一般均衡及其福利教案

1、389/109第九章 一般均衡及其福利前面关于消费者和生产者行为的讨论，把价格当作所考虑的经济体的外生变量，消费者和生产者差不多上既定价格体系的同意者。那么，那个既定的价格体系又是如何决定的呢？本章来研究那个问题，价格将被当作经济系统的内生变量看待，由经济系统本身所决定。消费者与生产者、需求与供给的共同作用，既决定了市场价格体系，又决定了各种商品的交易量，而且实现了资源的最优配置，使社会福利达到帕累托最优。这确实是本章将要得出的要紧结论。尽管在第七章中曾研究局部均衡问题，但那只是关于个不市场的价格决定理论。本章研究的是所有市场上的价格决定问题，即一般均衡问题。通过本章的讨论，我们将会看到市场机

2、制在实现资源最优配置方面起着决定性的作用。本章的重点是讨论阿罗-德布罗均衡模型，分析一般均衡价格的决定机制。第一节 经济系统的一般均衡任何经济社会，差不多上由许许多多的消费者与生产者所构成，他们通过市场参与经济活动。前面两章，我们用微观分析的方法，对单个消费者和生产者的行为，进行了详细讨论，得出了实现消费最优化与生产最优化的结论。然而，每个人的经济行为并非孤立地存在。生产的目的是为了消费，消费是要通过一定的分配方式，或者进行商品的相互交换，把商品分配给消费者来实现的。因此，人们的经济行为之间是相互联系，相互阻碍的。人与人之间的经济利益还往往是相互冲突的，尤其是表现在供给与需求这一对矛盾之中。能

3、否使人们之间的这种利益矛盾处于平衡的状态，便是一般经济均衡理论所要研究的问题。一、一般经济均衡思想的由来瓦尔拉是一般经济均衡理论的首创者，他的研究对经济理论的进展具有重大阻碍，使得人们把研究注意力，从单一商品的价格确定上，转移到整个市场价格体系的确定上去，分析市场机制的作用，研究资源配置等问题。瓦尔拉设想，市场上每个人都服从市场价格体系从背后的调节，依照价格体系作出自己的经济决策。结果，市场上每种商品的总需求与总供给，都只是各种商品价格的函数。瓦尔拉又如此提出了问题：设在一个经济系统中有许许多多的生产者和消费者，生产者追求的是他生产的利润最大，消费者追求消费的效用最大。生产者的利润与消费者的支

4、付能力，都与商品的市场价格体系有关。试问，是否存在一个合适的价格体系，即所谓的均衡价格体系，使得在它之下，生产者与消费者取得全面的供需均衡 (即全系统实现总供给与总需求相等，同时每个经纪人都实现自己的利益最大化)? 这确实是一般经济均衡问题。瓦尔拉的一般经济均衡思想，能够追溯到1776年亚当斯密在他的名著国富论中写下的名言：“每个人都在力图应用他的资本，来使其生产品得到最大的价值。一般来讲，他并不企图增进公共福利，也不明白所增进的福利为多少。他所追求的仅仅是他个人的安乐，仅仅是他个人的利益。在如此做时，有一只看不见的手引导他去促进一种目标，而这种目标决不是他所追求的东西。由于追逐他自己的利益，

5、他经常促进了社会利益，其效果要比他真正想促进社会利益时所得到的效果为大。” 这段话明显地是为资产阶级自由放任主义唱赞歌，我们应当给予坚决有力的批判。但另一方面，假如抛开它的政治含义，我们就会发觉，它提出了一个当时及以后一百多年间，人们从未考虑过的深刻的科学问题。用今天系统论的语言来讲，它确实是如此的一个问题：有一个包含许多小系统的大系统，每个小系统都各有自己的目标函数，大系统也有它的目标函数。诸小系统的目标函数的最优，可能是相互牵制的。试问，能否有某种调节手段，使得只要各小系统追求自己的目标最优，大系统的目标也就达到最优？1874年，瓦尔拉把亚当斯密所讲的“社会利益”解释为“供需均衡”，把“看

6、不见的手”解释为“市场价格机制”，一般经济均衡理论从此就问世了。瓦尔拉还给出了均衡价格体系存在性的数学论证。他写出了一个以需求，供给和价格为未知量的联立数学方程组，并声称由于方程组中独立未知数的个数与独立方程的个数相等，因而方程组有解，一般经济均衡问题也就有解。瓦尔拉同时也看到，假如没有一般经济均衡状态存在性的数学论证作为后盾，他的理论就将是一片空洞。后来人们发觉，瓦尔拉给出的数学证明，存在着严峻的缺陷。当代数学家无人不哓，独立方程个数与独立未知数个数相等，不能保证方程组有解。我们不能责备瓦尔拉的数学修养，因为后来用于证明瓦尔拉一般经济均衡存在性，并发觉与它等价的Brouwer不动点定理，是于

7、1911年才问世的。我们倒是应当感谢瓦尔拉的数学修养，假如没有当时论证上的错误，那可能就会因为一般经济均衡存在性得不到证明，而淹没一般经济均衡的光辉思想，从而也就可不能有后来直至今天那么多人去研究它了。二、经济系统的描述现在我们转到对经济系统的具体刻划上来。构成一个经济系统的要素有两类，一是经济人，另一是经济资源。经济人分为消费者和生产者，消费者是通过他的消费集合与偏好关系来刻划的，生产者是通过其生产集合来刻划的。经济资源是指经济人拥有的商品，包括土地、建筑、矿藏、设备、库存等过去留给现在时刻的一切有用的物品。用表示经济系统中消费者的总个数，表示生产者的总个数，表示市场上商品的总种类数，差不多

