高中数学典型例题解析

1、. -任意角三角函数三、经典例题导讲例 1假设 A、B、C 是ABC 的三个角,且ABC CA2,那么以下结论中正确的个数是cosCcotC.tanAtanC.cos.sinAsinC.cotAA1 B.2 C.3 D.4 错解 ：ACsinAsinC,tanAtanC应选 B 错因 ：三角形角对大边定理不熟识,对函数单调性懂得不到位导致应用错误正解 ：法 1 A C 在 ABC 中,在大角对大边,c a , sin C sin A法 2 考虑特别情形,A 为锐角, C 为钝角,故排除 B、C、 D,所以选 A . 例 2 , 角的终边关于 y 轴对称,那么 与 的关系为 . 错解 ：, 角的

2、终边关于 y 轴对称,+ 2 k,k z 2 2错因 ：把关于 y 轴对称片认为关于 y 轴的正半轴对称 . 正解 ：, 角的终边关于 y 轴对称k , k Z 即 2 k , k z 2 2说明 ：1假设 , 角的终边关于 x轴对称,那么 与 的关系为 2 k , k Z 2 假 设 , 角 的 终 边 关 于 原 点 轴 对 称 , 那 么 与 的 关 系 为 2 k 1 , k Z 3假设 , 角的终边在同一条直线上,那么 与 的关系为 k , k Z 3 4例 3 sin , cos,试确定 的象限 . 2 5 2 5错解 ：sin 30 , cos 4 0,是其次象限角,即2 5 2

3、 5 22 k 2 k , k z .2从而 4 k 4 k 2 , k z .故 是第三象限角或第四象限角或是终边在 y 轴负半轴上的角 . 3 4错因 ：导出 是其次象限角是正确的,由 sin 0 , cos 0 即可确定,2 2 5 2 5. . word.zl-. -3 4而题中 sin , cos 不仅给出了符号,而且给出了详细的函数值,通过其值可进2 5 2 5一步确定 的大小,即可进一步缩小 所在区间 . 2 23 4正解 ：sin 0 , cos 0,是其次象限角,2 5 2 5 23 2 3 3又由 sin sin 知 2 k 2 k , k z2 5 2 4 4 234 k

4、 4 k 2 , k z,故 是第四象限角 . 2例 4角 的终边经过 P 4 a 3, a a 0 ,求 sin , cos , tan , cot 的值 . 错解 ：x 4 a , y 3 a , r x 2 y 2 5 a3 a 3 4 a 4 3 a 3 4 a 4sin , cos , tan , cot5 a 5 5 a 5 4 a 4 3 a 3错因 ：在求得 r 的过程中误认为 a 0 正解 ：假设 a 0,那么 r 5 a,且角 在其次象限3 a 3 4 a 4 3 a 3 4 a 4sin , cos , tan , cot5 a 5 5 a 5 4 a 4 3 a 3假设

5、 a 0,那么 r 5 a,且角 在第四象限3 a 3 4 a 4 3 a 3 4 a 4sin , cos , tan , cot5 a 5 5 a 5 4 a 4 3 a 3说明 ：1给出角的终边上一点的坐标,求角的某个三解函数值常用定义求解；2此题由于所给字母a的符号不确定,故要对. a的正负进展争论. . word.zl-例 51为第三象限角,那么2是第象限角,2是第象限角；2假设4 ,那么是第象限角 . 3,kZ解：1是第三象限角,即2 k2k2k22k3,kZ,4 k224k3,kZ4当 k 为偶数时,2为其次象限角当 k 为奇数时,2为第四象限角而 2的终边落在第一、二象限或y

6、轴的非负半轴上2由于34,所以为其次象限角 . 2. . -点评 ：为第一、 二象限角时,为第一、 三象限角,为第三、 四象限角时,为其次、2 2四象限角,但是它们在以象限角平分线为界的不同区域 . 例 6一扇形的周长为 20cm ,当扇形的圆心角 等于多少时,这个扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的半径为rcm,那么扇形的弧长l202rcm. 扇形的面积S1202rrr5 22525cm 22所以当r5cm时,即l10cm ,l2时S maxr点评 ：涉及到最大小值问题时,通常先建立函数关系,再应用函数求最值的方法确定最值的条件及相应的最值 . 例 7 是第三象限角,化简 1 sin

