沪教版 八年级(上)数学 秋季课程 第7讲 一元二次方程的应用(一)

1、一元二次方程的应用内容分本节涉及两部分内容，一是运用一元二次方程对二次三项式进行因式分解， 二是运用方程的思想解决关于数字及增（降低率的实际问题通过本节的学 习充分了解二次三项式与其相对应的一元二次方程之间的联系会运用方程思 想解决实际问题，难点是找到题目中的等量关系，列出方程并解决问题知识结模块一：二次三项式的因式分解 知识精、二次三项式的因式分解（1形如 2x x 的项式称为二次三项式（2如果一元二次方程 2 x 两个根是 x 和 ,那么二次三项式的分解公式为： 2 x x x 2 2 2 2 2例题解【例】 在实范围内不能解因式的是（）A 2 x x B x x C x D 4 x 【答

2、案C【解析三式可分解因式的前提是方程有实数根方程根的判别式 的大小关系判断方程是否有实数根，即是否可分解因式，A C： ： 只有 C 项 小于 ，选 【总结】考查二次三项式是否可因式分解，判断方程是否有实数根即可 与【例】 方程 axbx a 的两个数根是 x 2 ， ，把这个 2 2二次三项式 bx 进因式分解的结果_【答案】 2 2 【解析】 ax x 该式可分解为 1 2 2 a x x 【总结】考查二次三项式的因式分解，方程有实数根的前提下进行分解【例】 将 9 在数范围内因式分解，正确的结果是（ ）A a 3b)(3a 3bB a a 3 )3 3 2 3 3 2 2 C a a 3

3、 ) 【答案CD (3 3ba 3b【解析】关于的一元二次方程 a a 的为 1 b 3 ， a 3 ，由此对应的二次三项式分解为 ，即为 b 3 3 3a ，故选【总结】考查二次三项式的因式分解，当做方程进行解题即可【例】 在实范围内分解式：（1 2 ； （2） ( x x （3 72 ；（4） 2x 【答案】（1） 2x x ；（） x x ；（4 【解析）式 =2 （2原式 x x x x ，解得x 得 x （3原式 （4原式 【总结】考查二次三项式的因式分解，十字相乘法即可，在实数范围内可分解为 x 【例】 在实范围内分解式：（1 x x ； （） 2 【答案】（1） 2 4 2 2

4、2 2 2 2 2 2 2 17 a xy 17 【解析） x x ，得： x 4 4 ， x ，2 即该式可分解为 4 6 4 ；（2）令 2 ，解得： 2 2 ， x ，2 2 2 即该式可分解为 x x 【总结】考查二次三项式的因式分解， ax x 【例】 在实范围内分解式：（1 y ； （2 2 2 xy y；（3 【答案】（1） 3 ；2 2 2 ；（3） xy xy 【解析） xy ，方程即为 a ，得： a 3 ， a 3 该式可分解为 3 xy xy 3 ；（2令 2 解得： x 2 2 y ， ，2 2 2 该式可分解为 ；（3）令 xy ，方程即为 a ，得： 17 ， a

5、 17 ， 该式可分解为 1 2【总结】考虑分解因式中整体思想，利用换元灵活变化应用【例】 在实范围内分解式： 3 36 3 36 3 6 6 6（1 x ；（2） y 【答案】（1） 2x 2x 【解析）式 2x ；（2）原式为 【总结】考查分解因式中的整体思想，注意分解要彻底【例】在实数范围内分解因式：（1 mn ；（2 3 xy y ；（3 xy 6 6 2 【答案】（1） m 2 n ；） 3 y ；（3） 6 7 【解析） m ，得： m 则原式可分解为 （2）令 3 2 xy y ，得： 3， 3，则原式可分解为 2 39 y y ；（3令 xy ，方程即为 ，得： a 7 7 ，