8、上自然数。对消费者，生产者及商品分不进行编号以后，便可称呼消费者、生产者和商品。用和分不表示消费者的消费集合与偏好关系，和分不表示生产者的生产集合和生产函数。经济的总资源可用中的一个向量来表示，它确实是经济在初始时刻所拥有商品总向量，是各个消费者拥有的商品向量之总和。鉴于此，资源向量也称为经济的初始财宝向量或者初始拥有向量。注意，总资源中包含着劳动和服务这两类商品。经济系统确实是由这些消费者、生产者和经济资源构成的系统，记作，并可表示成：假如经济资源为社会所占有，而不为经济中的任何经济个体战友，那么如此的经济确实是公有制经济。在公有制经济中，个人收入不是由市场决定的，而取决于社会总收入的分配方

9、式，比如按需分配或按劳分配或平均分配等。公有制经济可简单地表示成为：假如总资源为经济的各个行为主体所分不占有，则这种经济确实是私有制经济。用表示私有制经济中消费者所拥有的资源向量，则经济的总资源向量是各个消费者拥有的资源向量之总和：。因此，私有制经济可表示成为：在私有制经济中，消费者的收入由两部分构成：一部分是的价值给他制造的收入，另一部分是他从生产者那儿得到的分红。用表示消费者拥有的资源给消费者带来的收入，表示生产者的利润，表示消费者从生产者那儿享受到的利润分成比例，则消费者的收入可表示成为：。由于生产者也要消费商品，即生产者也是消费者，因而利润分成比例必定满足如下两个条件：(s1) ；(s

10、2) 。如此，私有制经济可更加明确地表示成为：今后为了更方便起见，就把“经济系统”简称为“经济”。在不区分公有制经济与私有制经济的情况下，经济的表示形式上也可采纳简单方式：经济系统中，所有消费者的消费之总和构成了经济的总消费(aggregate consumption)，所有生产者的产品之总和构成了该经济的总产出(aggregate products)。如下定义的商品空间的子集合和，分不称为经济的总消费集合和总生产集合。经济系统中全部经济人的行动可用“经济状态”一词来表述。当消费者选择消费向量，生产者选择生产向量时，经济的状态确实是向量组。可见，一种经济状态确实是商品空间中的一组向量。今后，我

11、们把经济状态简记为。明显地，经济状态表示了经济的一种商品分配方式或资源配置方式。消费集合与生产集合给经济人的行动带来了限制，使得一些经济状态为不可能达到。那些不可能达到的经济状态，必须排除在考虑之外，剩下来的就只有可达状态了。可达状态的特征有两个：一个特征是那个状态下的诸消费者和生产者的消费与生产都可行，另一个特征是总消费费不超过总供给。即，一个经济状态是可达的(attainable)，是指它满足以下两个条件：(A1) (A2) 由一切可达状态所构成的集合，称为可达状态集合，记作()。凡是能在可达状态中出现的消费者的消费向量，都称为消费者的可达消费，其全体记为，并称为消费者的可达消费集；凡是能

12、在可达状态中出现的生产者的生产向量，都称为生产者的可达生产，其全体记为，并称为生产者的可达生产集。显然，与分不是与的子集。人们更关怀可达状态中那些可行的状态，即那些使条件(A2)中的不等式成为等式的可达状态。换言之，经济状态称为是可行的(feasible)，是指满足如下两个条件：(F1) ；(F2) 。经济的所有可行状态的全体，用()表示，称为可行状态集合。现在引入市场均衡概念。市场均衡是把经济状态、消费者收入及市场价格体系三者联系在一起的一个概念。联系着价格和消费者收入的经济状态，可记为。经济状态称为是市场均衡(market equilibrium)，是指满足如下三个条件：(ME1) 是消费

13、者在价格体系和收入下的均衡；(ME2) 是生产者在价格体系下的均衡；(ME3) 经济系统的总需求等于总供给：。市场均衡状态的全体，用()来表示。易见，市场均衡必是可行状态。市场均衡状态中的价格体系，称为均衡价格体系，或者称为市场价格体系。再引入竞争均衡概念。考虑私有制经济，这种经济中每个消费者的收入都由他拥有的资源的价值和从厂商那儿得到的分红构成，也确实是讲，在经济状态中，收入是以下述方式计算的：因此，状态可简记为。当为市场均衡时，就叫做竞争均衡(competitive equilibrium)或瓦尔拉均衡(Walrasian equilibrium)。换句话讲，经济状态叫做竞争均衡，是指满足

14、如下三个条件：(CE1) 是消费者在价格体系和收入下的均衡；(CE2) 是生产者在价格体系下的均衡；(CE3) 经济系统的总需求等于总供给：。用()表示瓦尔拉均衡状态的全体。本章章中，总用来表示消费者的需求集映。当它取值为单点集时，它定义了唯一的一个映射，即需求映射，仍用表示之。类似地，用表示生产者的供给集映，当它取值为单点集时，它定义了供给映射，仍用表示之。集映(映射)(其中)和分不称为总需求集映(总需求映射)和总供给集映(总供给映射)。第二节 瓦尔拉均衡模型瓦尔拉当初建立一般经济均衡模型时，由于他的数学修养，让他一开始就对理论采取了数学形式。他设经济系统中有种生产要素和种产品，消费者通过向

15、生产者提供生产要素来获得收入，然后用所获收入去购买生产者的产品进行消费。设生产一单位第种产品，需要投入个单位的第种生产要素。如此，生产个单位的第种产品，就需要投入第种生产要素个单位。设市场上每种商品的总需求与总供给差不多上商品价格体系的函数，即价格机制对市场进行着调节。经济的均衡状态是使各种商品的总供给与总需求相等的状态。瓦尔拉指出，在各个消费者与生产者只追求各自的最大利益的情况下，价格机制对市场的调节，必能使经济处于均衡状态。瓦尔拉做了如此的分析证明。用表示均衡时对第种生产要素的总供给量，表示均衡时对第种产品的总供给量，为均衡价格体系，它们差不多上待确定的未知量。与又分不差不多上总需求量。市

