高中数学圆锥曲线常见题型归纳

1、圆锥曲线常见题型归纳一、基础题 涉及圆锥曲线的基本概念、 几何性质,如求圆锥曲线的标准方程,求准线或渐近线方程, 求顶点或焦点坐标, 求与 a , b , c , e , p 有关的值,求与焦半径或长（短）轴或实 （虚）轴有关的角和三角形面积； 此类题在考试中最常见,解此类题应留意：娴熟把握圆锥曲线的图形结构,充分利用图形来解题；留意离心率与曲线形状的关系；如未指明焦点位置,应考虑焦点在x轴和 y 轴的两种（或四种）情形；留意 a , 2 a , a 2,b 2, b , b 2,c 2, c , c 2,2 p , p , p 2 的区分及其几何背景、显现位置的不同,椭圆中 c 2a 2b

2、2,双曲线中 c 2a 2b 2,离心率 e c a,准线方程 x a 2c；二、定义题 对圆锥曲线的两个定义的考查,与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关,有时要用到圆的几何性质；此类题常用平面几何的方法来解决,需要对圆锥曲线的（两个）定义有深化、细致、全面的理解和把握；常用到的平面几何学问有：中垂线、角平分线的性质,勾股定理,圆的性质,解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式）,当条件是用向量的形式给出时,应由向量的几何形式而用平面几何学问；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理；三、直线与圆锥曲线的关系题写直线方程时,先考虑斜率k 存在,把直线方程设为ykxb的形式,

3、但随后应对斜率 k 不存在的情形作出相应说明,由于 般是验证前面的结论此时是否成立；k 不存在的情形很特别,一联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 x 或消去 y ,得到方程 ax 2bx c 0 或 ay 2by c 0 ,此方程是后一切运算的基础,应确保不出错；当方程或的二次项系数 a 0 时, 方程是一次方程,只有唯独解,不能用判别式, 这种情形是直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行；（过抛物线外一点作与抛物线只有一个公共点的直线有三条,过双曲线含中心的区域内一点（不在渐近线上）作与双曲线只有一个公共点的直线有四条；）当方程或的二次项系数a0时,判别式0 、0、0,与之相对应的

4、是,直线与圆锥曲线分别相离、相切、相交；如直线与圆锥曲线有公共点,应用0 来求斜率 k 的范畴；直线与圆锥曲线相交成弦（前提 a 0,0）,记为 AB ,其中 A x 1y 1 ,B x 2y 2 , AB 的坐标可由方程或求得,一般是由方程求出 x 1, x 2,再代入直线方程求 y 1, y 2,或由方程求出 y 1, y 2,再代入直线方程求 x 1, x 2；涉及弦长问题, 可用韦达定理, 由方程 ax 2bx c 0 求出 x 1 x 2 , x 1 x 2,A x 1y 1 ,B x 2y 2 在直线 y kx b 上,y 1 kx 1 b,y 2 kx 2 b,2 2 2 2y

5、1 y 2 k x 1 x 2 , AB x 1 x 2 y 1 y 2 1 k x 1 x 2 1 k 2 x 1 x 2 2 4 x 1 x 2 1 k 2；a留意 ,假如联立直线和圆锥曲线方程,消去 x ,得到 ay 2by c 0 ,继而用韦达定理,求出 y 1 y 2 , y 1 y 2,x 1 x 2 1 y 1 y 2 , kAB x 1 x 2 2 y 1 y 2 2 1 12 y 1 y 2 2k1 12 y 1 y 24y y 1 12 ；k k a涉及弦中点问题,可用韦达定理,由方程 ax 2bx c 0 求出 x 1 x 2,设弦 A x 1y 1 B x 2y 2 的

6、中点为 M x 0y 0 ,就 x 0 x 1 x 2,M 点也在直2线 y kx b 上,y 0 kx 0 b；假如问题仅仅与弦中点和弦的斜率 k 有关,而不涉及弦长,就可把弦 AB 的坐标 x 1y 1 , x 2y 2 直接代入曲线方程,然后相减,因式分解,所得的式子中只有 x 1 x 2 、 x 1 x 2 、 y 1 y 2 、 y 1 y 2 ,这些都与弦中点坐标和弦的斜率 k 有关；弦AB满意有关的向量的条件,如 OA OB 0（ O 为原点）,就x 1 x 2 y 1 y 2 0,y 1 kx 1 b,y 2 kx 2 b,2 2x 1 x 2 kx 1 b kx 2 b 1

7、k x 1 x 2 kb x 1 x 2 b 0 . 又如过椭圆 x 22 y 22 的右焦点 1F 的直线 l 与该椭圆交于 M N 两点,且F 1MF2M2263,求直线 l 的方程；四、关于圆锥曲线的最值圆锥曲线上的动点到一个定点的距离的最值；设动点的坐标 M x 0y 0 ,用两点间的距离公式表示距离 d ,利用点 M 的坐标 x 0y 0 满意圆锥曲线方程,消去 y （或消去 x ）,把 d 表示成 20 x （或 0y ）的二次函数,由于 x （或 0y ）有一个取值范畴（闭区间或半开半闭区间）,所以问题转化为：求二次函数在闭区间上的最值； 有时须针对二次函数的对称轴与闭区间的关系

8、进行分类 争论；圆锥曲线上的动点到一条定直线的距离的最值；作圆锥曲线与定直线平行的切线,切点即为所求的点,切线与定直线的距离即为所求最值；五、求动点的轨迹方程直接法按求动点轨迹方程的一般步骤求,其过程是建系设点,列出几何等式, 坐标代换, 化简整理,主要用于动点具有的几何条件比较明显时；例 1、已知点A 2 ,0、B3 0,.动点Px,y满意PAPBx2,就点 P 的轨迹为（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线参数法（求曲线的基本方法）如动点 P（x,y）的坐标 x 与 y 之间的关系不易直接找到,就可求出 x、y 关于另一变量的参数方程,再化为一般方程而动点变化受到另一变量的制约,例 2、 过抛物线

9、y22px（p0）的顶点 O 作两条相互垂直的弦OA 、OB ,求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程 .定义法（只求轨迹,不求方程,用几何性质及圆锥曲线定义）动点运动的规律满意某种曲线的定义,就可依据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程此法一般用于求圆锥曲线的方程,在高考中常填空、挑选题的形式显现例 3、一动圆与两圆2 xy21和2 xy28x120都外切,就动圆圆心轨迹为（A ）抛物线（B）圆（C）双曲线的一支（D）椭圆相关点法如动点 M（x,y）依靠已知曲线上的动点N 而运动,就可将转化后的动点N 的坐标入已知曲线的方程或满意的几何条件,从而求得动点 两个或两个以上动点的情形M 的轨迹方程,此法称为代入法,一般用于例 4、如图,从双曲线C:x2y21上一点 Q 引直线l:xy2的垂线,垂足为N ,求线段 QN 的中点 P 的轨迹方程；交轨法 当所求动点 M 恰好为两动曲线的交点并且两曲线随着某参量的变化而变化时,可以选用合 适