数学物理方法分离变量法市公开课获奖课件

1、本章中心内容用分离变量法求解各种有界问题第二章 分离变量法 我把数学当作是一件故意思工作,而不是想为自己建立什么纪念碑。能够必定地说, 我对别人工作比自己更喜欢。 我对自己工作总是不满意。-拉格朗日 1第1页第1页本章基本要求掌握有界弦自由振动解及其物理意义着重掌握分离变量法解题思绪、 解题环节及其关键问题-本征值问题2第2页第2页分离变量法关键：本章考虑问题（1）混合问题（2）边值问题本章层次：3偏微分方程常微分方程齐次方程+齐次边界条件非齐次方程+齐次边界条件非齐次方程+非齐次边界条件第3页第3页分离变量法思绪起源物理上由乐器发出声音能够分解为各种不同频率单音，每种单音振动时形成正弦曲线，

2、能够表示成42.1 齐次方程问题特点：含两个变量函数能够表示为两个分别只含一个变量函数之积。第4页第4页这个定解问题特点是：偏微分方程是线性奇次，边界条件也是奇次。研究两端固定弦自由振动定解问题解：这是解分离变量泛定方程：边界条件：初始条件：5研究两端固定弦自由振动定解问题（第一类齐次边界条件）由前面思绪，设第5页第5页 x, t 是互相独立变量（求非零解）1、分离变量代入方程中，分离过程：得出两个常微分方程： 代入边界条件：6第6页第6页高数中结论：2、求解本征值问题7若有二阶常系数线性齐次方程其中p、q为常数，则特性方程为第7页第7页 本方程特性方程r2+=0，由上面结论知，方程解与不同取

3、值相关，分情况讨论：8(1) (2) 此时X（x）=0，只有零解，不合题意； 同样只有零解，不合题意；第8页第8页C2是积分常数9非零解(3)则X（x）一族非零解为 上解称为满足边界条件固有解（特性解），称为固有值（特性值），sin函数称为固有函数（特性函数）。第9页第9页固得到下面一族解：A、B 是积分常数3、解出时间函数，得到一族解时间函数解10解方程 n=1,2,3 第10页第10页代入初始条件，有 普通情况下满足不了，怎么办？！利用叠加原理！114、通过初始条件，求出通解第11页第11页此时要满足初始条件，则 12第12页第12页则定解问题最后解为13第13页第13页5、物理意义：是驻

4、波，（固有振动模式）相邻节点之间距离等于半波长 波长=节点数n+1 ,位置 lnlnnlnlx,)1(,2,0-= 14第14页第14页15本征频率lnavlannn22,=pwpw n=1时,1lapw=基频基波（决定了音调） n1时lannpw=谐频谐波（决定了音色） 波腹波节第15页第15页（4）拟定级数解中待定常数（利用初始条件）6、 分离变量法概要：（1）将偏微分方程化简为常微分方程（U=XT)（2）拟定固有值和固有函数（利用边界条件）（3）拟定形式解（级数形式解）16第16页第16页17例：求解（第二类齐次边界条件）解：设第17页第17页18此时边界条件为：相应特性值问题为： 此时

5、X（x）=0，只有零解，不合题意；(1) 第18页第18页19 同样只有零解，不合题意；(2)非零解(3)第19页第19页20则特性解为将特性值代入T（t）方程，解出则u（x，t）特解族为第20页第20页同样很难满足初始条件，由叠加原理得 21此时要满足初始条件，有 第21页第21页22故定解问题最后解为第22页第22页2.2 有限长杆上热传导23第23页第23页24第24页第24页25此特解仍然很难满足初始条件，由叠加原理得级数解为第25页第25页26由初始条件有 第26页第26页2.3 二维拉普拉斯方程定解问题 （1）圆域 由于边界形状是个圆周，圆域边界条件中x、y是不可直接分离，故化为极

6、坐标求解。27第27页第27页28第28页第28页第一步：求满足齐次方程、周期边值条件和原点约束条件变量分离形式解29第29页第29页30周期本征值问题欧拉方程第30页第30页第二步：求解周期本征值问题和欧拉方程31第31页第31页依据叠加原理，得到级数解32第32页第32页第三步：利用边界条件利用傅立叶级数系数求解公式33第33页第33页欧拉方程 常系数线性微分方程附录： 欧拉方程34第34页第34页欧拉方程算子解法: 35第35页第35页则由上述计算可知: 用归纳法可证 于是欧拉方程 转化为常系数线性方程:36第36页第36页 （2）矩形域37第37页第37页38第38页第38页39叠加后