6、 a ，6 则原式可分解为 6 7 1 7 【总结】主元法的思想，把一个字母当做未知数，另一个当做常数 【例】二次三项式 (2 a x 2ax a ，当 a 取值时，（1在实数范围内能分解；（2能分解成两个相同的因式；（3不能因式分解 1 1 1【答案】（1） 且 a ；（） a ；3 a 2 3【解析】原式是二次三项是，可知二次项系数 2 得： ，令 a ， 2a （1原式可分解因式，则有12 ，： 且 a ； （2原式可分解为两个相同的式子，则有2 ，： ；（3原式不能分解因式，则有12 ，： 【总结查二次三项式的因式解与方程根的情况之间的关系意分开各种情形之间 的区别和联系【例10 多式

7、 x ab 是完全平方式，求证： b a 【答案】略【解析】证明： ab 是完全平方式， 关 的程 x a 两个相等的实数根， 3 4 2 【总结】考查可分解为完全平方式的二次三项式，即所对应的一元二次方程 模块二：一元二次方程应用：数字问题知识精、列一元二次方程解应用题的步骤：审题，设元，列方程，解方程，检验，写答句注：解得一元二次方程的解后，一定需检验是否符合应用题的题意，若不合题意则舍去 、数字问题：主要考察的是对数的表示如：两位数 = 十位数字 10+位数字；三位数 = 百位数字 十位数字 10+个位数字例题解【例11 两连续的自然数的积是 182，这两个自然数 【答案】 和 14【解

8、析】设这两个自然数分别为 和 n ，依题意可得 n 得 13 ， ， 为然数，则有 n 取 ，这两个数分134【总结】考查连续自然数的表达方式【例12 有个两位数，十位数字比个数字大 3而此两位数比这两个数字之积的 倍 多 ，求这个两位数【答案】85【解析】设这个两位数个位为 x ，十位为 ，依题意可得： 整理得 x x ，得： x （舍 即得这个两位数 【总结】考查数位问题，注意两位数的表示方法【例13 一两位数，它的十位数字比位数字小 ，而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数，求这个两位数【答案】 或 36【解析】设这个两位数十位为 x ，个位为 ，题意可得 ， 整理得： x x ，解得：

9、 x ， x ，应个位数分别为5和， 即得这个两位数为或3【总结】考查数位问题，注意两位数的表示方法【例14 一三位数，百位上的数字比位数字大 1个位数字比十位数字小 ，且个位 数字和十位数字的平方和比百位数字大 2求这个三位数【答案】321【解析】设这个三位数十位为 x ，百位为 ，个位为 ，依题意可得 整理得 2 x 解得x （舍 2 ，百位与个位分别3， 2即这个三位数为321【总结】考查数位问题，根据题意列出方程即可求解，注意看清题目条件 模块三：增长（降低）率问题知识精、增长（降低）率问题基本公式： a bx 表示增长（降低）前的数ax 表增长（降低）率axbx 表示增长（降低）后的

10、数，要列出这类方程关键在于找出 a 、 bx 例题解【例15 某商品，原价 元受金融危机的影响， 月份降价 ，从 2 月开始涨 价，3 月的售价为 元，求 、3 月价的平均增长率【答案】 20% 【解析】设 、3 月平均增长率为 x ，依题意可得 ，解得： x （舍 x ，月均增长率为 5【总结】考查增长率问题的应用，依题意列方程求解，并去掉不合理的值【例16 某了绿化校园，某中学在 年树 400 棵计划到 年使这三年的植 树总数达到 1324 棵求该校植树平均每年增长的百分数【答案】 10% 【解析】设年均增长率为 ，题意可得 400 4004001324 ，整理得100 x300 x 解得

11、： （舍 x ，年均增长率为 10% 【总结】考查增长率问题的应用，依题意列方程求解，并去掉不合理的值【例17 某器集团公司为了适应竞争要，从 年始，每年将销售总额的 12%作为新产品开发的研究基金已知该公司 年底投入的新产品研究基金是 万， 全年销售总额是 亿元，求该公司 2014 和 2015 年售总额的平均增长率（精确 到 【答案】 54.92% 【解析】设销售总额年均增长率为 ， 万= 亿依题意可得整理得100 300 x 解得： x 2 15 2 15 （ ， 5 5即年均增长率约为 【总结】考查增长率问题的应用，依题意列方程求解，并去掉不合理的值【例18 某生种植基地原有花生品种亩

