静态场的边值问题

1、第五章 静态场的边值问题静态场边值问题的基本概念分离变量法有限差分法15.1 静态场边值问题的基本概念静电场、恒定电场和恒电磁场都是时不变场，统称静态场。静态场的边值问题：给定某一空间V，其边界为S，已知空间V内源的情况，以及边界S上场的情况，求给定空间内的场。区域内的场满足帕松方程或拉普拉斯方程。边界上的场的情况可由边界条件给出。静态场中的边值问题，都可以归结为在给定的边界条件下，求解泊松方程或拉普拉斯方程。根据唯一性定理，满足给定边值的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一确定的。三类边值：狄里赫利、纽曼和混合边值。2已知场域边界上各点电位值 边值问题框图自然边界条件参考点电位 有限值边值问题微

2、分方程边界条件场域边界条件分界面衔接条件第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件已知场域边界上各点电位的法向导数一、二类边界条件的线性组合，即3求解静态场的边值问题方法有：解析法、数值算法和实验研究法。解析法：用直接或间接方法求出待求位函数在整个域内所满足的函数表达式。如分离变量法、镜像法、格林函数法等。数值计算法：求出一组即满足给定边值、又满足泊松（或拉普拉斯）方程、在各域内各个离散点的函数值的方法。如有限差分法、有限元法等。实验研究法：用实验装置模拟实际的物理场方程及给定边值，并测量出相应的待求函数的函数值的方法，如导电纸模拟法、电解槽模拟法等。4边值问题研究方法计算法实验法作图法解析法

3、数值法实测法模拟法定性定量积分法分离变量法镜像法、电轴法格林函数法保角变换法有限差分法有限元法边界元法矩量法模拟电荷法数学模拟法物理模拟法边值问题研究方法框图55.2 分离变量法 分离变量法是一种最经典的微分方程法，它适用于求解一类具有理想边界条件的典型边值问题 。一般情况下,采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或波动方程的通解，而只有当场域边界与正交坐标面重合或平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。5.2.1 解题的一般步骤： 根据边界的几何形状和场的分布特征选定坐标系，写出对应的边值 问题（微分方程和边界条件）； 分离变量，将一个偏微分方程，分离成几个常微分方程； 解常微分方

4、程，并叠加各特解得到通解； 利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。下面以拉氏方程在直解坐标系、圆柱坐标系和球坐标系的分离变量法为例说明具体的计算过程。65.2.2 直角坐标系中的分离变量法如果待求场域的边界面是平面，而且这些平面相互平行或相互垂直时，可选择直角坐标系。kx,ky,kz称为分离常数。上述三个常系数微分方程的解的形式由分离常数的取值决定。7拉氏方程的通解是所有可能情况的线性组合。双曲函数解的形式:8例5-1一长直金属槽的长度方向上平行于Z轴，其横截面如图5-1所示。其侧壁与底面电位均为0，而顶盖电位分别以（1）（2） 求槽内电位 的解。解 本例是一个矩形域的二维场问

5、题。在直角坐标系下，位函数的边值问题为abyx9代入边界条件代入边界条件10例5-211代入可得12 例5.2.1 图示一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位为 ，金属槽截面为正方形（边长为a），试求金属槽内电位的分布。 解：选定直角坐标系（D域内）（1）（2）（3）（4）(5）边值问题图5.2.1 接地金属槽的截面132) 分离变量代入式（1）有根据 可能的取值，可有6个常微分方程：设称为分离常数,可以取值143）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。图5.2.2 双曲函数15d） 比较系数法：当 时，（D域内）当 时，

6、 满足拉普拉斯方程的通解有无数个，但满足给定边界条件的解是唯一的。16 根据经验也可定性判断通解中能否舍去 或 项。 若 ， 利用 sin 函数的正交性来确定 。等式两端同乘 ，然后从 0到 a对 x积分图5.2.3 接地金属槽内的等位线分布175.2.3 圆柱坐标系中的分离变量法如果待求场域的边界面与圆柱坐标系中某一坐标面一致时，应选择圆柱坐标系。18分离出的三个常微分方程：对于轴对称，B=019Jn(x)和Nn (x)是第一类及第二类贝塞尔函数，在0之间有无数多个零点； In (x)和Kn(x)是虚宗量（或修正）贝塞尔函数，没有实数零点。x0时， Nn (x)和Kn(x)均发散。n阶贝塞尔

7、方程第一类贝塞尔函数第二类贝塞尔函数虚宗量贝塞尔函数虚宗量贝塞尔函数20例5-321代如系数得22例5-4半径为 a 的半无限长金属圆筒，筒底与圆筒壁有很窄的绝缘，圆筒侧壁电位为 0，筒底电位为 ，求圆筒内电位分布。对 z 轴的对称性，位函数 不是坐标变量 的函数解：将圆筒置于圆柱坐标系中，其定解问题可表示为且B 应为 023是零阶贝塞尔函数 的第 m 个根可得电位函数得通解贝塞尔函数的正交性决定系数Am24据贝塞尔第一正交公式应用贝塞尔函数的积分公式左边只有m=i项不为0可得可得电位的解255.2.3 圆球坐标系中的分离变量法如果待求场域的边界是球面或锥面时，应选择圆球坐标系。上式的第三项可