16、场上商品的总种类数，因而分为两部分：，其中是生产要素的价格向量，是产品的价格向量。设第种生产要素的总供给函数是，第种产品的总需求函数是，它们差不多上以价格体系为自变量的已知函数。如此，就得到了第一组关于的个方程:经济系统要生产出产品向量，需要投入的第种生产要素的总量为，它确实是第种要素的总供给量，因此又有第二组个方程:另外，每一种产品的价格都应该等于生产出该产品一个单位所需的成本。这就给出了第三组个方程:以上得到了个未知量的个联立方程组。注意，需求函数与供给函数差不多上价格变量的零阶齐次函数，因而价格只具有相对的意义，例如可取，结果未知数的个数减少了一个。再注意，均衡时消费者的收支要平衡，即收

17、入要等于支出，而消费者的收入是通过提供生产要素来获得的。所有消费者提供的生产要素总向量是，从而所有消费者的总收入是。所有消费者购买的产品总向量是，从而所有消费者的总支出为。均衡时，应与相等，因此得到下面的恒等式：那个恒等式称为瓦尔拉定律。依照瓦尔拉定律能够推知，前面得到的第二、三组方程中有一个不是独立的，它能够从其余个方程推出。这么一来，独立方程的个数也就减少了一个。剩下来的只有个独立未知数和个独立方程。既然独立未知数个数与独立方程个数相等，瓦尔拉当时就宣称方程组有解，从而一般经济均衡问题有解。这确实是原始的瓦尔拉均衡模型。尽管瓦尔拉给出的数学论证是错误的，然而他的思想却是特不地深刻与奥妙。实

18、际上， 在他那个时代， 给出经济均衡存在性的严格数学证明全然不可能。下面来显示一般经济均衡理论的数学深度。首先，我们对瓦尔拉的思想做一个归纳。市场上有种商品，用表示总需求映射，表示总供给映射，并假定它们差不多上关于价格体系的连续映射。瓦尔拉定律讲收支要平衡，因此这两个映射满足如下条件：对任何价格向量，都有这确实是瓦尔拉定律的数学形式。前面所述的均衡方程，现在可一般地叙述成：供需均衡方程的解，与超需求映射的零点是一致的。注意，价格的相对性使我们能够把价格向量的变化限制在价格空间的子集合之中：因此，瓦尔拉一般经济均衡的存在性可用下述定理表述：命题A. 关于任何一个连续映射，假如对一切都成立，则必存

19、在满足。那个命题称为瓦尔拉一般经济均衡存在性定理。它看上去大概并不令人惊奇，然而实际上它却与特不深刻的Brouwer不动点定理等价。命题B(Brouwer). 从到的任何连续映射都有不动点， 即存在满足。本节剩余部分确实是来讲明命题A和命题B的等价性。命题B命题A：我们可把命题A中的映射看作“超需求映射”，并利用对价格体系进行一次全面调整，调整方法如下。记。当商品的需求大于供给时，采取涨价措施：令，并把作为调整后的价格体系。易见，对任何的，都有，同时这种调整结果关于原价格体系是连续的。命题B告诉我们，这种方式的调价，必定对某种价格体系不起作用，即调整前后的价格相同：。因此对那个价格体系，就有，

20、从而。在等式两边同乘以，然后对求和，可得到从瓦尔拉定律知，。因此，。注意，左边和式中的每一项都非负，因而只有。再注意，当时，。因此，只有，即。命题A得证。命题A命题B：从已给的映射定义映射如下。对任何，令则定义了从到的一个连续映射，同时满足命题A中的条件:，从而存在满足。既然且，可见只有对一切成立。关于每个，不外乎或。当时，从知；而当时，从知。总之，对一切都有，即，从而。注意，且(因为,)，因此。由此可知，即，故是的不动点。命题B得证。以上的讨论讲明，即使一个最简单的一般经济均衡模型，其在数学上就差不多相当不平凡，可见一般经济均衡思想是多么地深刻与奥妙。第三节 经济系统博弈尽管瓦尔拉对一般经济

21、均衡存在性给出的证明不能令人信服，然而这段证明却保持了半个多世纪，直到二十世纪三十年代以后，人们才逐渐摸索出了新的论证方法。通过许多人的努力，于1954年才由阿罗和德布罗共同重建了一般经济均衡的理论大厦，对一般经济均衡存在性，给出了令人中意的严格数学证明，树起了经济学史上的一块新的里程碑。这段历史进展过程中，值得一提的是博弈论对经济均衡理论的贡献。1950年，纳什(J.F. Nash)应用日本数学家角谷静夫(S. Kakutani)提出的集值映射不动点定理，证明了人博弈纳什均衡的存在性。纳什定理的重要意义之一，在于它的结论能够向经济系统推广，尤其是带附加约束条件的纳什均衡存在性定理，是获得阿罗

22、-德布罗均衡存在性定理的关键所在。本节就来介绍纳什均衡向经济系统的推广，即应用博弈论来研究一般经济均衡问题。一. 经济系统的博弈描述考虑经济系统，其中，和差不多上非空紧凸集。中的每个经济人都可看作是一个博弈的局中人。消费者的策略集合确实是消费集合，生产者的策略集合确实是生产集合。由于市场价格体系从背后对人们的经济行为进行调节，因而可把市场也看作是一个局中人，亦即是讲，把亚当斯密的“看不见的手”从台后请到台前，把它看作参加博弈的一方，并称其为市场经济人，它的策略集合取为。因此，那个博弈的局势集合为：。博弈中，消费者的收益由他的效用函数确定：对任何，生产者的收益由他的利润(净收入)确定：对任何，市

23、场经济人的收益可看作全社会的超额支出：对任何，其含义是讲，市场经济人的行为准则是要让超额需求的价值尽可能地大，而要让超额供给的价值尽可能地小，以起到对市场的调节作用。注意，函数对价格的偏导数为：因此，只要商品存在着超额需求，就有，现在市场经济人的目标确实是提高商品的价格。而当商品存在着超额供给时，市场经济人的目标是降低商品的价格。可见，目标函数的定义与实际情况是相符合的。消费者要在预算约束下使效用最大化，因此作为局中人看待的消费者服从的约束条件为：对任何，生产者要使利润最大化，生产方案的选择范围始终是生产集合，因而选择不受约束。这种情况下，约束条件可看作是策略集合。同样，市场经济人的选择也没有

