2.4.2抛物线的几何性质优质课件

1、22一、温故知新(一) 圆锥曲线的统一定义 平面内，到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e的点的轨迹,当e1时，是双曲线 .当0e0)(2)开口向左y2 = -2px (p0)(3)开口向上x2 = 2py (p0)(4)开口向下x2 = -2py (p0)一、温故知新(一) 圆锥曲线的统一定义 平面内范围1、由抛物线y2 =2px（p0）有 所以抛物线的范围为二、探索新知如何研究抛物线y2 =2px（p0）的几何性质?范围1、由抛物线y2 =2px（p0）有 所以抛物线的范围对称性2、关于x轴对称即点(x,-y) 也在抛物线上,故 抛物线y2 = 2px(p0)关于x轴对称.则 (-y)

2、2 = 2px若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px，对称性2、关于x轴即点(x,-y) 也在抛物线上,故 抛顶点3、 定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。y2 = 2px (p0)中，令y=0,则x=0.即：抛物线y2 = 2px (p0)的顶点（0，0）.顶点3、 定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的离心率4、P(x,y) 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。 由定义知， 抛物线y2 = 2px (p0)的离心率为e=1.离心率4、P(x,y) 抛物线上的点与焦点的距xyOFABy2=2px2p过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通

3、径，利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.|AB|=2p通径5、2p越大，抛物线张口越大.xyOFABy2=2px2p过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。|PF|=x0+p/2焦半径公式：焦半径6、xyOFP连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。|PF|=方程图形准线焦点对称轴x轴x轴y轴y轴xFOylxFOylxFOylxFOyl方程图形准线焦点对称轴x轴x轴y轴y轴xFOylxFOylx归纳: (1)、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线； (2)、抛物线只有一条对称轴,没有

4、对称中心; (3)、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； (4)、抛物线的离心率e是确定的为, 、抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大.归纳:因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（，），解:所以设方程为：又因为点M在抛物线上：所以：因此所求抛物线标准方程为：例：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（，），求它的标准方程.三、典例精析因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就

5、变成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理。平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据。探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。xyO(40,30)解:所在平面内建立直角坐标系,使反射镜的顶点与原点重合, x轴垂直于灯口直径.在探照灯的轴截面设抛物线的标准方程为:y2=2px由条件可得A (40,30),代入方程得:302=2p40解之: p=故所求抛物线的标

6、准方程为: y2= x,焦点为( ,0)例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源xyO(4024l例3:图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米. 水下降1米后，水面宽多少？xoAy若在水面上有一宽为2米,高为1.6米的船只，能否安全通过拱桥？思考题2BA（2,2）x2=2yB（1，y）y=0.5B到水面的距离为1.5米不能安全通过y=3代入得例题324l例3:图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 （1）已知点A（-2，3）与抛物线 的焦点的距离是5，则P = 。 （2）抛物线 的弦AB垂直x轴，若|AB|= ， 则焦点到AB的距离为 。 42（3）

7、已知直线x-y=2与抛物线 交于A、B两 点，那么线段AB的中点坐标是 。 四、课堂练习 （1）已知点A（-2，3）与抛物线（2）抛物线 5.点A的坐标为(3，1)，若P是抛物线 上的一动点，F是抛物线的焦点，则|PA|+|PF|的最小值为( )(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 4、求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点在直线x-2y-4=0上.(2)焦点在轴x上且截直线2x-y+1=0所得的弦长为6、已知Q(4,0)，P为抛物线 上任一点，则|PQ|的最小值为( ) A. B. C. D.BC5.点A的坐标为(3，1)，若P是抛物线 五、归纳总结抛物线只位于半个坐标平面内

8、，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口越大.1、范围：2、对称性：3、顶点：4、离心率：5、通径：6、光学性质：从焦点出发的光线，通过抛物线反射就变成了平行光束. 五、归纳总结抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延2.4.2抛物线的简单几何性质(2)2.4.2抛物线的简单几何性质(2)复习： 1、抛物线的几何性质图 形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2

9、 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）x0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x轴y轴1复习： 1、抛物线的几何性质图 形方程焦点准线范围顶点2、通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度：2PP越大,开口越开阔3、焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式： 下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦半径公式。2、通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，|PF|=x0+p/2 通过焦点的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦。xOyFA补、焦点弦

10、：焦点弦公式： 下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦点弦公式。B 通过焦点的直线，与抛物xOyFA补、焦点弦：焦点方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度 y2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0yRx0yRxRy0y0 xRlFyxO关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）方程图范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度 例1、斜率为1的直线 经过抛物线 的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。例1、斜率为1的直线 经过抛物线 例2、已知过抛

11、物线 的焦点F的直线交抛物线于 两点。 （1） 是否为定值？ 呢？ （2） 是否为定值？ xOyFAB这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动.例2、已知过抛物线 xyOABDFlxyOABDFl例3、过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。xyOFABD例3、过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛变式题（2001年高考题） 设抛物线 的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC|x 轴，证明：直线AC经过原点O。xOABDFly变式题（2001年高考题）xOA

12、BDFly 由此可得|y1|=|y2|,，即线段AB关于x轴对称。因为x轴垂直于AB，且 ，例4、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线 上，求这个三角形的边长。解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),则又|OA|=|OB|，所以x12+y12=x22+y22即 x12-x22+2px1-2px2=0, (X12-x22)+2p(x1-x2)=0,yxoAB(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.X10，X20，2p0,X1=X2.所以(x1,y1)(x2,y2) 由此可得|y1|=|y2|,，即线段例5.已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值。.xoyFABMCND解：例5.已知抛物线y=