12、产量为 千出率为 改新品种后，每亩收获的花生可加工得到花生油 135 千.知新品种花生亩产量和出油率都比 原有品种有所增加其中出油率增长率是亩产量增长率的一半求两者的增长（ 确到 【答案】出油量增长率为 ，则亩产量增长率为1 【解析】设出油量增长率为 x ，亩产量增长率为 ，依题意可得 ，整理得 x 配方法得 x ，得： x 1309 33 1309 （舍 44 447.23% 则 2 x ，即得出量增长率是 7.23% ，产量增长率是 4.46% 【总结】考查增长率问题，根据题意列出方程即可求解随堂检【习题1】 二三项式 ax （ ）bx 以在实数范围内因式分解，那么以下各式成立的是A B

13、b C D能定【答案C【解析】二次三项式在实数范围可分解因式，即方程 x ，选 有数根，由此可得【总结】考查二次三项式的因式分解与方程根的判别式的关联【习题2】 二三项式 x x k 实数范围内不能因式分解 k 的值范围是_【答案】 【解析】二次三项式在实数范围不能分解因式，即方程 没实数根，由此可得 ac 得： k 3 3 3 3 【总结】考查二次三项式的因式分解与方程根的判别式的关联，不能分解因式即 【习题3】 若元二次方程 9 x 有根 2 ， ，么二次三项式 3 9x 以分解_【答案】 9 5 5 2 【解析】根据二次三项式的因式分解，该式可分解为 5 2 即原式可分解为 9 x 【习

14、题4】 已两个数的差等于 ，积等于 16求这两个数 【答案】， 或 ， 【解析】设两数中较小者为 x ，较大者为 x ，依题意可得 xx ，解得： x 2 ， ，应另一个数分别 和 【总结】考查列方程解文字题，一个条件作设，一个列式【习题5】 将列二次三项式在实数范围内因分解：（1 ( x x （2 x （3 【答案】（1）x ；（）x ；（） 【解析）子满足完全平方，即为 （2由十字相乘法即得分解为 （3令 ，得： x 2 ， 2 ， 即得该式分解为 【总结】考查二次三项式在实数围内的因式分解4 3 34 4 3 34 3 3【习题6】 在数范围内分解下列因式：（1 6 ；（2 mm ) x

15、 m m ；（3 6 xy y ；（4 xy y 65 65 【答案】（1） 6 ；（） （3） 2 2 7 y y 【解析） 6 ，解得： x 3 65 65 ， x 4 4，即该式可分解为 3 65 ；（2十字相乘法可得 ( m ) x x ( （3十字相乘法可得 6 y；（4令 3x y ，得 x 2 7y ， ， 3 3即得该式可分解为 2 7 y 【总结】考查二次三项式的因式分解， ax x x 【习题7】 一三位数，个位数字和百位数字同，都比十位数字小 ，个位数字和百位 数字的平方和等于十位数字，求这个三位数【答案】121【解析】设这个三位数十位为 ，百位和个位为 x ，题意可得x

16、 x x ，整理得 x ，得： x （舍 x 2 ，百位与个位为， 即这个三位数为21【总结】考查数位问题，根据题意列出方程即可求解，注意看清题目条件【习题8】 三连续的整数两两相乘后，再求，得 362求这三个连续的整数 【答案】10，12 ， ， 【解析】设这三个整数中间数为 x ，另个数分别为 x 和 x ，依题意可得 ，解得： x ， x ，则另两个数分别0和 ， 【总结】考查列方程解文字题的应用，一个条件作设，一个列式【习题9】 某场销售商品的收入款3 月份为 25 元5 月为 36 万，该商这两个 月销售商品收入款的平均每月增长率是多少【答案】 20%【解析】设收入款平均月增长率为

17、x ，依题意可得 2536 ，解得： x （舍 x ，月均增长率为 5【总结】考查增长率问题的应用，依题意列方程求解，并去掉不合理的值【习题】 市府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格某种药品经过连续两次降价后，由每盒 元下调至 元，求这种药品平均每次降价的百分率 【答案】 20% 【解析】设每次降价百分率为 x ，题意可得 解得： x 1（舍 x ，即每次降价率为 20% 【总结】考查增长率问题的应用，并去掉不合理的值【习题1】 某区开展“科技下”活动三年来，接受科技培训的人员累计达 万人次， 其中第一年培训了 万人次求每年接受科技培训人次的平均增长率【答案】 【解析】设每年接受培训

