散度,旋度,涡度

1、假设有一个三维空间，显然空间的每一个点都能用坐标(X, y, z)唯一地标识出来。假如给 空间的每一个点都赋予一个数字，那么整个空间就充满了数字。此时，这个充满数字的三维 空间在数学上就叫做“场”。上述的场叫做标量场，因为单纯的一个数字叫做“&量(scalar)0如果我们给空间的每一个点 都赋予一个矢量(vector)，即一个既有大小，又有方向的东西，那么整个空间就变成充满了 矢量，这个空间就叫做矢量场。矢量场中的每一点都对应于一个矢量，而矢量能够根据规则进行各种运算，例如加、减和乘 等(数学上没有矢量的除法)。显然，我们可以对整个矢量场中的每一个矢量同时进行某种运算，例如同时将它们乘以一个

2、数，或加上一个数等。但是我们可以对整个矢量场进行一些更复杂的运算，其中散度就是其 中一种。三维空间中的一个矢量可以沿x、y和z方向分解，现假设空间的某一点被赋予的矢量能够 沿着这3个方向分解为大小为P、Q和R的三个分量，表示为(P，Q，R)。注意，由于空 间中每个点被赋予的矢量一般来说是不同的，所以P、Q和R的大小在空间的不同的点一般 有不同的值，也就是说P、Q和R中每一个都是x、y和z的函数。对三维矢量场来说，我们可以对其中一个点的矢量，假设为(P，Q，R)进行以下操作：1、求出dP/dx+dQ/dy+dR/dz的值，其中dP/dx表示求P对x的一阶偏导数，其余雷同:2、将这个值赋予这个点对

3、整个矢量场的每个点均进行以上运算，就等于给整个三维空间的每个点都赋予了一个值， 于是我们就得出了一个新的标量场，这个标量场就叫做原来的矢量场的散度(divergence)，这 种运算就叫做“对矢量场取散度”。除了散度运算以外，我们还可以对矢量场进行其它的运算，例如旋度运算(curl)。跟散度运算不同，旋度运算的结果不是标量场，而是另一个矢量场。旋度运算的规则比较繁 复，但是网上很多地方都有解释，这里就不讲了。而涡度就是一个速度场的旋度，显然涡度是一个矢量场，而散度是一个标量场，这就是两者 的本质区别了。对电场散度和旋度的理解首先在说明散度和旋度之前，先说说对于曲面积分和曲线积分的理解。对曲面的

4、积分有两类(第一类曲面积分和第二类曲面积分)，这个差别主要在于矢量性， 第一类曲面积分并不带矢量性，比如知道面密度和面积的微元，对密度求积分得到整个面积 的质量，而第二类曲面积分带有矢量性，比如知道流速V=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k和小 微元面积的单位法向量n=(cosA,cosB,cosC)，对流速求积分得到单位时间的流量，但是后者 的流速和小微元面积带有方向。因此可以说第二类曲面积分就是对于向量点积的积分，第一类面积分就是对一般数乘的积分，而第一类曲面积分就是第二类曲面积分的特殊情况。由曲面积分可以引入高斯公式：J Pdydz + Qdzdx + Rdxdy

5、dp对曲线积分也有两类（第一类曲线积分和第二类曲线积分），对于曲线积分其实和曲面积 分一样，第一类和第二类的区别依然在于矢量性。比如，在第一类曲线积分的一个应用是求 变线密度弯曲细杆的质量，而第二类是求变力沿曲线做功（力的方向和大小都在随着位移变 化）。（票一零）血印=/ （Pdx + Qdy）由曲线积分可以引入格林公式:.!为E/-D这些概念我们可以看出，高斯公式是三重积分和曲面积分的运算关系，格林公式是曲面积 分和线积分的运算关系。有了这些基本概念，我们来看 散度和旋度的问题，进而引出 MAXWELL方程组。A-dSlim-=NA先看散度的定义式：项这个定义式说明散度就是一个矢量在一个闭区

6、域内，其单位体积内通量的大小，通量即是 通过之量的意思，如果用高斯定理和积分中值定理，由此我们就可以得出一个重要的结论: 矿 A= 0二+ 料+线）（*+ A y+ Azz）dx dy dzdAK dA dA.=-+ - + -dx dy ds矢量的通量即是这个矢量对X,Y,Z.的偏导的和（标量），通量通俗的讲，可以理解为一个矢 量在闭合曲面的累积效果，就像积分的本质就是求和一样，这对于后面理解MAXWELL方 程组有很大帮助。接下来引入旋度的公式：a dl=(V x /I)= (V x A)blim 房 tU AS这个公式告诉我们一个矢量旋度，实际上就是这个矢量在一个闭合曲线上沿曲线切线方向

7、 的积累，但这个是有方向的，该方向与曲线的环绕方向满足右手螺旋定则，这就是旋度，旋 度越大，说明这个矢量在闭合曲线上的积累越多。很容易明白，对于静电场而言，其电场强 度的旋度为0。如果用斯托克斯公式（格林公式的推广）和积分中值定理，我们就能得到下 面的结论：=（些一些）性一性g色一 qy dz （ ax ax qy这个公式正是矢量旋度的表达式。下面我们就由这些来看看MAXWELL方程组:宏观麦克斯韦方程组表格以自由电荷和自由电溢为源头的表述名称微分形式积分形式高斯定律 D =0D ds = Qf高斯磁定律V B = 0如=.法拉第感应定律VxE= at/ E.d = 票麦克斯韦-安培定律 xH

