数值积分和数值微分(3)课件

1、关于数值积分与数值微分 (3)第一张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月4.1 引言若函数f(x)在区间a,b上连续且其原函数为F(x),则可用Newton-Leibnitz公式求定积分的值 求得定积分 Newton-Leibnitz公式无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的实际问题极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中经常遇到以下三种情况：第二张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月(1) 被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的有限形式表示的原函数F(x).例如： Newton-Leibnitz公式就无能为力了(2)

2、 被积函数f(x)能用初等函数表示, 并不复杂, 但积分后其原函数F(x)表达式却很复杂. 例如积分后其原函数F(x)为： 第三张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月(3) 被积函数f(x)没有具体的解析表达式, 其函数 关系由表格或图形表示. 对于这些情况, 要计算积分的准确值都是十分困难的. 由此可见, 通过原函数来计算积分有它的局限性, 因而研究一种新的积分方法来解决Newton-Leibniz公式所不能或很难解决的积分问题,这时需要用数值解法来建立求积分的近似计算方法.第四张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月 4.1.1 数值求积的基本思想 积分值 在几何上可以解释为由x

3、=a,x=b,y=0以及y=f(x)这四条边所围成的曲边梯形面积.如图4-1所示，而这个面积之所以难于计算是因为它有一条曲边y=f(x) 图4-1 数值积分的几何意义 第五张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月建立数值积分公式的途径比较多, 其中最常用的有两种：（1）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分区间a,b内存在一点，使得即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为 的矩形面积.第六张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月但是点的具体位置一般是未知的, 因而 的值也是未知的, 称 为f(x)在区间a,b上的平均高度.那么只要对平均高度 提供一种算法，相应地就获

4、得一种数值求积方法第七张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月三个求积分公式y=f(x)yabab(a+b)/2按照这种思想，可构造出一些求积分值的近似公式:例如xy=f(x)ab梯形公式 取则得到梯形公式:(4.1)第八张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月三个求积分公式aby 取y=f(x)xab则得到中矩形公式:中矩形公式(4.2)第九张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月三个求积分公式 取则得到Simpson公式:y=f(x)yab(a+b)/2abx(4.3)第十张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月梯形公式把f(a), f(b)的加权平均值 作为平均高度f()

5、的近似值. 中矩形公式把a,b 的中点处函数值 作为平均高度f()的近似值. Simpson公式是以函数f(x)在a, b, 这三点的函数值f(a), f(b), 的加权平均值 作为平均高度f()的近似值.第十一张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月更一般地，可以在区间a,b上适当选取某些节点xk， 然后用f(xk)的加权平均作为平均高度f()的近似值,这样构造出来的求积公式具有下列形式： 其中xk 称为求积节点; Ak称为求积系数,也称为伴随节点xk的权.注: Ak仅仅与节点xk有关,而不依赖于被积函数f(x).(4.4)第十二张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月例4.1 设积

6、分区间a, b为0, 2，取 时, 分别用梯形、中矩形公式和Simpson公式计算其积分结果并与准确值进行比较 解:积分公式分别为第十三张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月 f(x) 1 x x2 x3 x4 ex 准确值 2 2 2.67 4 6.40 6.389 中梯形公式计算值 2 2 4 8 16 8.389 矩形公式计算值 2 2 2 2 2 5.436 Simpson公式计算值 2 2 2.67 4 6.67 6.421 从表中可以看出,当f(x)为 时, Simpson比梯形公式和中矩形公式更精确.第十四张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月定义4.1 如果某个求积

7、公式对于次数不大于m的多项式均能准确的成立,但对于m+1次多项式就不一定准确，则称该求积公式具有m次代数精度.从而验证求积公式的代数精度时,只需验证该求积公式对是否成立即可. 4.1.2 代数精度的概念注：由于次数不大于m的多项式可以表示为第十五张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月例4.2 验证梯形公式的代数精度.练习4.1 验证中矩形公式和Simpson公式的代数精度.第十六张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月取f(x)=1时， 两端相等 取f(x)=x时, 取f(x)=x2 时, 两端不相等 故梯形公式具有1次代数精度. 两端相等 第十七张，PPT共一百二十页，创作于202