7、 1 sin；1 sin 1 sin2 2解：原式 1 sin2 1 sin2 1 sin 1 sin 2 sin1 sin 1 sin cos cos又 是第三象限角,cos 02 sin所以,原式2 tan；cos点评： 三角函数化简一般要： 1尽可能不含分母； 2尽可能不含根式； 3尽可能使三角函数名称最少； 4尽可能求出三角函数式的值 脱去根式,进展化简 . .此题的关健是如何应用根本关系式例 8假设角满意条件sin20,cossin0,那么在第象限A.一B.二C.三D.四 角在其次象限 .应选 B. 解：sin200sincos0sin0cossincossincos0例 9 cos

8、cos,且tan0. 1试判定sincos的符号；cossincos0. 2试判定lgsincos的符号 . 解：1由题意,1cos0,1sin0sincos0,cossin0,所以sincos0. cossin2由题意知为其次象限角,sincos1,所以lgsin. . word.zl-. -四、典型习题导练1钝角的终边经过点Psin2,sin4,且cos0.5,那么+的值为Aarctan1Barctan1Carctan1D3 4222角 的终边与角 的终边关于y 轴对称,那么 为2 A.-B.-C.2k+1 -kZ D.k - kZ 3.假设 sintg0,k Z,那么角 的集合为A2k2

9、,2k+2 B. 2k2,2kC. 2k2,2k+22 kD.以上都不对4当 0 x时,那么方程 cos cosx=0 的解集为 A.6,5B.3,2C.3D.26335以下四个值 :sin3,cos3,tg3,ctg3的大小关系是 A.cos3tg3ctg3 sine C.cot3tan3cos3sin3 B.sin3cos3 tg3ctg3 D.sin3tan3cos3 cot3 6x0, 2,那么下面四式 : 中正确命题的序号是. + 2kz其中终边一样的是sinxxtgx sincosxcosxcossinx sin3x+cos3x1 cossinxsincosxcosx 7有以下四组

10、角：1k+ 2；2k- 2；32k 2；4-kA.1和2 B.1、2和3 C.1、2和4 D.1、2、3和4 8 假 设 角 的 终 边 过 点 sin30 ,-cos30 , 那么 sin 等 于 记忆口诀A. 1 2B.1 2C.3 2 D.3余弦3角函数正弦2ksincos函数名不变sin cos2 sincos符号看象限sin cos sincos. . word.zl-. -cos sin 22cossin函数名不变 cos sin符号看象限32 cossin32诱导公式可将“ 负角正化,大角小化,钝角锐化. 3诱导公式解决常见题型1求值：一个角的某个三角函数,求这个角其他三角函数；

11、2化简：要能求值那么求值,次数、种类尽量少,尽量化去根式,尽可能不含分母 . 二、疑难学问导析 1三角变换的常见技巧“1” 的代换；sincos,sincos,sincos三个式子,据方程思想知一sin21；2 cos可求其二由于其间隐含着平方关系式2在进展三角函数化简和三角等式证明时,细心观看题目的特点,敏捷恰当地选用公式,一般思路是将切割化弦.尽量化同名,同次,同角；.在利.3角的某个三角函数值,求角的其余 5 种三角函数值时,要留意公式的合理挑选用同角公式中的平方关系并要开方时,要依据角的围来确定符号,常要对角的围进展争论解决此类问题时,要细心求证角的围. 三、典型例题导讲例 1sinc

12、os1,（0,）,就cot_ 1,得. word.zl-5错解 ：两边同时平方,由sincos12与sincos255sincos2sin22sincos2 cos4 sincossincos24 sincos49sincos7255sin4,cos3,进而可求cot.解得：cot3554或sin3,cos4,进而可求cot.解得：cot4553错因 ：没有留意到条件0,时,由于sincos0所以sincos的值为正而导致错误. 正解：sincos1,（0,）,5. . -12 1两边同时平方,有 sin cos 0 与 sin cos 联立,25 54 3 3求出 sin,cos,cot5

13、5 4例 2假设 sinA=asinB,cosA=bcosB,A 、B 为锐角且 a1,0b 1,求 tanA 的值sin A a sin B a错解 ：由 得 tan A= tan B cos A b cos B b错因 ：对题目最终要求懂得错误.不清晰最终结论用什么代数式表示正解 ：由 sin A a sin B 2+ 2 得 a 2sin 2B+b 2cos 2B=1 cos A b cos B2 2 2a 1 1 b 1 bcos 2B= 2 2sin 2B= 2 2tan 2B= 2a b a b a 11 b 2B 为锐角 tan B= 2a 1 得 tan A= a tan B=

