)2 0y(01y(0) 2 x的特解是yx可降阶微分方程:方程不显含y pdp yfyy(I

4、Iy pyf(y, yy( p(x令解y dp dp dy p则dy yy( p(x令解y dp dp dy p则dy 原方程变为：ypdp p2 p(pln pln ypyy(0)1，y(0) 1 2 yyC 1112 yy y2 x22y(0)11, x1是满足条件的特解22011-yx)l : y yx2011-yx)l : y yx)与直线y x相切于原点，记为曲线l dyyx)的表达式x, y)ytan ysec2提示：建立方 y y(1 y2由y yx)与y xy(0)0，y(0)3(1).二阶线性方程解的结构及yP(3(1).二阶线性方程解的结构及yP(x)yQ(x)y yP(x

5、)yQ(x)y f(x) y1, y2 为(1)的两个线性无关则Y C1 y1 C2 y2 为(1)的通解.设 y 为(2)的一个特解，yY y为(2)的通解,为(212y y y 为齐次方程(112(ivy pyqyf(x)f1(ivy pyqyf(x)f1(x)f2(y*y pyqyf x)的一个特解11y2* f( x)的一个特2 y*则12y pyqyf1(x)f2(x)的一个特解.（1）设函数y1,y2（1）设函数y1,y2,y3都是二阶线性非齐次方程y pyqy f(y pyqy 3fx)的解）(A)y1 y2 y3y1 y2 y3y1 2y2 y1 2y2 y3设线性无关的函数

6、y1, y2y3y p(x)y设线性无关的函数 y1, y2y3y p(x)yq(x)y fx)的解,C1是任意常数，则该方程的通解是 (C)Cy C (1C C )Cy C (1C C xe2x,ex xe2x,xe2xe3yC ex C e3x xe2x.12（2006-4）函数y1 (x（2006-4）函数y1 (x)和(x)dyP(xyQ(x)的两个不同特解,C)（2010-y1y2是一阶线性非齐次微分方程 dx p(xy q(xy1 （2010-y1y2是一阶线性非齐次微分方程 dx p(xy q(xy1 是该方程的解，两个特解,y1若常数)(B) 1212 3 1(A) 22 2

7、2333提示： yy1y2 y1y2dx p(xy q(x)的解，则()q(x) q(x)，yy1 y2 (y1 y2)() p(x)y0的解，则()q(x) 注意到q(x) 0，得 ，又 1，从而得y y dy p(xy q(x12y1 是该方程的解，y y dy p(xy q(x12y1 是该方程的解，两个特解,y1若常数)(B) 1212 3得 1(A) 22 2 2333另解：将yy1y2 p(x)y q(x) ()q(x) q(x) 将y y1y2代入 p(xy0，得()q(x) 注意到q(x) 0，常系数齐次线性方程的dn1 dny 常系数齐次线性方程的dn1 dny pn y0(

8、1)的步骤如下写出(1)的特征方程 p rp rnr rrpp12n求出特征根r1r2根据特征根的情况,写出对应特征根的线性无关的特解见下页的表格）再作这些特解的线性组合即得通解.一个k重根对一个k重根对应k ex C cosxC sin一对k重复根 对应2kexC xxk1cos C21 C22xC2k sin ky pyqy 0y pyqy 0求其通解的步骤如下写出(2)的特征方程r2 prq 0求出(3)的特征根1, 根据特征根的情况i)r r yC er1x C er21212ii)r r y Cx1212i yex(C1 cosxC2 sin例3y2y例3y2yy2y yC1e2x

9、C2 cosxC3 sin2r2r20r r r123常系数yx)是微分yx)是微分方y y2y 设函y 的解x0yx)取得极值3，2ex+e2y(x)3(3)常系数非齐次二阶线性方程的特3(3)常系数非齐次二阶线性方程的特pyqy Pmx)exy*xkQ(x)em不是特征方程的k ,是特征是特征方程的重根Qm x)(系数待定)是与Pm x)同次的多项式例二阶常系数非齐次线性微分方程y4y例二阶常系数非齐次线性微分方程y4y3y 2e2xyC1e3x 的通解为y2yexex( 0)的特解形式为）ex ex (A)a(ex(B)ax(ex) x(aex bex(D)x2(aex bex9fx)f