8、2年6月一般地, 欲使求积公式(4.4)具有m次代数精度, 只要令它对于 都能准确成立, 这就要求第十八张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月这是关于 的线性方程组，其系数矩阵是范得蒙矩阵, 当互异时非奇异, 故 有唯一解. 如果事先选定求积节点xk, 取m=n, 此时有第十九张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月例4.3 试确定一个至少具有2次代数精度的公式 解: 要使公式具有2次代数精度,则对f(x)=1,x,x2 求积公式准确成立，即得如下方程组解之得 所求公式为： 第二十张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月例4.4 试确定求积系数A,B,C 使 具有最高的代数精度所

9、得求积公式为：对于f(x)=1,x,x2,x3都准确成立,对于f(x)=x4 就不准确了，所以此求积公式具有 3 次代数精度.解:分别取f(x)=1,x,x2 使求积公式准确成立,即 得如下方程组第二十一张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月 例4.5 给定求积公式试确定求积系数A-1, A0 ,A1, 使其有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度解：令求积公式对f(x)=1, x, x2准确成立，则有第二十二张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月解之得其代数精度至少为2,将f(x)=x3代入求积公式两端相等,而将将f(x)=x4代入求积公式两端不相等,所以其代数精度为3次第二十三张

10、，PPT共一百二十页，创作于2022年6月（2）先用某个简单函数 近似逼近f(x), 用 代替原被积函数f(x)，即 要求：函数 应对f(x)有充分的逼近程度,并且容易计算其积分.由于多项式能很好地逼近连续函数,且又容易计算积分,因此将 选取为插值多项式, 这样f(x)的积分就可以用其插值多项式的积分来近似代替 以此构造数值算法.第二十四张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月4.1.3 插值型的求积公式设已知f(x)在节点 有函数值作n次拉格朗日插值多项式 式中 这里 多项式Ln(x)易于求积,所以可取 作为 的近似值，即 第二十五张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月其中 称为求

11、积系数.插值型求积公式 (4.5)第二十六张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月设插值求积公式的余项为 ,由插值余项定理得 其中 当f(x)是次数不高于n的多项式时，有从而插值型求积公式(4.5)至少具有n次代数精度.定义4.1 求积公式 其系数 时，则称求积公式为插值求积公式. 第二十七张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月定理4.1 n+1个节点的求积公式至少有n次代数精度的充要条件是它是插值型的.第二十八张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月必要性： 若求积公式至少具有n次代数精度,则对n次多项式精确成立,即而取 时所以有 ,即求积公式为插值型求积公式 第二十九张，PP

12、T共一百二十页，创作于2022年6月4.2 Newton-Cotes公式4.2.1 Cotes系数 在插值求积公式中,当所取节点是等距时称为Newton-Cotes公式其中 插值多项式 求积系数 这里 是插值基函数, 即有 (4.6)第三十张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月将积分区间a,b 划分为n等分, 作变量代换 当 时,有 于是可得 步长求积节点为为了计算系数Ak, 由于所以第三十一张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月从而其中第三十二张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月代入插值求积公式(4.6)有 称为Newton-Cotes求积公式, 称为Cotes系数 (2

13、)显然, 是不依赖于积分区间a,b以及被积函数f(x)的常数,只要给出n,就可以算出Cotes系数.(1)容易验证 注(4.7)第三十三张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月当n=1时 当n=2时 梯形公式Simpson公式TS第三十四张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月P82 表4.1给出了n从18的Cotes系数当n=4时 Cotes公式C当n = 8时，出现了负系数，从而影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式. 第三十五张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月Newton-Cotes公式柯特斯系数n1 1/2 1/2 2 1/6 4/6 1/63 1/8 3/8 3

14、/8 1/8 4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90 5 下面分别考虑几种特殊请况.第三十六张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月4.2.2 偶阶求积公式的代数精度定理4.2 当n为偶数时, Newton-Cotes公式(4.7)至少有n+1次代数精度.n阶Newton-Cotes公式至少具有n次代数精度Simpson公式(二阶Newton-Cotes公式)具有3次代数精度梯形公式(一阶Newton-Cotes公式)具有1次代数精度第三十七张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月4.2.3 几种低阶求积公式的余项 在Newton-Cotes求积公式中n=1,2,4时