14、b ab 1a 2 b 21例 305 年高考卷假设函数 f x 1 cos 2 x a sin x cos x 的最大值为 2,试4 sin x 2 22确定常数 a 的值 . 2解 : f x 2 cos xa sin xcos x4 cos x 2 21 acos x sin x2 2214 a4 sin x , 其中角 满意 sin1 1a 22由已知有 1 a 4 .4 4解之得 , a 15 .点评 ：本试题将三角函数“,诱导公式有机地溶于式子中,考察了同学对根2底学问的把握程度,这就要求同学们在学习中要脚踏实地,狠抓根底 . 例 405 年高考卷 tan =2 ,求21 tan

15、的值；26sin cos的值4 3sin 2cos. . word.zl-. -解：1 tan2=2, tan12 tan22214 3; 61 7；17. 14tan 22所以tan4tantan4tan1=4 31 41tantan1tan432由 I, tan= 4 , 所以 6sin 3 3sincos=6tan 3tan1 2=4 34 32cos326点评 ：此题设计简洁明白,入手简洁,但对两角和与差的三角函数、同角间的根本关系式要求娴熟应用,运算精确. = 6=7 9例 5化简：sin4 n1cos4 n1nz 44错解 ：原式sinn4cosn4sin4cos4sin24cos

16、4cos4cos40错因 ：对三角函数诱导公式不完全懂得,不加争论而导致错误. 正解 ：原式sinn4cosn41当n2k1 kz,时原式sin k4+cos k4sin4cos4cos4cos4=0 2当n2kkz,时原式sin k4+cos k4sin4+cos4=0 例 605 年高考卷假设sin61,那么cos2233A7B1C1D79339sin2错解 ：cos22=cos32=cos32=123. word.zl-. . -错因 ：诱导公式应用符号错. 1 25,.正解 ：cos22=cos323=cos32= 1+2sin26= 7 .应选 A. 9例 7 05 年高考卷2x0,

17、sinxcosx1. 51求 sinx cosx 的值；2求3 sin2x2sinxcos x2cot xcos 2x的值 . 222tanx解法一 ：1由sinxcosx1,平方得sin2x2sinxcosxcos2x5即2sinxcosx24.sinxcosx212sinxcosx49.25257又2x0 ,sinx0,cosx0,sinxcosx0 ,故sinxcosx523sin2xsinx 2cosxcos2x2sin2xsinx12222 xx7 5.cotsincosxtanxxcosxsinxsinxcosx2cosxsinx1221108255125解法二 ：1联立方程sin

18、xcosx1,5sin2cos2x1.由得sinx1cosx ,将其代入,整理得252 cosx5cosx12,05cosx3或cosx4.2x0,sinx43,故sinxcos555cosx.523sin2xsinx 2cosx2 cosx222. word.zl-cottanxx2sin si2xsinx12 xcosxcosxsinx. . -sinxcosx2cosx3sinx 34241085555125点评 ：本小题主要考察三角函数的根本公式、学问,以及推理和运算才能 . 三角恒等变换、 三角函数在各象限符号等根本例 81 化 简 ：sec sin22 1csc cos2 21 +

19、cos 2 csc 2 12 设 sin + 2= 4,且 sin2 0 求 sin ,t ansin 2 cos 2解 ： 原 式 =tan 2cot 2 +cos2 csc 2=cos 2+sin 2+cos 2csc 2=1+cot 2=csc 2 1 12 解 ： 由 sin + 2 =-4 cos =- 4 sin2 0 2k 2 2k+ k 0 的图像与x 轴在原点右侧的第一个交点为6,0,又 f2+x=f2 x,f00,求这个函数的解析式. 解：f2+x=f2-x fx关于 x=2 对称,又 x 轴在原点右侧的第一个交点为N6,0T =6-2=4 ,即 T=16 ,42=8. T将 N6,0代入 fx=sin8x+得： sin3+=0,4得：=2k+4或=2k+5kZ, 4f00,=2k+5kZ,满意条件的最小正数=5, 44所求解析式fx=sin8x+5. 4例 8 ABC 的周长为 6,BC,CA,AB 成等比数列,求1 ABC 的面积 S的最大值；2BABC的取值围 . 1, 3. word.zl-解设BC,CA,AB 依次为 a,b,c,那么 a+b+c=6 ,b2=ac,由余弦定理得cosBa2c2b2a2c2ac2 aca