10、x f x2fx) 0f x9fx)fx f x2fx) 0f x fx2exfxex。解 f x f x2fx) 的特征方程为：r2 r20，解得r1 1r2 2， fxC1ex C2e2x，f x fx) 2exfxC1 1,C2 0，fC2e22exfx)fx f x2fx0f x fx2ex，(I)fx)的表达式x(IIyf(t2 )dtf()20 x f(x2 ) f(t20 x=ex2 e-t20y3(3)常系数非齐次二阶线性方程的特y py qy 3(3)常系数非齐次二阶线性方程的特y py qy P(x)cosxP (x)sinln(这里,是实数Pl xPnx)是实系数多项式特

11、解形式:(x (x(mmm maxl,0 ik 1 i是特征方程的单根常系数非齐次方y常系数非齐次方y y x2 1sinx的特解形式可设微分方) (B) ax2 bxcx(AsinxBcos x(ax2 bxc AsinxBcosax2 bxc Asinax2 bxcBcos常系数非齐次方y 常系数非齐次方y ay sinx(a 0分析：ya2y0，有Y C1 cosaxC2 sinAsinxBcosa a x(AsinxBcosya2y sin(a 解：由yya2y sin(a 解：由y a2y0，有YC1cosaxC2 sin（1） 当a1时0i 不是yAsinxBcosx 代入原11A

12、,B0, sin此时通解sinaxsinyYy C cosax12（2）当a 10i是特征根（2）当a 10i是特征根 xAsin x Bcosx) 代入原方程A0,B 1, 1 xcos22此时通解为y C cosaxC sinax 1 xcos122例y 4y 例y 4y 3 sin x 在 0, y ) 1的特解2满足 y)20 x3sin y4y 3sin解3sin xYC1cos2x0 x3sin y4y 3sin解3sin xYC1cos2xC2sin Acos x Bsin x 0, ,x0,x, sin 1设 sin 2y C1 cos2xC2 sin2xsincos2xC s

13、in2xsin341由)0,)11, 122221y在x0处连续，可导C31C2cos2xy 4y 3 sin sin2xsin2y 1) 0, y ()1 cos2xsin2xsin2例(2001-1)一填空设y例(2001-1)一填空设yex(C sinxC cosx(C ，C 为任意常数为某二阶常系数线性齐次微分方程的通则该方程y2y2yyex(C C )cosxyex(C C )cosx(C C )sin方法exC (cosxsinx)C (cosxsin12y2exC cosxC sin从这两个式子中解出C1,C2得C yexsinx 1exy(cosxsin12 yex cosx1

14、ex y(cosxsin22yex(C sinxC cosy2y2y将C1,C2代入y pyqy方法设y pyqy方法设yex(C sinxC cosx)代入p(C1 C2)qC2 2C1cosp(C1 C2)qC1 2C2sinxp(C1 C2)qC2 p(C )1212 p2，qcos xsin x线性无yCe C cos2xC x123(A) y y4y4y 0(C)y y4y4y 0 y y4y4y y y4y4y （2009-若二阶常系数齐次线性微分方程y（2009-若二阶常系数齐次线性微分方程yayby 0 y (C1 C2 x)exyayby xy(0) 2y(00的解为y x(

15、1ex 例13 （1993-例13 （1993-特解ye2x(1x)ex，求该方程的通解，并求出此微分方程.y eex为非齐次方程的解由Q(x) x及项e2 Y,2对应的齐次方程有一解11 y eex为非齐次方程的解由Q(x) x及项e2 Y,2对应的齐次方程有一解11 x及另一解 ,22yxex为非齐次方程一个特解，xxe即(r 2)(r 1) 特征方程0 3r 2 r所以所求方程为 y 3 y 2 xy xex 代入上方程 故所求方程为：y3y2y ex通解为yY y C e2x C ex xex12另解：ye2xex xexy2e另解：ye2xex xexy2e2x 2ex y4e2x

16、3ex yyyex(42)e2x(32)(1)xe42 ex 32 1 y3y2y ex3r20 2,r1e2 (1 x)exx22y 1e2x 1xx32y 1e2x 1xx32yayby cexa 3,b 2,c 1. (C)a 3,b 2,c 1.(B)a 3,b 2,c (D)a 3,b 2,c 1e2x 1 ex解23所以2、1为特征方程2+ab0的根，从而a 12 3,b 12再将特解y xex代入方程y3y2y cex4例14 dy x y)2的通解令 x4例14 dy x y)2的通解令 x y du 1dy du 解arctanu xCu x yarctan(x y) xCy