15、，就分别得到下面的梯形公式、Simpson公式和Cotes公式(1)梯形公式 当n=1时，Newton-Cotes公式就是梯形公式 梯形公式的误差: 设f(x)在a,b上具有连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为第三十八张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月证:由插值型求积公式的余项 其中 可知梯形公式的误差为 由于(x-a)(x-b)在a,b中不变号, 在a,b上连续,根据积分中值定理 ,在a,b上存在一点，使 因此 第三十九张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月（2）Simpson公式 当n=2时, Newton-Cotes公式就是Simpson公式（或称抛物线公式） Si

16、mpson公式的误差：设f(x)在a,b上具有连续的4阶导数，则Simpson公式的误差为 第四十张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月（3）Cotes公式 当n=4时，Newton-Cotes公式为 Cotes公式的误差:设在f(x)a,b上具有连续的6阶导数，则Cotes公式的误差为 第四十一张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月例4.6 分别用梯形公式、Simpson公式和Cotes公式计算定积分 的近似值，并与准确值进行比较.(1) 用梯形公式计算 (2) 用Simpson公式 第四十二张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月(3) 用Cotes公式计算，系数为 积分的

17、准确值为 可见，三个求积公式的精度逐渐提高 第四十三张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月4.2.4 复化求积法及其收敛性 由梯形、Simpson和Cotes求积公式余项可知，随着求积节点数的增多，对应公式的精度也会相应提高.但由于n8时的Newton-Cotes公式开始出现负值的Cotes系数.根据误差理论的分析研究,当积分公式出现负系数时,可能导致舍入误差增大,并且往往难以估计.因此不能用增加求积节点数的方法来提高计算精度.在实际应用中,通常将积分区间分成若干个小区间,在每个小区间上采用低阶求积公式,然后把所有小区间上的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式,这就是复化求积公式的基本

18、思想.常用的复化求积公式有复化梯形公式和复化Simpson公式. 第四十四张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月然后将它们累加求和,用 作为所求积分I的近似值(1) 复化梯形公式及其误差将积分区间a,b划分为n等份,步长求积节点为 在每个小区间 上应用梯形公式 求出积分值第四十五张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月记 (4.8)复化梯形公式 第四十六张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月 设f(x)在a,b上有连续的二阶导数,在子区间 上梯形公式的余项已知为 在a,b上的余项 第四十七张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月设 在a,b上连续，根据连续函数的介值定理知，

19、存在 ，使 因此,余项 复化梯形求积算法实现 复化梯形公式计算步骤 确定步长h=(b-a)/N(N为等分数),T=0 对k=1,2,N-1，计算T=T+f(a+kh) T=hf(a)+2T+f(b)/2第四十八张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月复化梯形公式的流程图 第四十九张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月(2) 复化Simpson公式及其误差将积分区间a,b划分为n等份,记子区间 的中点为 在每个小区间上应用Simpson公式，则有 记 (4.9)复化Simpson公式 第五十张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月 类似于复化梯形公式余项的讨论，复化Simpson公

20、式的余项为 复化Simpson求积算法实现复化辛卜生公式计算步骤 确定步长h=(b-a)/N, S1=f (a+h/2), S2=0 (N为等分数 ) 对k=1,2,N-1,计算 S1= S1+f (a+kh+h/2), S2= S2+f (a+kh) S =hf(a) +4S1+ 2 S2+ f (b)/6 第五十一张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月复化辛卜生公式流程图 第五十二张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月 如果把每个子区间 四等分,内分点依次记为 同理可得复化Cotes公式 求积余项为 (3) 复化Cotes公式及其误差(4.10)第五十三张，PPT共一百二十页，

21、创作于2022年6月例4.7 分别用n=8的复化梯形公式、n=4的复化 Simpson公式计算定积分 解:首先计算出所需各节点的函数值,n=8时， 由复化梯形公式(4.8)可得如下计算公式： 第五十四张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月由复化Simpson公式(4.9)可得如下计算公式（积分准确值I=0.9460831） 这两种方法都需要提供9个点上的函数值，计算量基本相同，然而精度却差别较大，同积分的准确值（是指每一位数字都是有效数字的积分值）比较，复化梯形法只有两位有效数字(T8=0.9456909),而复化Simpson公式有六位有效数字.第五十五张，PPT共一百二十页，创作于2