24、附加约束条件，即约束条件可看作是策略集合。如此一来，经济系统可看成是带附加约束条件的博弈。显然，的竞争均衡必定是的纳什均衡。这是因为当是的竞争均衡时，必定是消费者的收益函数在约束条件下的最大值点，也必定是生产者的最大利润点，同时由于，因而对任何，都有，这讲明是市场经济人的最优选择。这一切事实证实了是的纳什均衡。进一步，在消费者偏好无满足的假定下，还可把竞争均衡放松成为有自由处置的均衡。所谓是经济的有自由处置的均衡(equilibrium with free disposal)，简称自由处置均衡，是指满足如下三个条件：(EFD1) 是消费者在价格和收入下的均衡消费向量；(EFD2) 是生产者在价

25、格下的利润最大化净产出向量；(EFD3) 。当每个消费者的偏好差不多上无满足的凸偏好时，从第三章的讨论可知消费者需求满足瓦尔拉法则。如此，关于有自由处置的均衡来讲，偏好的无满足性和凸性保证了；而保证了对任何，都有，从而。这就讲明，当每个消费者的偏好关系都无满足的凸偏好时，经济的自由处置均衡必定是博弈的纳什均衡。然而，偏好的无满足性在消费集合有界闭的情况下不能成立，因为第二章中曾经证明过：任何连续偏好在的非空有界闭集中都有满足。看来，需要对无满足性条件作修改。事实上，只要注意需求的瓦尔拉法则在“需求向量不是消费集合中的满足向量”这一较弱的要求下就能成立，那么把“无满足性”改换成为“任何可达消费向

26、量在消费集合中都不是满足消费”，再加上偏好的凸性条件，方可保证上面的成立，从而保证对一切成立。因此，如上的结论变为：假如每个消费者的偏好关系差不多上凸的，同时任何可达消费方案都不是消费者的满足消费，那么经济的自由处置均衡必定是博弈的纳什均衡。反过来，博弈的纳什均衡能够成为经济的自由处置均衡吗？答案是确信的。事实上，当是博弈的纳什均衡时，显然满足条件(EFD1)和(EFD2)。既然服从预算约束，因此在条件下，结合是的纳什均衡这一事实，我们得到：对任何，。从而对一切成立。这就保证了，即条件(EFD3) 得到满足。可见，当时，博弈的纳什均衡也必定是经济的自由处置均衡。把以上得出的两条结论结合在一起，

27、我们便得到竞争均衡和纳什均衡之间的如下关系：命题1. 设博弈是对经济的博弈描述，其中且。博弈的纳什均衡必定是经济的自由处置均衡；当中的诸消费者都具有凸偏好关系，同时任何可达消费方案都不是消费者(在中)的满足消费时，经济的自由处置均衡也必定是博弈的纳什均衡，从而对任何，是经济的自由处置均衡当且仅当是博弈的纳什均衡。因此，经济均衡的存在性问题转化为带附加约束条件的纳什均衡存在性问题。第八章第九节关于带约束条件的纳什均衡存在性定理，给出了该问题的答案。为了保证满足第八章第九节中所述的带附加约束的纳什均衡存在性定理的条件，我们对经济系统提出如下要求：(D1) 与差不多上的紧凸子集；(D2) 是连续的弱

28、凸偏好关系；(D3) 存在满足；(D4) ；(D5) 且，即生产者都把利润全部分配给消费者。条件(D1)保证了博弈的各个局中人的策略集合差不多上欧氏空间的紧凸子集，条件(D2)保证了各个局中人的收益函数差不多上关于局中人自己的策略变元的弱拟凹连续函数，条件(D3)和(D4)(再加上条件(D1)保证了各个约束集映差不多上连续的，从而第九章第九节中的条件(G1)和(G2)得到满足。那个地点，对条件(D3)的意义作一点讲明。能够把(D3)中的向量理解为消费者的最小需要向量，因此条件(D3)讲明消费者拥有的资源都比他的最小需要为大，即消费者的最差不多的生活需要是能够得到满足的。既然带约束条件的均衡存在

29、性条件得到满足，的纳什均衡存在，从而经济的自由处置均衡存在，这确实是德布罗得到的如下定理：德布罗定理(G.Debreu). 设经济满足条件(D1)、(D2)、(D3)、(D4)和(D5)，则有自由处置的均衡，即存在经济状态满足条件(EFD1)、(EFD2)和(EFD3)。进一步，假如还满足如下条件：(D6) 各个消费者的偏好关系是凸的，同时任何可达消费方案都不是消费者的满足消费，即对任何，都存在相应的使得。则的任何自由处置均衡都服从瓦尔拉斯定律，即证明. 只需讲明自由处置均衡服从瓦尔拉定律。为此，设为的任一有自由处置的均衡。条件（D6）保证了。结合条件(D5)便知，。可见，服从瓦尔拉定律。二.