17、tan(xC) 例 yycosx2ysinx3ycosx例 yycosx2ysinx3ycosxy usecy usecxusecxtany usecx2usecxtanxusecxtan2 xxcos2xC sin2x 1exu125excos2sin2x .ycoscos5cosu ycosu ycosu ycosx ysinu ycosx2ysinx ycos例16（2004-方程 x2y4xy2y 0 (x y(x) 的通例16（2004-方程 x2y4xy2y 0 (x y(x) 的通解x提示：DD14D2y D2+3D2yd2y 3dy 2yC2y(t) xyxn y(n) a x

18、n1 y(y Eulera1x nd作变或 t lnx, Dxk y(k则 D(D1)(Dk 1)注意:求出解后要将t=lnx回x ett ln dydydt1dy x dydydxdtdxxydtdxdt2222dy1ddydydydy2(),xxdxdt dx0dtdtdt2 ydydy2y dtdtdt2 x ett ln dydydt1dy x dydydxdtdxxydtdxdt2222dy1ddydydydy2(),xxdxdt dx0dtdtdt2 ydydy2y dtdtdt2 ydy 2 r1 1, dtdtCy(t) eCe2t，y(t) 12xx几种常见的列方程问几种常见

19、的列方程问8注：9，10，11见高数第三部分1.利用导数的定义及几何意导数定义：fx) lim1.利用导数的定义及几何意导数定义：fx) lim fxx f导数的几何意 f(x0)(x x0y 1(x x ).(f(y )f(000)017 设定义在()f17 设定义在()fx)，对任意x, y()，满足fx)ey fy)exf(0a(a f(x y)（1）证明：对任意x() fx)fx)；（2）fx展开成 x1的幂级数，并求f（1）y0fx yf(0)f(x)ey f(y)（1）y0fx yf(0)f(x)ey f(y)ex取y x代f(xx) f(x) f(x)ex f(x)ex f(li

20、m f(xx) f(x) f(x)(ex 1) f(x)f(0)ex ff(x)fx)fxf(x)aexf(x)ex(aexexdxC)ex(axCf(0)0，有C 0fx) nxx（2）f(x)ae(xe(xnx (,(2014)(1) f(x)ae(x1)ex1ex1(x1)n(xae(x1)n(xf(x)ae(x1)ex1ex1(x1)n(xae(x1)n(x(x1)n(x1)nn (n1)!(x1)n(x1)nn (xn(n)f(x1)n 例y yx)是区间(例y yx)是区间(,)内过点 ,)22 x 0的法线都过原点；当0 x yyy x 0yx)的表达式解x 0设x, y)为曲线

21、上任一点，dy =1/ dy yxy解x 0设x, y)为曲线上任一点，dy =1/ dy yxy切线yy() xo得，C 222x2， xy 当0 x 时，y y x 0y C1cosxC2sinx 考虑曲线在x 0处的光滑性得因此 y cosxsinx x，0 x例1996-y yx)是一向上凸的连续曲线，其上任1一点x, y) 处的曲率为，且此曲线例1996-y yx)是一向上凸的连续曲线，其上任1一点x, y) 处的曲率为，且此曲线1 并求出函yyx)的极值yy 曲率公式k 3(1 y2解得y lncos( x1 1lny 423(1 y21 当x 时41y y2 1即y(0)y 1且

22、y(022015-设函fx2015-设函fx)在定义域I上的导fx)大于若对任意的x0 Iy fx在点x0,f x0的切线与直线x x0 x轴所围成的区域的面积4f(0) 2，f x)的表达式解yf(f(x0)(x x0 x x0 处的切线方程为l:y fx解yf(f(x0)(x x0 x x0 处的切线方程为l:y fx0f(x0) l与x轴的交点为x f(x 00y 因此,A f(x0fx 4f(x 02801 1 xCf(02得C 1y828y.4 2. 与定2. 与定积分几何应用有例20（2012-18(例20（2012-18(f(t)(0t )f(t已知曲线2f(00，f(t0(0