22、022年6月例4.8 用复化梯形公式计算定积分 才能使误差不超过 解:取 ,则 ,又区间长度b-a=1，对复化梯形公式有余项 即 ,n212.85，取n=213，即将区间0,1分为213等份时，用复化梯形公式计算误差不超过 问区间0,1应分多少等份第五十六张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月 复化求积公式的余项表明，只要被积函数f(x)所涉及的各阶导数在a,b上连续，那么复化梯形公式、复化Simpson公式与复化Cotes公式所得近似值的余项和步长的关系依次为因此当h0 (即n)时, 都收敛于积分真值，且收敛速度一个比一个快. 第五十七张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月现在考

23、虑当h很小时误差的渐进性态:对复化梯形公式,由余项公式有从而当 时有下列渐进关系式第五十八张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月类似地, 对复化Simpson公式和复化Cotes公式,有定义4.2 如果一种复化求积公式In,当 时成立渐进关系式则称求积公式In是p阶收敛的.注: 复化梯形公式、Simpson公式和Cotes公式分别具有2阶、4阶和6阶收敛性.第五十九张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月当h很小时, 三种公式分别有下列误差估计式：从而若将步长h减半(即等分数n加倍), 则复化梯形公式、Simpson公式和Cotes公式的误差分别减至原有误差的第六十张，PPT共一百二

24、十页，创作于2022年6月4.3 Romberg算法 复化求积方法对于提高计算精度是行之有效的方法，但复化公式的一个主要缺点在于要先估计出步长.若步长太大，则难以保证计算精度，若步长太小，则计算量太大，并且积累误差也会增大.在实际计算中通常采用变步长的方法，即把步长逐次分半，直至达到某种精度为止.第六十一张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月4.3.1梯形法的递推化 变步长复化求积法的基本思想是在求积过程中，通过对计算结果精度的不断估计，逐步改变步长(逐次分半)，直至满足精度要求为止.即按照给定的精度实现步长的自动选取. 第六十二张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月 设将积分区间

25、a,bn等分，即分成n个子区间，一共有n+1个节点，即xk=a+kh,k=0,1,，n,步长 .对于某个子区间 ,利用梯形公式计算积分近似值有对整个区间a,b有第六十三张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月将子区间 再二等分,取其中点作新节点,此时区间数增加了一倍为2n,对某个子区间 ,利用复化梯形公式计算其积分近似值 .对整个区间a,b有 比较 和 有(4.11) (4.11)式称为变步长梯形公式 第六十四张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月 当把积分区间分成n等份，用复化梯形公式计算积分I的近似值 时，截断误差为 若把区间再分半为2n等份，计算出定积分的近似值 ，则截断误差为

26、 当 在区间a,b上变化不大时,有 所以 第六十五张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月 可见,当步长二分后误差将减至原来的 将上式移项整理，可得验后误差估计式 上式说明，只要二等份前后两个积分值 和 相当接近，就可以保证计算结果 的误差很小，使 接近于积分值I. (4.12) 第六十六张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月变步长的梯形求积算法实现（1）变步长的梯形求积法的计算步骤 变步长梯形求积法.它是以梯形求积公式为基础，逐步减少步长，按如下递推公式求二分后的梯形值其中Tn和T2n分别代表二等分前后的积分值 如果 , (为给定的误差限 ) 则T2n作为积分的近似值, 否则继续进

27、行二等分, 即转 再计算，直到满足所要求的精度为止，最终取二分后的积分值T2n 作为所求的结果 第六十七张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月（2）变步长梯形公式的流程图 第六十八张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月例4.9 用变步长梯形求积法计算定积分解: 先对整个区间0,1用梯形公式,对于 所以有 然后将区间二等分,由于 故有 进一步二分求积区间,并计算新分点上的函数值 第六十九张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月有 这样不断二分下去，计算结果如P88列表所示.积分的准确值为0.9460831，从表中可看出用变步长二分10次可得此结果. 第七十张，PPT共一百二十页，

