大连理工大学课程

1、姓名：学号：院系：班级：授课教师：张宏伟装订线大连理工大学应用数学系数学与应用数学专业2005 级试 A 卷答案课程名称：计算方法授课院(系)：应用数学系考 试 日 期：2007 年 11月 日试卷共6页一 二三四五六七八九十总分标准分4281515155/100得 分一、填空（每一空2 分，共 42 分）16x517 x418x314x213 x 11为了减少运算次数，应将表达式 .x416x28x 1改写为16x17 x18 x14 x13 x1 ；x 0 x 16 x8 x 12给定 3 个求积节点： x00 ， x10.5 和 x2 1，则用复化梯形公式计算积分1e x 2dx 求得的

2、近似值为1 12e 0. 5e 1，04用 Simpson公式求得的近似值为 1 14e 0.5e 1。61设函数 s( x)S31, 0, 1 ，若当 x1 时，满足 s(x)0 ，则其可表示为 s( x) c1 x 1 3c2 x3c3 x 1 3 。4已知 f (0)0, f (1) 6, f (2) 12 , 则 f 0,1 6 ,f 0,1,2 0 ，逼近 f (x) 的 Newton 插值多项式为 6x 。用于求x的根x0的具有平方收敛的Newton 迭代5fxe1x0公式为： xk 1xk2exk1xk 。exk1000000010已知 A- 1，则 A 的 Jordan 标准型

3、是01001或000；6000000000-1-7设 A 是 n 阶正规矩阵，则A 2A ；8求解一阶常微分方程初值问题u (t)(t 21)ut ，u (t0 )u0 的向后（隐式）Euler 法的显式化的格式为： un 11unhtn 1。h 1tn219设 a211.00112 为 x 的近似值，且xa0.5 10 2 ，则 a 至少有位有效数字；3410将 x3, 4T，化为 y5, 0T的 Householder矩阵为：55；4355k110.5020；k 0103112用二分法求方程f ( x)2x35x10 在区间 1,3 内的根，进行一步后根所在区间为 1,2 ，进行二步后根所

4、在区间为1.5, 2 。1n13 若 f xdxAk f xk n 2为 Newton-Cotes 求 积公 式，则0k0n1 ，若为 Gauss型求积公式，则nxk4 1 。Ak xkAkk 02k 0514设A112521或 10。0 1，则在 Schur 分解 AURU H 中， R 可取为100115设 A01，则 eAt1 t, d eAt01。000 1dt00二、（ 8 分）已知近似值 a11.21， a23.65 ， a39.81均为有效数字，试估计算术运算 a3a1 a2 的相对误差界。a3-2-解：由已知，x1 a11 10 k n1 10 2 ； x2a21 10 2 ；

5、 x3a31 102。2222令f x1 , x2 , x3x1 x2x3 ， f a1, a2 , a3a1a2a3，x3a3由函数运算的误差估计式f x1 , x2 , x3f a1 , a2 ,a3fx1 a1, a2 , a3 x1 a1 + fx2 a1 , a2 ,a3 x2a2 + f x3 a1 , a2 ,a3 x3a3a2 x1a1a1 x2a21a1 a2x3a3a3a3a32从而，相对误差可写成f x1 , x2 , x3f a1 , a2 , a3a2 x1a1a1 x2 a21a1 a2x3 a3a3a3a32f a1 , a2 ,a3a1 a2a3a3三、（15

6、分）设线性方程组：x13x243x1x242x1x24x37（1）列主元消元法求出上述方程组的解，并利用得到的上三角矩阵计算出 det( A) （要有换元、消元过程） ；（2）试问用 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组是否收敛？（3）请给出可求出上述方程组解的收敛的Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式，并说明其收敛性。解：（1）1304310431043104310413040808080833214721473304014130433-3-310故， x1,1, 1 T ， det( A) ( 1) 08032 。0340（2）由