30、 阿罗-德布罗均衡模型上面提出的德布罗定理，给出了自由处置均衡存在的条件，但它不能令人中意。首先，它所蕴含的自由处置性没有得到明确的表述，应当给其以明确表达。其次，要求消费集合与生产集合差不多上紧集，从而差不多上有界集合，是难以找到经济上的合理性的。尤其是生产集合的有界性，把规模酬劳不变这一标准情形都给排除在外。因此，需要对一般经济均衡存在性问题进行进一步深入研究。现在的问题是如何给出既有经济意义，又能保证一般经济均衡存在的合理条件。阿罗与德布罗通过一番周密细致的精巧分析，提出了一系列合理假设，给出了经济均衡存在的下述定理，即经典的阿罗-德布罗定理。阿罗-德布罗定理(1954,1959). 设

31、经济满足下述条件:对每个消费者来讲，(AD1) 是商品空间的下有界闭凸子集；(AD2) 是连续的、无满足的凸偏好关系；(AD3) 存在满足；关于生产者来讲,(AD4) ；(AD5) 总生产集合是的闭凸子集；(AD6) ；(AD7) ；关于利润分成比例来讲,(AD8) 且。则经济的竞争均衡存在，即存在经济状态满足如下三个条件：(1) 是消费者在价格和收入下的均衡向量；(2) 是生产者在价格下的均衡向量；(3) 。 定理中的条件(AD6)是讲生产过程不可逆；条件(AD7)是讲企业对投入要素能够自由处置，即企业能够采取只投入不产出的生产方案。如此就可保证产品只是剩，从而克服自由处置均衡中的产品过剩现

32、象。其它假设的经济意义在往常章节中已作过解释，那个地点不必重复。我们把满足条件(AD1)至(AD8)的经济，叫做阿罗-德布罗经济。在证明阿罗-德布罗定理之前，对阿罗-德布罗经济的性质作一些探讨。用表示集合的闭包运算，表示集合的凸包运算。即对任何，是包含的最小闭集，是包含的最小凸集。如此，集合和的意义确实是明显的了。命题2. 设是的任意有限个非空子集，。则，。尤其是当为闭集时，。证明：包含式和的成立是明显的，因而当为闭集时，。以下证明成立。从数学归纳法可进一步得知，实际上只需证明时这一包含式成立。设任意给定。则。既然是任意给定的，我们有。同样，对任何，都有，因而。命题2得证。命题3. 设是闭凸集

33、，且，则对任何及整数, 存在常数使得只要且, 就有。证明：令，则。事实上, 假如，则存在中有限个向量及加权数，使得。既然是凸集且，我们有，即。显然，。另一方面，。因此，这与相矛盾。可见不能成立，即只有。注意，是紧集。容易验证，紧集的凸包仍然是紧集，因此是紧集，从而是闭凸集。由凸集的分离性定理(见第二章)知，存在使得对一切，都有。既然，因此对一切成立。这就讲明。令,，则,。我们指出：对任何，都有。实际上，关于，当时，；当时；的凸性及保证了，从而，可见。现在能够完成命题3的证明了。设,为整数。令，则当且时，因此。命题3得证。命题4. 设是的下有界子集，且为任一整数。则存在常数使得只要且，就有。证明

34、：我们应用命题3来证明命题4。设是集合的一个下界，即对一切成立。令，易见满足命题3的条件，且对每个，都有。再令。从命题3知，存在常数使得只要且，就有。令，则当且时， 且，因此，从而 。命题4得证。定义(闭凸化经济). 阿罗-德布罗经济的闭凸化是指经济，其中。命题5. 阿罗-德布罗经济与它的闭凸化具有相同的总生产集合和相同的可达消费集合。证明：这是因为是闭凸集，从而由命题2可知，即与具有相同的总生产集合。既然与的总生产集合和消费集合都相同，从而也有相同的可达消费集合。证完。命题6. 阿罗-德布罗经济的闭凸化的可达消费集合和可达生产集合差不多上的有界子集，从而存在的紧凸子集使得 且。证明：事实上，

35、诸消费集合有公共下界，设为它们的一个公共下界。如此，便是总消费集合的下界。用表示经济的总资源向量，即，并令。从命题3知，关于和整数，存在常数使得只要且，就有。现在，设是闭凸化的任一可达状态。则(这是因为，从而)，同时。结合刚刚得出的结论可知，。这讲明各个可达生产集合差不多上有界的，从而集合也是有界的，设为的一个上界。考虑集合，令。从命题4可知，关于那个向量和正整数，存在常数使得只要且，就有。显然，可达状态中的满足这些条件，即(因为是诸的公共下界)，同时，因此对一切成立。这讲明可达消费集合是有界的。既然和差不多上的有界子集，因而必存在的紧凸子集使得 且。命题6得证。命题6保证了下面给出的阿罗-德

36、布罗经济的伴随经济定义的合理性。定义(伴随经济). 设是商品空间的紧凸子集，满足且，其中是阿罗-德布罗经济的闭凸化的可达消费集合，是的可达生产集合。令, ,。那个经济叫做的伴随经济。命题7. 阿罗-德布罗经济的伴随经济具有服从瓦尔拉定律的自由处置均衡。证明：我们来验证伴随经济满足德布罗定理的条件。首先，由于和差不多上闭凸集，因而与差不多上的紧凸子集，条件(D1)得到满足。其次，原来在上连续、凸的偏好关系，现在在上因此也是连续凸的，更是连续弱凸的，条件(D2)得到满足。条件(D4)和(D5)是明显得到满足的。以下来看条件(D3)和(D6)。由所满足的条件(AD3)知，存在使得。再从条件(AD4)

37、知，。因此，状态是经济和的可达状态，这讲明，条件(D3)得到满足。关于条件(D6)，由于经济、闭凸化及伴随经济具有相同的可达消费集合，同时已知偏好是凸的，因此只需讲明任何可达消费向量都不是消费者在中的满足消费。为此，设是任一可达消费方案。从偏好的无满足性知，不是消费者在中的满足消费，即存在使得。从的凸性知，对一切成立。注意(为定义伴随经济的紧集)，因此必定存在实数使得。记，则且，这讲明不是消费者在中的满足消费。条件(D6)得到满足。既然伴随经济满足德布罗定理的全部条件，因此具有服从瓦尔拉定律的自由处置均衡。命题7得证。到此，我们看到阿罗和德布罗对经济提出的条件尽管是专门一般的，但这些一般条件却