18、的人次增长率为 x ，题意可得 20 2095 ，整理得 x ，解得： x （ x ， 即平均增长率为 50% 【总结】考查增长率问题的应用，依题意列方程求解，并去掉不合理的值【习题】 制一种产品，原来每件的成本价是 500 元销售价为 元经市场预测该产品销售价第一个月降低 ，第二个月比第一个月提高了 ，为了使两个月后的销售利润与原来的销售利润一样，该产品的成本价每月的降低率为 x，请依题意列方程： 【答案】略【解析】利润不变，可列出方程： 625500 【总结】利润问题，利润=售价成本【习题1】 若项式 m 在数范围内能分解因式求整数 m 得的最大 值【答案】 【解析】多项式可分解因式，则关

19、于 的元二次方程 mx m 有数根，由此可得 m 且 ，得 m 且 m ，由此即得整数 m 的大值为 【总结查子的分解与方程的关系意题目中的隐含条件二项系数不能为 0课后作【作业1】 下二次三项式可以在实数范围内式分解的是（）A x B x C x D ( 【答案D= = 【解析三式可分解因式的前提是方程有实数根方程根的判别式 与 大小关系判断方程是否有实数根，即否可分解因式，A ；C： 确与 大小关系；D：理为 x x ， ；只有 选 大 0 ，选 【总结】考查二次三项式是否可因式分解，判断方程是否有实数根即可【作业2】 如 果 x 的 两 根 ， 在 实 数 范 围 内 分 解 _【答案】

20、 x 6 x 【解析】该式可分解为 【总结】考查二次三项式与方程根关联的因式分解【作业3】 如二次三项式 x是_【答案】 可以分解为两个相同的一次根式 的值范围【解析】二次三项式可分解为两个相同的一次根式，可知关于 的程 m 有两个相等的实数根，即得 【总结】式子可分解为两个相同的式子，即相关方程有两个相等实数根【作业4】 把列二次三项式进行因式分解：4 4 4 4 24 4 4 4 24 4（1 ； （2） x ；（3 x 【答案】（1） x 【解析）公因式法即得 x （2平方差公式分解得 （3令 x ，解得： ， x 6 ， 即得该式可分解为 【总结】考查二次三项式的因式分解，注意观察题目

21、的形式，用相应的方法分解【作业5】 一六位数，低位上的三个数字组的三位数是 ，高位上的三个数字是 b现 在将 、b 互，得到一个的六位数_【答案】 a 【解析】由于 低位上的三位数，故变化后的六位数的前三位数应该1000a ，所以变化 后的六位数为 【总结】考查多位数的数字表示，本题中应注意数字与组成的三位数的区别【作业6】 二三项式在实数范围内进行因式解：（1 2(2 2(2 ；（2） x xy y ；（3 4 x （4） xy 3 7 3 【答案】（1） ；（） yx ；（3） 4 5 5 4 6 4 6 4） 2 【解析）理即得 8x x ，令 x ，解得： 3 7 ， x ，4 4 则

22、该式分解为 x x ；（2十字相乘法可分解得 xy 4 4 2 2（3令 4 x x 解得 x 5 ， x ，2 2则该式分解为 a 2 2 ；（4令 xy ，方程即为 2aa ，得 4 6 ， ，2 6 4 6 6 则该式即可分解为 【总结】考查二次三项式的因式分解， ax x 【作业7】 三连续偶数，两两相乘，再求和 ，求这三个偶数【答案】，6 或 ， ， 【解析】设中间偶数为 ，则另两个数分别为 和 ，依题意可得 解得： 4 ， ，另两个数分别为，6和 ， 【总结】考查列方程解文字题的应用，一个条件作设，一个列式【作业8】 一两位数等于其各位数字之积的 3 倍，且其十位数字比个位数字小 ，求这个 两位数【答案】24【解析】设这个两位数十位为 ，个位为 x ，题意可得 10 x x 整理得 3 x ，得： （ ，个位为， 即这个两位数为【总结】考查数位问