7、于 Gauss-Seidel迭代法的特征值满足：30det D L U304 336 24 29 0，则24BG - S0, 0 , 9 ，故BG - S91 ，从而 Gauss-Seidel迭代法发散。又由于 Jacobi迭代法的迭代矩阵为：03030BJ300， detIBJ303929 ，则111012424BJ0, 3,3 ，故BJ31，从而 Jacobi 迭代法发散。（3）将上述方程组的第一个方程与第二个方程对调后，新的方程组的系31041304是严格对角占有的，故Jacobi 和 Gauss-Seidel数矩阵为： A2147迭代法均收敛。且新的方程组与原方程组同解。Jacobi、

8、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式分别为：x1(k 1)1 4 x2(k)x1( k 1)1 4 x2(k )33x2(k 1)1 4 x1(k)和x2(k 1)1 4 x1(k )#33x3(k 1)1 7 2 x1( k)x2(k)x3(k 1)1 7 2x1(k 1)x2(k 1)44四、（ 15 分） 对于如下求解一阶常微分方程初值问题u (t) f (t, u) ，u(t0 )u0 的数值方法un 21 un 11 unh 3 fn 2 8 f n 1fn228证明其收敛性；求出它的局部截断误差主项及绝对稳定区间；要用此方法解 u20 u ，u(0)1 。为使方法绝对

9、稳定， 求出步长 h 的-4-取值范围并以 u0 1 ，u11初值， h0.01为步长，求出 u(0.02)的近似值 u2 。解：（1）注意，01 ,11 ,21, 01 ,1 1,23 ，从而2288C0110212C121( 1 13)0288C21 ( 14)(123) 0228C31 (123 )1(1 223) 06228C41 (124 )1(1 233)14!23!848故此为线性隐式二步三阶法 ，其局部截断误差主项为：1h4u (4 ) (tn )。48（2）令， ( )211110，得 11， 21 ，2222满足根条件；又方法阶p31，故此差分格式收敛。（3）又对于模型问题

10、： uu (0 ),取 hh1133111hh( )h()12hh22280h2283381h1h88而要使得1的充要条件为：1h11 h4h231281211383hhh88而 14h2自然成立。现在再由48h44h 得83h83h83h44h 4 8h 4 4h1 h 1 2h 1 h由1h12h，可推出2h0 ，即 h2,0 。#五、（15 分）（1） 用 Schimidt 正交化方法，构造 1,1上以( x)1权函数的正交多项式系：0 (x) ， 1( x) ，2 ( x) ， 3 (x) ;-5-1（2）构造计算f ( x) dx, 具有 5 次代数精度的数值求积公式；1（3） 利用

11、 2)的结果求出4 sin xdx 的数值解。0 x解：由 2n15n2 ，即应构造具有3 个 Gauss 点的求积公式。首先构造 3 次正交多项式，令202102020220220233333200 x202 20220 x2020 x33x1+3x 0333202x23252522000002003255553500 x3588x388x27 15 x325 45 x 8152745251527452532 x332 x ；令3 x0 即得，1352253x1x31xx1x210，得 x0, 21353， x101352251352252255取 f x1 ， x ， x2 ，令f x d

12、x A0 f3A1 f 0A2 f31155即得到方程组：332332 A0A1A2 ，05A05A2， 35 A05 A2解之，得 A0A25，A18 ，从而具有5 次代数精度 Gauss求积公式5 f995 ff x dx38 f 031195995（2） x2 1t ，则有4212 1 tdtf x dxf012 5 f 2 138 f 2 5 f 2 1395533sin 2 1sin 2 14sin x dx2550516 sin 2 5x9332 12 155-6-50sin 10 215sin 102 15532sin 250591021599102 15sin 102 1550 1015128sin 2sin 10 2 1550 10 155536六、证明题（ 5 分）任选一题1设 A, BCn n 均为可逆矩阵，且齐次线性方程组AB x 0 有非零解，证明：对于 C n n 中的任何矩阵范数，都有 A 1B1 。（1）由题意，可知矩阵A BA-1IA-1 B 奇异。故 I A-1B 奇异。反证法，若存在某种范数，使得 A 1B1 ，则A 1 B1 ，则可知 IA-1 B非奇异，与条件矛盾。（2）由于 AB x0 有非零解，故对 x0 ，取与向量 x 的范数相容的矩阵范数，则由A B x A 1 I A 1B x 0I A 1 B x 0 x - A