8、 = J+应fd(PD#皿2+ /微观麦克斯韦方程组表格以总电荷和总电流为源头的表述名称微分形式积分形式高斯定律V -E=0E ds = 9JJs%高斯磁定律V B = 0iBd8=法拉第感应定律VxE= atl E.d牛Jl出麦克斯韦-安培定律3EV x B =伽 J + d 出/dPEB d = W + o 出现在我就分别说明下我对上面公式的理解。第一个揭示了电场是一个有源场，什么是有源场呢？我的理解是，该场的散度是由实体物 质（正负电子）所发出，是有源可寻的。第二个高斯磁定律，磁感应强度的散度为0，即为这个磁场是无源可寻的，这也就说明无法 寻找到磁单极，这里我认为，在电子绕原子核高速运动

9、的过程中，随着电子运动的速度矢量 和位移乘积的变化，会向外辐射出一定能量，这个能量即可以形成磁场。第三个是法拉第电磁感应定律，首先这个定律应用在运动电荷而不是静电荷上，这个定律告 诉我们，变化的磁场产生闭合涡旋电流，磁通量的变化会产生电场强度，电场强度的变化还 会阻碍磁通量的变化，而电场强度在其周围的切向动态积累不为0,磁场变化对电场强度的 影响。第四个等式，到目前也只能理解为变化的电流产生磁场。更多的理解，以后慢慢补充。梯度：是一个向量，大小是单位距离内观测量变化的多少，方向是等势面（或等势线）变化 最快的方向，该方向与等势面（或等高线）垂直。例如：爬山的时候沿什么方向爬的最快？ 当然是沿直

10、线到山顶最快，也就是垂直山体的等高线爬山速度最快，即梯度。散度：是空间某一点所含的源的强度，它不是矢量，而是标量。比如某点上有个电荷+Q， 它向四面八方传播电场，那么这个点上散度的大小是Q。（散度和高斯定理有密切联系注意 散这个字，就像+Q一样将电场散向四面八方。）旋度：一个矢量可以根据右手定则产生出与它垂直的另一个矢量（比如电流I这个矢量可以 在空间任意点产生一个垂直的磁B矢量）。旋度是一个矢量，是某一个向量（比如磁B矢量） 的源头（I）的大小及方向。旋这个字貌似在影射右手定则的样子。梯度积完是原函数,散度积完是高斯公式，旋度积完是stokes公式。梯度描述标量场，是标量场方向导数最大方向的

11、变化率。旋度和散度描述矢量场，旋度描述 场的漩涡结构如何，散度描述场的源性结构如何。散度可以理解为单位体积之通量，旋度可 理解为单位面积之环流。梯度，例如温度梯度，即温度的偏导。可以认为是温度变化最快的方向。散度，简单理解为离散程度。可以认为是物体的收缩和膨胀程度。涡度，简单理解为旋转程度。可以认为是物体的旋转。散度和旋度都是矢量，梯度则是一个标量。它表示的是标量场有着最大陡峭程度的方向的 变化率，就象我国地图上青藏高原落差最大地方的变化率一样。散度是闭合曲面围成空间中的通量除以围成空间体积，然后令曲面无限小。旋度是闭合曲面围成面积中的环流除以围成范围面积，然后令曲线无限小。拿水池举例，入水口

12、的散度为正，出水口的散度为负，散度值的大小由入/出水的速度而定。 水池内其他位置单位时间内流入的水量等于流出的水量，所以散度为0。将一颗小球放入水中（假设球心位置不改变），该球因为水流运动而旋转的速度就是该点旋 度的值，该球旋转的顺/逆时针决定该点旋度值的符号，该球旋转轴的方向决定该点的旋度 方向。简单地说:散度就是看看某一个点是否有”射线”发出;旋度就是放个”水车”在某个点，看看水 车”能不能转起来。什么是散度I散度的物理意义导读：散度是一个标量，流体速度场的散度为0时，流体不会发散，散度定义为区域直径趋 于0时，其边界面上的矢量积分和区域体积的比值。譬如在电场中，一点的散度就可以解释 为：

13、包围此点的一个很小曲面上的电通量和这个小曲面包围体积的比。或者可以理解为某点 附近单位体积包围面的电通量。如果某点E散度为0，那么此点就没有电荷。这是麦克什么是散度I散度的物理意义散度是一个标量散度的意义粗糙的理解是，在一个点附近射出向量数与射入向量数的差散度可以理解为一个流场中，某点的流速v在各方向的变化率之和，是一个标量。根据这个 定义可以知道，如果在流场中取一小空间，其散度不为零的话，就说明有流入或流出的流体。 当散度为零的话，说明该小空间的流体是连续的，没有多余的流体流入流进。所以，连续体 的连续式就是以此式为零流体速度场的散度为0时，流体不会发散散度定义为区域直径趋于0时其边界面上的矢量积分和区域体积的比值。譬如在电场中，一 点的散度就可以解释为：包围此点的一个很小曲面上的电通量和这个小曲面包围体积的比。 或者可以理解为某点附近单位体积包围面的电通量。如果某点E散度为0，那么此点就没有电荷。这是麦克斯韦方程。微积分学一多元微积分一多元函数积分：设某矢量场由二只.匚小3 匚,：j皿一展，给出，其中P、Q、R具有一阶连续偏导数，Z是场内的一片有向曲面，n是E在点(x,y,z) 处的单位法矢量，则/A 1 1* 叫做矢量场a通过曲面向着指定侧的通量(或流量)，9Q 9R商f叫做矢量场a的散度，记作或A，即dp而+(7Ta 8P 8Q 9R 如人=5=击+而