38、隐藏着经济系统的一些专门深刻的性质。这些性质将能保证竞争均衡的存在性。阿罗-德布罗定理的证明：证明的思路是从伴随经济的服从瓦尔拉定律的自由处置均衡，导出阿罗-德布罗经济的竞争均衡。依照命题7，设是伴随经济的服从瓦尔拉定律的自由处置均衡(如此的均衡必定存在)。记，则且。再记，则从知。从知，对任何实数，都有。的凸性保证了对一切实数成立。令，应用集合的闭性，便得到。因此，存在使得。我们指出：是经济的竞争均衡。事实上，是的可行状态，即，这一点是明显的。因此，为了证明是经济的竞争均衡，只需讲明下面两个事实：事实1：且是生产者在价格体系下(在中)的均衡。事实2：是消费者在价格与收入下的均衡。先来证明事实1

39、。既然是经济的可达状态，因而也是伴随经济的可达状态，这讲明。再从是的自由处置均衡可知，应有。又给出，从而只有对一切成立。现在，设任意给出。假如，则在连接和的线段内的任何一点处，都有。从(为定义伴随经济的紧集)可知，在线段内存在一点使得。关于那个点，因此也有。然而，集合的凸性保证了，因此。结合是的自由处置均衡，又有，出现矛盾。矛盾的结论讲明不成立，即只有。这就讲明是生产者在价格体系下在生产集合中的利润最大的净产出方案，即是生产者在价格体系下的均衡，事实1得到证明。再来证明事实2。设任意给出，且满足。假如。既然在的内部，能够在线段内找到一点使得。的凸性保证了，因此，而且偏好的凸性保证了。另外，和又

40、保证了。既然是的自由处置均衡，因此从和可知，这与相矛盾。可见，不能成立，故只有。这就证明了是消费者在价格体系和收入下的均衡，即是中服从预算约束的效用最大化向量。事实2得到证明。到此，阿罗-德布罗经济的竞争均衡存在性得到证明。第四节 均衡的福利含义前一节通过把一般均衡的存在性问题, 转化成为博弈的纳什均衡存在性问题，应用角谷静夫的不动点定理，得到了一般经济均衡存在性的严格证明。但一般均衡的意义不只在于它的存在性，更重要的是通过一般均衡来配置经济资源，这种资源配置方式是最优的，它能给社会带来最大福利。本节就来论证这一点。一经济有效性一个经济是否有效率，要看那个经济中经济资源是否得到了有效利用。经济

41、效率一词确实是专门用来表达经济资源的有效利用程度的。经济资源的有效利用程度，要以生产者提供的产品使消费者得到的满足程度来推断。只要生产要素的投入使用能够让生产者向社会提供一定的产品供消费，从而消费者从产品消费中得到一定的满足，那么这种经济就具有一定的效率。假如讲生产要素能够重新组合，使得按照新的组合来投入使用时生产者向社会提供的产品使消费者得到了更大程度的满足，那么生产要素的这种新组合方式，就要比往常的那种使用方式更为有效，相应地经济也就更有效率。假如生产要素的组合使用方式差不多使经济达到了最有效率的状态，即按照其他任何组合方式来使用生产要素，都会使(某些)消费者的满足程度有所降低，那么就讲现

42、在的经济效率最大，资源配置最优，社会福利最大。为了准确表达经济效率概念，同本章第一节一样，设经济系统中有个消费者，个生产者，种商品，总资源向量为。因此，所考虑的经济可写为：经济状态称为是对经济状态的一种帕累托改进(Pareto improvement)，是指：(PI1) 和差不多上的可行状态；(PI2) 对一切成立；(PI3) 至少对某个消费者来讲，成立。帕累托改进的意义在于保证所有消费者的生活水平不降低的情况下，还要至少使某些消费者的生活水平有所提高，从而社会福利水平得到提高。假如一种可行经济状态差不多不存在帕累托改进，那么就讲这种经济状态是帕累托有效的(Pareto efficient)，

43、或者讲是经济有效的(economically efficient)。换言之，状态的经济有效性等价于：(PE1) 是可行状态；(PE2) 其他任何可行状态都不是的帕累托改进。(一) 公有制经济的效率生产资料的公有制是社会主义市场经济的基础。所谓生产资料的公有制，能够表达为：经济的总资源向量不为个人私有，而为大伙儿公有。这些总资源是过去留给现在的一切有用的物品，它们可能作为生产要素用于生产，也可能作为消费品直接用于消费。在充分利用市场机制对经济进行调节的情况下，公有制经济的一般均衡可用市场均衡来表达。只要实现市场均衡，那么公有制经济中各个个体的利益都将达到最大，而且社会总需求等于社会总供给。下面来

44、看公有制经济实现市场均衡时的经济效率。公有制经济第一福利定理设公有制经济中诸消费者的偏好关系差不多上局部无满足的。假如是的市场均衡，那么经济状态必是帕累托有效的。证明设是的市场均衡。偏好的局部无满足性保证了。这是因为，假若，则从偏好的的局部无满足性可知存在使得且，这与是消费者在价格体系和收入下的均衡(效用最大化向量)相矛盾。因此，只有。现在，用反证法来证明的经济有效性。假定不是帕累托有效的，则存在可行状态使得且对某个消费者，有。我们指出：且。事实上，假如，那么偏好的局部无满足性保证了存在满足且，这与是消费者在价格体系和收入下的均衡(效用最大化向量)相矛盾，故只有成立。而的成立，完全是由因此消费

45、者在价格体系和收入下的均衡所致。既然且，因此。再注意，是生产者在价格体系下的均衡(利润最大化向量)，因此。如此，我们有，即。然而，和差不多上可行经济状态，因此。这就给出，出现了矛盾。可见的非帕累托有效性之假定不能成立，即一定是帕累托有效的。第一福利定理得证。公有制经济第二福利定理设公有制经济满足下面条件：消费集合是商品空间的下有界非空闭凸子集；偏好关系是连续的、凸的，同时还具有如下的单调性： (3) 生产集合是非空凸集。假如是的帕累托有效状态同时，则存在价格体系和收入分配状态使得是的市场均衡。证明本定理的证明要用到凸集分离性定理(见第二章)。设是经济的帕累托有效状态，同时。令,偏好的凸性保证了