28、创作于2022年6月变步长梯形求积法算法简单，但精度较差，收敛速度较慢，但可以利用梯形法算法简单的优点，形成一个新算法，这就是龙贝格求积公式.龙贝格公式又称逐次分半加速法. 4.3.2 Romberg公式第七十一张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月根据积分区间分成n等份和2n等份时的误差估计式可得 所以积分值 的误差大致等于 ,如果用 对 进行修正时， 与 之和比 更接近积分真值,所以可以将 看成是对 误差的一种补偿,因此可得到具有更好效果的式子. 第七十二张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月考察 与n等分Simpson公式 之间的关系.将复化梯形公式 梯形变步长公式 代入 表

29、达式得 故 这就是说，用梯形法二分前后两个积分值 和 作线性组合，结果却得到复化Simpson公式计算得到的积分值 . 第七十三张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月再考察Simpson法.其截断误差与 成正比，因此，如果将步长折半，则误差减至 ，即有 由此可得 可以验证,上式右端的值其实等于Cn，就是说，用Simpson公式二等分前后的两个积分值Sn和S2n作线性组合后，可得到Cotes公式求得的积分值Cn，即有 (4.14) 第七十四张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月用同样的方法，根据Cotes公式的误差公式，可进一步导出Romberg公式 (4.15) 在变步长的过程中运

30、用(4.13)、(4.14)和(4.15)，就能将粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度较高的Simpson值Sn、Cotes值Cn和Romberg值Rn ；或者说，将收敛缓慢的梯形值序列Tn加工成收敛迅速的龙贝格值序列Rn，这种加速方法称为Romberg算法(Romberg公式). 第七十五张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月4.4.3 龙贝格求积法算法实现龙贝格求积法计算步骤用梯形公式计算积分近似值按变步长梯形公式计算积分近似值 将区间逐次分半,令区间长度 计算 按加速公式求加速值 梯形加速公式： 辛卜生加速公式： 龙贝格求积公式： 第七十六张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月 精

31、度控制；直到相邻两次积分值 （其中为允许的误差限）则终止计算并取Rn作为积分 的近似值，否则将区间再对分，重复 ， 的计算，直到满足精度要求为止. 第七十七张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月例4.16 用Romberg算法计算定积分 要求相邻两次Romberg值的偏差不超过解:由题意第七十八张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月第七十九张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月由于 ，于是有 第八十张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月梯形加速公式： Simpson加速公式： Cotes加速公式： 第八十一张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月前面的加速过程还可以

32、继续下去，其理论依据是梯形法的余项可以展成下列级数形式. 4.3.3 Richardson外推加速法定理4.3. 设 则成立其中系数 与h无关. (4.16) 注：此处I为积分的准确值,T(h)即为Tn,即T(h)= Tn,则 第八十二张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月将(4.16)和(4.17)作线性组合消去误差的主要部分h2项，即 按式(4.16),有(4.17) 其中系数 与h无关.(4.18) 注：比较(4.18)和(4.13): 知 这样构造出的T1 (h)为Simpson序列,则(4.19) 第八十三张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月将(4.19)和(4.20)

33、作线性组合消去误差的主要部分h4项，即 同理根据式(4.19),有(4.20) 其中系数 与h无关.(4.21) 注：比较(4.21)和(4.14): 知 这样构造出的T2 (h)为Cotes序列，则(4.22) 第八十四张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月如此下去,每加速一次,误差的量级便提高二阶.一般地,记T0 (h)= T(h)，经过m次加速后，(4.23) 余项(4.24) Richardson外推加速法第八十五张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月一般地,记T0 (h)= T(h)，按如下公式进行递推设以 表示k次二分后求得的梯形值 T数表可以证明，如果f(x)充分光滑

34、，那么T数表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分值I.即第八十六张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月Richardson外推加速法算法实现计算步骤准备初值,计算 ,且令k=1；求梯形值.按照递推公式 计算梯形值 求加速值.按照加速公式逐个求出T数表第k+1行其余各元素 精度控制.对于制定精度 若 则停止计算，否则令k=k+1,转继续计算. 第八十七张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月例4.10 用Richardson外推加速法计算定积分 要求相邻的偏差不超过第八十八张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月第八十九张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月由于 ，于是

