中值定理证明方法总结详解

1、（优选）中值定理证明方法总结第一页，共四十四页。一、罗尔( Rolle )定理机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 中值定理 第二页，共四十四页。一、罗尔( Rolle )定理满足:(1) 在区间 a , b 上连续(2) 在区间 (a , b) 内可导(3) f ( a ) = f ( b )使证:故在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m .若 M = m , 则因此在( a , b ) 内至少存在一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三页，共四十四页。若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,不妨设 则至少存

2、在一点使注意:1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,则由费马引理得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四页，共四十四页。使2) 定理条件只是充分的.本定理可推广为在 ( a , b ) 内可导, 且在( a , b ) 内至少存在一点证明提示: 设证 F(x) 在 a , b 上满足罗尔定理 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五页，共四十四页。二、拉格朗日中值定理(1) 在区间 a , b 上连续满足:(2) 在区间 ( a , b ) 内可导至少存在一点使思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然 ,在 a , b 上连续 ,在 ( a ,

3、b ) 内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立 .拉氏 目录 上页 下页 返回 结束 证毕第六页，共四十四页。三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1) 在闭区间 a , b 上连续(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导(3)在开区间 ( a , b ) 内至少存在一点使满足 :要证柯西 目录 上页 下页 返回 结束 第七页，共四十四页。证: 作辅助函数且使即由罗尔定理知, 至少存在一点思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?两个 不一定相同错!机动 目录 上页 下页 返回 结束 上面两式相比即得结论. 第八页，共四十四页。罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒

4、中值定理几个中值定理的关系第九页，共四十四页。证明中值定理的方法辅助函数法直观分析逆向分析例如, 证明拉格朗日定理 :要构造满足罗尔定理条件的辅助函数 .方法1. 直观分析由图可知 , 设辅助函数(C 为任意常数 )第十页，共四十四页。方法2. 逆向分析要证即证原函数法辅助函数第十一页，共四十四页。同样, 柯西中值定理要证即证原函数法设第十二页，共四十四页。* 中值定理的条件是充分的, 但非必要.可适当减弱. 因此例如, 设在内可导,且则至少存在一点使证: 设辅助函数显然在上连续,在内可导,由罗尔定理可知 , 存在一点使即第十三页，共四十四页。* 中值定理的统一表达式设都在上连续 , 且在内可

5、导, 证明至少存在一点使证: 按三阶行列式展开法有第十四页，共四十四页。利用逆向思维设辅助函数显然 F(x) 在a , b 上连续 , 在 (a , b)内可导, 且因此,由罗尔定理知至少存在一点使即第十五页，共四十四页。说明设都在上连续 , 且在内可导, 证明至少存在一点使若取即为罗尔定理;若取即为拉格朗日中值定理;若取即为柯西中值定理;( 自己验证 )第十六页，共四十四页。中值定理的主要应用与解题方法 中值定理原函数的性质导函数的性质 反映反映中值定理的主要应用(1) 利用中值定理求极限(2) 研究函数或导数的性质(3) 证明恒等式(4) 判定方程根的存在性和唯一性(5) 证明有关中值问题

6、的结论(6) 证明不等式第十七页，共四十四页。解题方法:从结论入手, 利用逆向分析法, 选择有关中值定理及适当设辅助函数 .(1) 证明含一个中值的等式或证根的存在 , 常用罗尔定理 ,此时可用原函数法设辅助函数.(2) 若结论中涉及到含一个中值的两个不同函数,可考虑用柯西中值定理 .注：（1） 几个中值定理中最重要、最常用的是: 罗尔中值定理。 （2） 应用中值定理的关键为： 如何构造合适的辅助函数？（难点、 重点）第十八页，共四十四页。(3) 若结论中含两个或两个以上中值 ,必须多次使用中值定理 .(4) 若已知条件或结论中含高阶导数 ,多考虑用泰勒公式 ,有时也可考虑对导数用中值定理 .

7、(5) 若结论为恒等式 ,先证变式导数为 0 , 再利用特殊点定常数 .(6) 若结论为不等式 ,要注意适当放大或缩小的技巧.第十九页，共四十四页。构造辅助函数的方法 (1)不定积分求积分常数法.第二十页，共四十四页。第二十一页，共四十四页。第二十二页，共四十四页。第二十三页，共四十四页。第二十四页，共四十四页。第二十五页，共四十四页。例1. 证明方程有且仅有一个小于1 的正实根 .证: 1) 存在性 .则在 0 , 1 连续 ,且由介值定理知存在使即方程有小于 1 的正根2) 唯一性 .假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件 ,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设机动 目录 上页 下页 返回 结

8、束 5.2 .例题选讲第二十六页，共四十四页。例2.求证存在使设 可导，且在连续，证：因此至少存在显然在 上满足罗尔定理条件,即设辅助函数使得机动 目录 上页 下页 返回 结束 辅助函数如何想出来的？第二十七页，共四十四页。例3. 设函数在内可导, 且证明在证: 取点再取异于的点对在以为端点的区间上用拉氏中值定理得( 界于 与 之间)令则对任意即在内有界.内有界.第二十八页，共四十四页。例4. 设函数在上连续, 在但当时内可导,且求证对任意自然数 n , 必有使分析: 在结论中换 为得积分因所以证: 设辅助函数显然在上满足罗尔定理条件,因此必有使即 不定积分求积分常数法!第二十九页，共四十四页

9、。例5. 设函数在上二阶可导, 且证明至少存在一点使分析: 在结论中将换为得积分证: 设辅助函数因在上满足罗尔定理条件,所以存在使因此在上满足罗尔定理条件,故必存在使即有 不定积分求积分常数法!第三十页，共四十四页。例6. 设在上连续, 在证明存在内可导,且使证: 方法1 .因为所证结论左边为设辅助函数由于上满足拉氏中值定理条件,且易推出所证结论成立 .在第三十一页，共四十四页。方法2 . 令因此可考虑设辅助函数由于在上满足罗尔定理条件,故存在使由此可推得故所证结论成立.常数变易法第三十二页，共四十四页。*例7. 设在上连续, 在证明存在内可导,且使证:转化为证设辅助函数由于它在满足拉氏中值定

10、理条件,即证因此存在使第三十三页，共四十四页。再对转化为证在上用拉氏中值定理 ,则存在使因此第三十四页，共四十四页。*例8. 设在上连续, 在试证对任意给定的正数内可导,且存在证:转化为证因即由连续函数定理可知, 存在使使因此第三十五页，共四十四页。对分别在上用拉氏中值定理 , 得即第三十六页，共四十四页。例10. 设至少存在一点使证: 结论可变形为设则在 0, 1 上满足柯西中值定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 ,使即证明机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三十七页，共四十四页。例11. 试证至少存在一点使证: 法1 用柯西中值定理 .则 f (x) , F(x) 在

11、 1 , e 上满足柯西中值定理条件, 令因此 即分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三十八页，共四十四页。例11. 试证至少存在一点使法2 令则 f (x) 在 1 , e 上满足罗尔中值定理条件,使因此存在机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三十九页，共四十四页。例12. 当 时, 试证证: 设当 时,在上满足拉氏中值定理条件, 因此有解出, 则时第四十页，共四十四页。又因及在单调递增 , 于是 说明: 中值定理只告诉位于区间内的中值存在 , 一般不能确定其值 , 此例也只给出一个最好的上下界 .第四十一页，共四十四页。构造的辅助函数方法举例. 迫切问题： 上面例子中构造的辅助函数如何想出来的？ 作业：将上面例子中所构造的辅助函数自己全部练习构造一遍！第四十二页，共