46、集合是凸集。既然也是凸集，因此是凸集。(i). 事实上，关于任何，令，则由和定理中的条件(2)可知，即，从而, 。由此可得，。这就证明了。(ii). 用反证法证明(ii)。假定，则存在使得。从的定义知，必有经济状态满足：, 。现在，定义另一经济状态如下：， ，。显然，是的可行状态，同时由于而有，同时。因此，是的帕累托改进，这与的帕累托有效性相矛盾。矛盾的结论讲明，不能成立。故只有，(ii)得证。(iii). 存在向量使得对一切成立。事实上，(i)保证了非空，(ii)讲明了。因此，应用凸集分离性定理便知存在向量使得对一切成立。但从(i)知，因此那个向量必定为正向量，即，(iii)得证。以那个向量

47、作为价格向量，并以作为消费者的收入。下面，我们来讲明是经济的市场均衡。(iv). 对一切成立。事实上，关于消费者来讲，设为任意给出。定义经济状态：,。令，我们有：且。因此，从(iii)可知，即。(iv)得证。(v). 对一切成立。事实上，任给使。既然，存在满足。偏好的单调性保证了；而的连续性又保证了存在实数使得 ，从而。如此，(iv）便告诉我们，。既然且，我们又有。由此可知，这便讲明。(v)得证。(vi). 对一切成立。实际上，关于生产者来讲，任意给定以后，定义经济状态：,。令，则，从而由(iii)可知，即。这就证明了(vi)。(v)讲明是消费者在价格体系和收入下的均衡，(vi)讲明是生产者在

48、价格体系下的均衡，而本来确实是的可行状态，因此是经济的市场均衡。第二福利定理得证。(二) 私有制经济的效率私有制经济中，生产资料归私人所有，也确实是讲，经济资源为各个消费者分不占有。每个消费者的收入来源都有两部分，一部分是他提供自己拥有的资源所得到的收入，另一部分是他从生产者那儿得到的利润分成。如此，私有制经济可写成：其中是消费者拥有的资源向量，社会总资源为，是生产者向消费者的利润分成比例，。私有制经济第一福利定理设私有制经济中诸消费者的偏好关系差不多上局部无满足的。假如是的竞争均衡，那么经济状态必定是帕累托有效的。证明当是经济的竞争均衡时，令 ，则是的市场均衡，因而经济状态是帕累托有效的。私

49、有制经济第二福利定理设私有制经济满足下面诸条件： 消费集合是商品空间的下有界非空闭凸子集； 偏好关系是连续的、凸的，同时还具有如下的单调性(强单调性)： (3) 生产集合是非空凸集。假如是的帕累托有效状态同时，则存在价格体系和利润分配比例使得同时是的竞争均衡。证明设是的帕累托有效状态，同时。记。由公有制经济第二福利定理知，存在价格向量使得在收入分配 下，是经济的市场均衡。注意，是消费者从各个生产者那儿得到的分红之总和。因此，生产者向消费者的利润分配比例可视作：。容易看出：，同时 。这就讲明，是的竞争均衡。私有制经济第二福利定理得证。不论是公有制经济，依旧私有制经济，第一福利定理都讲明，市场机制

50、对经济的调节可使经济处于最有效率的状态，社会总需求等于社会总供给，不但个体利益都实现了最大，而且全社会的福利也达到了最大，资源配置达到最优；第二福利定理讲明，经济最有效率的状态必定可通过市场机制对经济进行调节来实现。由此可见，市场调节对经济进展所具有的不可替代的作用。过去(改革开放前)，我们国家实行打算经济，而把市场调节当做资本主义的腐朽东西加以完全批判。改革开放以来的经济实践证明，在我们如此一个以生产资料公有制为基础的社会主义国家里，同样离不开市场对国民经济的调节。市场调节关于经济进展和提高人民生活水平，愈来愈显示出了巨大的作用。现代经济是一个打算调节与市场调节有机结合、优势互补的经济，任何

51、只重视打算或只重视市场的片面做法差不多上错误的。二经济效率的实现条件既然市场机制对经济资源的配置是最有效率的，社会福利达到最大，而且最有效的资源配置一定能够通过市场方式来实现，那么实现经济有效性的条件究竟如何？这便成为人们关怀的问题。现在来讨论那个问题，我们将按照交换经济、生产经济、和一般经济三种情况，分不研究实现经济有效性与最大社会福利的条件。(一)交换最优条件当生产方面情况既定时，经济主体的活动表现为把各自拥有的商品在他们之间进行交换，或者讲把社会的总资源和总产品在各个经济主体之间进行(重新)分配，以使社会福利达到最大。以这种方式运行的经济，叫做交换经济(exchange economy)

52、。交换经济的帕累托有效性，叫做交换有效性。实现交换有效性的条件，确实是交换最优条件。一般来讲，交换经济可表示成为或，总资源向量。考虑交换经济。由于生产方面情况不变，经济状态的可行性含义就变成为满足如下两个条件：(FE1) ；(FE2) 。经济状态叫做是的帕累托改进，是讲：(PI1) 和差不多上的可行状态；(PI2) ；(PI3) 必定对某个消费者成立。当一种可行状态不存在帕累托改进时，那个状态就叫做交换有效的，或叫做帕累托 有效的。经济状态叫做的竞争均衡，是讲：(CE1) 是的可行状态；(CE2) 是消费者在价格体系和收入的均衡。下面，对交换经济可行状态、交换有效状态、及竞争均衡状态的几何意义

53、作一解释。为此考虑且的简单情形，即假设经济系统中只有两个消费者甲和乙，也只有两种商品和。消费者甲拥有个单位的商品，但不拥有商品；消费者乙拥有个单位的商品，但不拥有商品。他们用各自拥有的商品交换对方的商品，以满足自己的需要。在那个简单的交换经济中，消费者甲的初始拥有商品向量为，消费者乙的初始拥有商品向量为，经济的总资源向量为。经济状态的可行性条件变成为：,。关于消费者甲，选定一个直角坐标系作为甲的坐标系。再将那个坐标系首先平移至点所在的位置(即以为新的原点)，然后将坐标架旋转180，构成一个新的坐标系，并以那个新的坐标系作为消费者的坐标系(如图9-1所示)。这时便出现了一个矩形盒子，称之为埃奇沃