8、分离出:上式的第一、二项可分离出:连带勒让方程欧拉方程26则各分离变量方程的通解为：在电磁场的很多实际总是中，位函数与方位角无关，即m=0,这类场称为子午平面场。在子午平面场中x=cos当场域包括x=+1、-1即z轴, 有：故在子午平面场中，当场域包括z轴, 球坐标系中的拉系方程的通解为：第一类勒让德多项式27例5-5281）选定圆柱坐标,列出边值问题（1）（2）（3）（4）(5）（6） 例1.5.2 在均匀电场 中，放置一根半径为a，介电常数为 的无限长均匀介质圆柱棒，它的轴线与 垂直。柱外是自由空间 。试求圆柱内外电位函数 和电场强度 的分布。 根据场分布的对称性图5.2.4 均匀电场中的

9、介质圆柱棒293）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。当 时，当 时，2）分离变量, 设 代入式（1）得或30根据根据 ， 比较系数得当 时，4）利用给定边界条件确定积分常数。根据场分布对称性当 时，通解中不含 的奇函数项，31解之，得比较系数法：当 时，得当 时， ， 则最终解c）由分界面 的衔接条件，得32 介质柱内的电场是均匀的，且与外加电场E0平行。 因 ， ，所以 。 介质柱外的电场非均匀变化，但远离介质柱的区域，其电场趋近于均匀电场 。 图5.2.5 均匀外电场中介质圆柱内外的电场 335.3 有限差分法 有限差分法（Finite Differential Method）是基于差

10、分原理的一种数值计算法。其基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将求解连续函数 的泊松方程的问题转换为求解网格节点上 的差分方程组的问题。通过求解差分方程组，求出每个节点上的场值。5.3.1 有限差分的网格分割有限差分法步骤：把求解区域划分为网格得出网格节点场值满足的差分方程求解场分方程组有限差分法通常把求解区域划为矩形网格345.3.1 二维泊松方程的差分格式 通常将场域分成足够小的正方形网格,网格线之间的距离为h ,节点0,1,2,3,4上的电位分别用 和 表示。 （3）（1）（2）二维静电场边值问题：5.3.1 有限差分的网格分割35（8）（4）将 和 分别代入式(3),得同理

11、（5）由（4）（5）由（4）+（5）（6）（7）（9）将式（7）、（9）代入式（x0,y0)点的泊松方程，得到泊松方程的五点差分格式当场域中 ，得到拉普拉斯方程的五点差分格式5.3.1 有限差分的网格分割36差分格式为：若场域离散为矩形网格，12上式即为泊松方程或拉氏方程的差分表达式，也叫差分格式，场域中的每一个节点（也叫内点）都有一个与上几式相似的差分方程，边界上的点的电位值为已知值，于是内节点的个数便是差分方程组方程的个数，也是差分方程组未知函数的个数。解这些联立的线性代数方程便可求得内节点上的电位值。37385.3.2 边界条件的离散化处理 3. 第二类边界条件 边界线与网格线相重合的差

12、分格式：2. 对称边界条件1. 第一类边界条件 给边界离散节点直接赋已知电位值。 4. 介质分界面衔接条件 的差分格式合理减小计算场域，差分格式为其中图5.3.2边界条件的离散化处理39介质分界面衔接条件 的差分格式推导：hh01234ab先假设将媒质b换成a ，即全部是均匀的媒质a ,此时对0点应用差分格式，有：再将媒质a换成b ，即全部是均匀的媒质b ,此时对0点应用差分格式，有：根据分界面上矢量位的边界条件，有：其中40例56 图59（a）是一很长的接地金属凹槽，横截面为正方形，上盖与地绝缘且电位为40V，盖与槽之间间隙处为20V。求槽内电位值。解槽中心点电位上两网格中心点 电位为下两网

13、格中心点 电位为当认为内节点足够时重新计算各内点电位第2次、第1次计算的误差为：415.3.3 差分方程组的求解方法1. 高斯赛德尔迭代法式中： 开始计算时先假设各点电位为某一初始值。 迭代顺序可按先行后列，或先列后行进行。 迭代过程遇到边界节点时，代入边界值或边界差分格式，直到所有节点电位满足 为止。 该方法在网络的节点数目很大时，收敛很缓慢。ij4255500000000000001.251.561.640.310.470.531.722.21.930.550.820.691.942.422.030.690.950.742.032.52.060.751.000.772.062.532.08

14、0.771.020.782.082.552.0843式中：加速收敛因子最佳因子的确定与具体总是有关，要凭借经验取值，没有一般规律。根据计算经验，正方形场域由正方形网络划分，每边的节点数若为p+1，最佳收敛因子为：2、超松弛迭代法ij当矩形域正方形网络划分时，若两边分别为ph和qh，且p,q很大，则最佳收敛因子为：44 迭代收敛的速度与 有明显关系： 收敛因子（ ） 1.0 1.7 1.8 1.83 1.85 1.87 1.9 2.0 迭代次数（ N） 1000 269 174 143 122 133 171 发散最佳收敛因子的经验公式：（正方形场域、正方形网格）（矩形场域、正方形网格） 迭代收敛的速度与电位初始值的给定及网格剖分精细有关； 迭代收敛的速度与工程精度要求有 。借助计算机进行计算时，其程序框图如下：45启动赋边界节点已知电位值赋予场域内各节点电位初始值累计迭代次数N=0N=N+1按超松弛法进行一次迭代，求 所有内点 相邻二次迭代值的最大误差是否小于打印 停机NY图5.3.2 迭代解程序框图46上机作业要求：1. 试用超松弛迭代法求解接地金属槽内电位的分布。已知：给定边值：如图示；给定初值误差范围选取计算：迭代次数N=? 分布。已知：给定边值：如图示；给定初值误差范围计算：1.迭代次数N=? 分布； 2.按电位差 画出槽中等位线分布图