35、有 第九十张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月4.4 Gauss公式4.4.1 Gauss点 在前面建立Newton-Cotes公式时，为了简化计算，对插值公式中的节点限定为等分的节点，然后再定求积系数，这种方法虽然简便，但求积公式的精度受到限制.我们已经知道，过n+1个节点的插值形求积公式至少具有n次代数精度，我们不仅要问，是否存在具有最高代数精度的求积公式呢？若有，最高代数精度能达到多少呢？让我们先看一个例子： 第九十一张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月在构造形如 的两点公式时,如果限定求积节点,那么所得插值求积公式 （4.25） 的代数精度仅为1.第九十二张，PPT共一

36、百二十页，创作于2022年6月中的系数 和 节点都不加限制，那么就可适当选取 和 ,使所得公式的代数精度 .事实上，若要使求积公式(4.25)对函数 都准确成立，只要 和 满足方程组 但是,如果对式(4.25)第九十三张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月解之得 代入(4.13)即得 (4.26)可以验证，所得公式（4.26）是具有3次代数精度的插值型求积公式.这个例子告诉我们，只要适当选择求积节点，可使插值型求积公式的代数精度达到最高.这就是本节要介绍的Gauss求积公式.第九十四张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月同理，对于一般的插值求积公式 （4.27） 只要适当地选取其2

37、n+2个待定参数 xk 和 ,就可使它的代数精度达到2n+1次. 定义4.3 若插值求积公式（4.27）具有2n+1次代数精度，则称之为Gauss求积公式，并称相应的求积节点 为Gauss点. 可以证明，n+1个节点的Gauss求积公式具有最高不超过2n+1次的代数精度，这就是我们所要讨论的具有最高代数精度的插值型求积公式. 第九十五张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月Gauss求积公式的构造与应用 像构造两点Gauss求积公式(4.17)一样,对于插值型求积公式(4.27), 分别取用代定系数法来确定参数xk和从而构造n+1个点Gauss求积公式.但是，这种做法要解一个包含2n+2个

38、未知数的非线性方程组，其计算工作量是相当大的.第九十六张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月定理4.4：对于插值型求积公式其节点xk(k=0,1,.,n)是Gauss点的充要条件，是以这些点为零点的多项式对任意次数不超过n的多项式P(x)均正交，即（4.28） 注：由定理4.4可知,如能找到满足公式(4.28)的n+1次多项式 ,则求积公式的高斯点就确定了，进而就可确定相应的高斯求积公式.第九十七张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月一个较简单的方法是：先利用区间a,b上的n+1次正交多项式确定高斯点 (2) 然后利用高斯点确定求积系数 为简单起见, 对求积公式(4.18)的求积区

39、间a,b转换成-1,1的形式，作变换 就可将求积区间a,b变换到-1,1上，这时 第九十八张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月即有 其中 因此不失一般性,在下面的讨论中取a=-1,b=1. 第九十九张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月定义4.4 一个仅以区间-1,1上的Gauss点 为零点的n+1次多项式称为Legendre多项式. 4.4.2 Gauss- Legendre公式第一百张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月一点高斯-勒让德求积公式（n=0)若取L1(x)=x的零点x0=0做节点构造求积公式令其对f(x)=1 准确成立，则有：A0=2，得到一点高斯-勒让德求

40、积公式第一百零一张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月两点高斯-勒让德求积公式（n=1)若取L2(x)= (3x2-1)/2的零点 做节点构造求积公式令其对f(x)=1, x准确成立，则有得到两点高斯-勒让德求积公式解得A0=1, A1=1,第一百零二张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月同理可以求得三点高斯-勒让德求积公式如下：高斯-勒让德求积公式节点和系数见书中表4.5.第一百零三张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月定理4.5 对于Gauss公式，其余项为4.4.3 Gauss公式的余项第一百零四张，PPT共一百二十页，创作于2022年6月例4.17 利用三点高斯求积公式计算 的近似值. 解:由表4.5可