随机变量的数字特征市公开课获奖课件

1、第三章 随机变量的数字特征第1页第1页 在第二章讨论知道，离散型随机变量变化规律由其概率分布完全描述，连续型随机变量由其密度函数完全描述。但在实际应用中，概率分布或密度函数获得通常是困难。另一方面，在应用中，有时并不需要知道概率分布或密度函数，而只需知道该随机变量某些特性。 比如，为了对某市高一学生某门课考试成绩作分析，普通并不需要所有学生考试成绩，而只需知道每所学校平均成绩，或者各所学校成绩相对于平均成绩偏离程度，有了这些指标，就能够作横向和纵向比较。这里平均成绩就是学生成绩这一随机变量特性。 用以刻画随机变量某方面特性量，称为随机变量数字特性。 惯用数字特性：数学盼望、方差、矩、众数、中位

2、数、协方差、相关系数。第2页第2页第一节 随机变量数学盼望例1 某工厂生产一批产品，一等品占50%，二等品占40%，次品占10%。假如生产一件次品，工厂要损失 1元钱，生产一件一等品，工厂取得2元钱利润，生产一件二等品，工厂取得 1 元钱利润。假设生产了大量这样产品，问工厂每件产品取得盼望利润是多少？设X表示每件产品取得利润，则它是随机变量，其概率分布为解：第3页第3页解：假设工厂一共生产了N件产品，其中一等品 n1件，二等品 n2件，次品 n3件这N 件产品取得平均利润为或者写为第4页第4页而在大量重复试验下当N无限增大时，频率稳定值即为概率，因此，每件产品平均利润将趋近于或者说，假如工厂生

3、产了大量该产品，可盼望每件产品取得1.3元利润。数值1.3称为随机变量X数学盼望或均值。第5页第5页 一、离散型随机变量数学盼望第一节 随机变量数学盼望定义 设离散型随机变量 概率分布为：若 绝对收敛，则称 为随机变量 数学盼望或均值，记为 ，即 注： 度量了随机变量 取值加权平均！ 为权重！第6页第6页第一节 随机变量数学盼望例 甲乙二人射击，X：甲击中环数；Y：乙击中环数。他们命中环数分布律分别为试问哪一个人射击水平较高?第7页第7页 二、连续型随机变量数学盼望定义 设离散型随机变量 概率分布为：若 ，则称 为随机变量 数学盼望或均值。离 散连 续概率密度函数定义 设随机变量 密度函数为

4、, 若 绝对收敛，则称 为随机变量 数学盼望或均值，记为 第8页第8页例3.3 设随机变量 密度函数为求 数学盼望 。解 由连续型随机变量数学盼望定义，有第9页第9页 三、随机变量函数数学盼望定理 设 为随机变量， 为实函数，为求 数学盼望，能够不必通过求 概率分布（离散）或密度函数（连续），而只需直接利用 概率分布或密度函数。若 绝对收敛，则 存在，且（1）设 为离散型随机变量，概率分布为（2）设 为连续型随机变量，密度函数为 ，若 则 存在，且绝对收敛，第10页第10页解 解 例3.4 设随机变量 概率分布为求例3.5 对例3.3中随机变量 ，求第11页第11页 四、数学盼望性质（1）若

5、，则 ，尤其地（3）（2）（4）第12页第12页第二节 随机变量方差 有也许产品寿命均集中在9501050小时！ 有也许二分之一产品寿命集中在700小时，另二分之一产品寿命集 中在1300小时！ 对随机变量 ，知道了它数学盼望 ，即使对该随机变量有了一定理解，但还不够！ 例：为评估一批灯泡质量好坏，从某种路径已知其平均寿命为1000小时，即 ，但不能完全必定质量好坏！质量稳定！质量相对不稳定！ 有必要找一个量，能够度量随机变量 相对于 偏离程度。第13页第13页 什么量，能够度量随机变量 相对于 偏离程度？不能！是随机变量不能！（正负偏差互相抵消）不便于计算！定义 设随机变量 数学盼望为 ，则

6、称 为随机变量 方差，记为 ，或 ，并称 为 原则差。 第14页第14页 方差计算： 考虑到方差事实上为随机变量函数数学盼望： ，因此 若 为离散型随机变量，概率分布为 ，则 若 为连续型随机变量，概率密度函数为 ，则 在诸多场合，计算方差经惯用到下列公式：第15页第15页 方差性质： （1） （2） （3）例3.6 设随机变量 密度函数为解 由例3.3结果，求 方差第16页第16页例3.7 对任意随机变量 ，设 ，令 ，求 解 称 为 原则化 ，它是一个无量纲随机变量，将原分布中心 移至原点，且方差为1个单位。第17页第17页 证 例3.8 对随机变量 ，设 存在 ，令 ，证实当 时， 达到

7、最小值，且最小值为因此当 时， 达到最小值，且最小值为第18页第18页第三节 惯用分布数学盼望和方差 一、惯用离散型分布数学盼望和方差退化分布：离散型随机变量 只取常数 ，即 ，2. 0-1分布：离散型随机变量 概率分布为因此因此第19页第19页3. 个点上均匀分布：4. 二项分布：离散型随机变量 概率分布为 ，即离散型随机变量 概率分布为因此第20页第20页则第21页第21页5. 几何分布：随机变量 概率分布为6. 超几何分布：随机变量 概率分布为第22页第22页（证实略）7. 泊松分布：随机变量 概率分布为第23页第23页 二、惯用连续型分布数学盼望和方差均匀分布：密度函数为连续型随机变量

8、 服从区间 上均匀分布，则而从而第24页第24页2. 指数分布：连续型随机变量 服从参数为 指数分布，密度函数为则而从而第25页第25页3. 正态分布： 则数学盼望为随机变量 ， 其密度函数为 （令 ）第26页第26页 方差为 （令 ）第27页第27页 惯用离散型分布数学盼望和方差 分布名称 概率分布 数学盼望 方差 退化分布 0-1分布 个点均匀分布 二项分布 几何分布 超几何分布 泊松分布第28页第28页 惯用连续型分布数学盼望和方差 分布名称 密度函数 数学盼望 方差 均匀分布 指数分布 正态分布第29页第29页第四节 随机变量矩和切比雪夫不等式 一、矩 矩是数学盼望和方差推广，在数理统计中有主要应用。定义：对随机变量 ，设 为正整数，假如 存在 即为数学盼望 。 即为方差 。定义：对随机变量 ，设 为正整数，假如 存在， 则称 为 阶中心矩。 （即 ），则称 为 阶原点矩。第30页第30页 矩计算： 则（1）若 为离散型随机变量，概率分布为（2）若 为连续型随机变量，密度函数为 ，则第31页第31页 二、切比雪夫不等式定理：对随机变量 ，设 均存在，则对任意 ， 有 或者切比雪夫不等式 切比雪夫不等式给出了随机变量对其数学盼望绝对偏差概率预计。 不等式表明， 越