7、级数解为第39页第39页40第40页第40页泛定方程边界条件本征值问题本征值本征函数 k=1,2,3 k=0,1,2,3 41k=0,1,2,3 k=0,1,2,3 第41页第41页422.4 非奇次方程解法 研究一根弦在两端固定情况下，受逼迫力作用所产生振动现象。 即考虑下列定解问题：第42页第42页43 怎么办？！ 很明显现在不能直接用前面变量分离起手式进行分解，由于等式右边非齐次尾巴没办法处理！ 现在情况下，弦振动和两个原因相关，一是外力，二是初始状态。 有否经历过类似情景？是否有可借鉴类似情况？第43页第43页44 借用结论： 这里我们用一招移花接木！ 全响应=零输入响应+零状态响应

8、零输入=初始状态引起振动，与外力无关； 零状态=外力引起振动，与初始状态无关第44页第44页45 设解为：初始状态原因（零输入）外力原因（零状态）第45页第45页46 （零输入响应） （ 零状态响应）第46页第46页47 对V（x，t），可直接用前面变量分类法求出：第47页第47页48 对W（x，t），如何求？第48页第48页49第49页第49页50第50页第50页51第51页第51页52 设解法二第52页第52页53第53页第53页54第54页第54页55 原方程解为：第55页第55页56 例 在环形域 内求解下列定解问题解由于求解区域是环形区域，因此改选取平面极坐标系，利用直角坐标与极坐标

9、系之间关系第56页第56页57将上述定解问题用极坐标表示出来： 利用上节求出圆域拉普拉斯方程本征函数，设解为第57页第57页58 代入方程并整理得到：比较两端系数可得第58页第58页59再由边界条件得通解为：求解得第59页第59页60特解有因此有代入边界条件有原定解问题解为第60页第60页612.5 非齐次边界条件处理设有定解问题 边界条件非齐次，若用前面办法分离变量，由边界条件没有办法得到只与某个常微分方程相关详细边界函数值。 怎么办？！第61页第61页62想办法把边界条件化为齐次！设法作一代换将边界条件化为齐次，令因此要求选取W(x,t)使V(x,t)边界条件化为齐次，即第62页第62页6

10、3 普通这样函数是很容易找到，最简朴如选取关于x线性函数： 代入w（x，t）要满足边界条件，可求出：第63页第63页64此时关于V定解问题为因此只要做下列代换，V将满足齐次边界条件。第64页第64页65其中关于V（x，t）问题即前述非齐次方程、齐次边界条件问题。第65页第65页66 当边界条件不同时，方法一致（关键在与w（x，t）选取），W（x，t）形式不同。惯用最简朴w（x，t）形式第66页第66页67通过上式能够求出W（x）形式。注：若f，u1，u2都与t无关，则可选取W（x）（与t无关）， 使V（x，t）同时满足齐次方程和齐次边界条件，此时 W（x）需满足：第67页第67页68此时u（x

11、，t）=V（x，t）+W（x），则V（x，t）满足第68页第68页69例1：求形式解，其中A,B均为常数。解：令代入方程有第69页第69页70通过二次积分即边界条件求得：则V方程为：第70页第70页71利用分离变量法，带齐次边界方程解为利用第二个初始条件代入第一个初始条件有即第71页第71页72由傅里叶系数公式可得因此，原定解问题解为：第72页第72页73例2 求定解问题其中b,u1均为常数。解：令代入方程有第73页第73页74分解为两个方程（零输入响应）（零状态响应）第74页第74页75对于问题（I），能够直接采用分离变量法求解。代入有由边界条件有由此得到下面两个常微分方程第75页第75页76易求得特性值和特性函数为：代入含T方程有第76页第76页77它通解为从而问题（I）解可表示为其中Cn由初始条件拟定为第77页第77页78故所求解V（1）(x,t）为对于问题（II），能够用特性函数法求解，将方程自由项及解都按特性函数系来展开。第78页第78页79其中vn(t)满足由此可解得第79页第79页80从而问题（II）解为原方程解为第80页第80页本章小结分离变量法关键：偏微分方程常微分方程（1）基础齐次方程+齐次边界条件（直接变量分离法求解