54、思盒(Edgeworth box)。埃奇沃思盒中的任何一个点都具有如下三层含义：(EB1) 从消费者甲的坐标系来看，代表甲的选择方案；(EB2) 从消费者乙的坐标系来看，代表乙的选择方案；(EB3) 代表的经济状态是可行的，即,且。反过来，那个经济中的任何可行状态都可用埃奇沃思盒中的某点来代表。这就给出了Edgworth盒的妙用之一：可行状态恰好是埃奇沃思盒中的点(如图9-1所示)。从消费者甲的坐标系来看，埃奇沃思盒布满了消费者甲的无差异曲线；再从消费者乙的坐标系看，埃奇沃思盒布也布满了消费者乙的无差异曲线。甲的无差异曲线和乙的无差异曲线的切点正好代表了二人二商品交换经济的帕累托有效状态(如图

55、9-2所示)。所有这些切点构成的集合(或者形成的轨迹)，称为合同曲线(或契约曲线)。这又给出了埃奇沃思盒的另一妙用：帕累托有效状态恰好是埃奇沃思盒中合同曲线上的点(如图9-2所示)。 图9-1 埃奇沃思盒 图9-2 合同曲线注意，从埃奇沃思盒中来看，在价格体系下，消费者甲的预算线和消费者乙的预算线重合，同时通过埃奇沃思盒中由初始状态(和)所确定的点。消费者实现均衡时，预算线与无差异曲线相切。因此，竞争均衡状态所确定的埃奇沃思盒中的点必是两条无差异曲线的切点，从而必在合同曲线上(如图9-3所示)。反之，关于合同曲线上的任何点，以过该点两条无差异曲线的公切线为预算线，就可使该点代表的经济状态成为市

56、场均衡。但要注意，如此的预算线不见得通过初始状态(和)所确定的点，因而这种市场均衡中的消费者收入不见得等于。 市场均衡和竞争均 合同曲线上的每个点都代表某种 衡都在合同曲线上 市场均衡，但未必代表竞争均衡 图9-3 合同曲线与市场均衡的关系作了上述几何解释以后，我们采纳边际分析法来看交换的最优条件是什么。用表示交换经济中消费者的效用函数，并设是的帕累托有效状态，。每个效用函数都可看成是的经济状态的函数： 因此，是函数在约束条件下的极大值点。依照拉格朗日乘数法，存在拉格朗日乘数使得如下函数在处的各个一阶偏导数全为零。为了书写方便，令，则上式可写成：求的一阶偏导数，可得：因此，。这就给出：注意，各

57、个消费者的效用函数在任何点处的各个一阶偏导数都非负，同时可不能同时全为零(这是假设)。因此，从便可推知，且。既然且，我们有：这讲明：经济的帕累托有效状态是如此的状态，它使得任何两种商品之间的边际替代率对所有消费者来讲差不多上一样的。这确实是交换最优条件。当交换经济实现竞争均衡时，关于每个消费者来讲，任何两种商品之间的边际替代率都这两种商品相应的价格比。因此，当实现竞争均衡时，任何两种商品之间的边际替代率对所有消费者来讲差不多上一样的，即交换最优条件得到满足。因此，交换经济的竞争均衡实现了交换最优条件。(二) 生产最优条件当经济中消费方面的情况既定时，经济活动就仅仅表现为生产活动，即经济表现为生

58、产经济。我们来讨论生产经济的效率问题。使生产经济达到最有效状态的条件，确实是生产最优条件。同讨论交换最优条件时的做法一样，我们采纳边际分析法来看一看生产的最优条件究竟是什么。为此，设生产经济中共有个生产者，生产者的生产集合为，生产函数为。因此，那个生产经济可表示成。在生产经济中，经济状态的可行性条件变成为。关于的任何一个状态，向量代表社会总产出。生产经济中，社会总产出越大，经济效率也就越高。因此，生产经济的有效状态应该是社会总产出最大的经济状态。换言之，是的有效状态，是讲是可行的，同时没有其他可行状态能够满足条件。生产经济的竞争均衡状态是指是可行的，同时是生产者在价格体系下的利润最大化净产出向

59、量。首先注意，假如是生产经济的有效状态，那么必是生产者的技术有效的生产，从而。事实上，假若不是生产者的技术有效生产，则存在满足使得。考虑状态：，。显然，是的可行状态，同时 。这与的有效性相矛盾，可见只能是生产者的技术有效生产。既然各个差不多上技术有效的生产，依照生产函数的定义(见第六章第八节)可知， 。现在，设是的任一有效状态，是相应的社会总产出向量，其中,。则必定是函数在约束条件 和下的最大值点。依照拉格朗日乘数法，存在拉格朗日乘数使得函数(其中)在处的各个一阶偏导数全为零，即即。从及可知, 及。如此，我们便有：这讲明：生产经济的有效状态是如此的状态，它使得任何两种商品之间的边际转换率关于所

60、有生产者来讲差不多上一样的。这确实是生产最优条件。当生产经济实现竞争均衡时，对每个生产者来讲，任何两种商品之间的边际转换率都等于它们相应的价格比，而商品价格不因人而异，因此竞争均衡时任何两种商品之间的边际转换率关于所有生产者来讲差不多上一样的，即竞争均衡实现了生产最优条件。(三) 交换与生产最优条件的结合当交换与生产都不是既定时，经济实现帕累托有效性的条件又是什么？这确实是交换与生产最优条件的结合问题。设所考虑的经济系统为，其中为总资源向量。用表示消费者的效用函数，并假定是强单调的、可微的、同时在各点处的各个一阶偏导数可不能同时全为零。用表示生产者的生产函数，假定在技术有效点附近是可微的，且各