23、t 2若曲线L的切线与x 轴的交点到切点距离值恒为f(t)的表达式，并求此曲线Lxy轴设切点为f(t),cost), k dy dy 解.f(tdx/ycost设切点为f(t),cost), k dy dy 解.f(tdx/ycost x f(tftf(t)cost 令y 0,得切线与x轴交点为( f(t由题意得f(tcost2 cos2t 1 ssin2sectcos f(t)0, f(t)f(0)0, f(t)ln|secttant|20A ydx cost f(t)dt 2 sin2tdt .400设曲y设曲y fx其f x是可导函数fx0. 已知曲y fx与直线y 0, x 1,xt(

24、t 1)所围的曲边梯形tt(x)dx (t 2f(11t2(t) f(x)dxtt(x)dx (t 2f(11t2(t) f(x)dxtf(tf代入t 11f(11f(10舍去2f(t)t f(t2f(t)f(tf(t y1dt 2yy 2yt 或1 1 C23(dyC)t yy 2 2dd(t dy C e 2322C2 C ) y(yy3 2 2dd(t dy C e 2322C2 C ) y(yy33y1t 1f (1) 得C 312t y33y12x y33y例22（2008-fx)是0,例22（2008-fx)是0,)f(0对任意的t0)x 0,x t, y fx)的侧面积在数值上等

25、于其体积的2f (五、设曲L的极坐标方程为r r()，M(r, )为L五、设曲L的极坐标方程为r r()，M(r, )为L上OM与曲一点，M0(2,0)为L上一定点，若极径 OM0M两点间弧L 所围成的曲边扇形面积值等值的一半，求曲线 L的方程L上1212r2dr r2 d解r00 r两边对求导，rr(0)r 即rrsin( )63y L xdy 2 y 例23（2002-x求dy 2 y 例23（2002-x求微分方程 xdy x2y)dx y y(x的一个解使得由曲y x x 2以及x 轴旋转y( x) 与直线x 轴围成的平面图形绕一周的旋转体体积最小3.积分3.积分方程求解问例f(x)

26、连续可导，求满足例f(x) 连续可导，求满足方程设xxf (t)dtxt f (xt)dt00的函数 fx).xt udtdu,txux0tfxt udtdu,txux0tf(xt)dt (xu)f0 x0 (xu)f(u)duxf(x)1f0 xf(x f(x), 即dy ydy y f(x)ylnyxln由f(01Cf(xex f(t)dtxx0 f(u)du0 uf例f x二阶可导且满足设x例f x二阶可导且满足设xxex(x t) f(t)dt f(xf (x0求解：原等式为：xxf (t)dt tf (t)dt xexf (（解：原等式为：xxf (t)dt tf (t)dt xex

27、f (（00两边对 x求导x f (xxf (x)f (t)dt xf (x) (x 1)ex0 xf (t)dt (x 1)ex f (x即（0两边再对 x由（1）有f(0)由（2）有f(0)（f (f (x) (x 2)ex即 f xf (x) (x 2)ex 1 0,i,C1 cos x 2sin 2Q (x) (x 2) 1又设y求yy( Ax B )（311, B A221 1 0,i,C1 cos x 2sin 2Q (x) (x 2) 1又设y求yy( Ax B )（311, B A221x x 1)xf (xyCcosin(1221Ccos x (x xysinxC2)1221

28、0) 再由上（1(00( 1x 2 1)(01( 由2）C0上（2x 11(x 2)x故f (xcos 22例26（2000-例26（2000-f(x) f(x) f(t)dt 0.xx0e f(x) 解(1)(x1)f (x)(x2)f (1 (2)当x0时，fx0，即fx)单调减少f(0fx f(01.设x fxex,则(00,x fxex xexx例27（1997-设函数 f (t例27（1997-设函数 f (t在0上连续且满足方f(1x2y22f(t)e4t y22f1fy2解2y2 4tr2rf(r1fy2解2y2 4tr2rf(r2)rdr df 2000rf(r2 f (t) e4t 20f(t) 8te4t28tff (t) 8tf (t) 8te4t2(一阶线性方程)f(t)e8tdt8te4t2 e8tdtdtC(4t2 C)e4t2由上（1）可知，f (0) 1C 故 f (t) 4t2 1)e4t24与求多元复合函数4与求多元复合函数f u具有二阶连续导数，z f ex cos yf u具有二阶连续导数，z f ex cos y2z2z 4zexcosye2xf 00, f00f u的表达式f(excosy)ex