数学建模数模排队论课件

1、排队论 罗清雨XPXk 设随机变量X所有可能的取值为0,1,2, 而取各值的概率为:k0, 1, 2, (0)定义:泊松定理 设随机变量XnB(n, p), (n0, 1, 且n很大，p很小，记=np，则2,),注: 1.)泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布泊松分布的应用较广.例如:在一定时间间隔内某电话交换台收 的呼唤次数.一天内到某商店去的顾客数.到用户一定时间内某放射性物质放射的质点数.某医院在一天内的急诊病人数.例.用步枪向某一目标射击,每次击中目标 的概率为0.001,今射击6000次,试求至少有 两弹击中目标

2、的概率.方法二.用泊松定理作近似计算,例 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险， 不少于60000元的概率不低于90%，赔偿金至多可设为多少？(2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润问： (1)保险公司亏本的概率有多大？为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率解: 设X表示一年内死亡的人数，则XB(n, p), 1 (7.75)= 0;= 1PX120 (1) PY0 = P1000012-1000X60000=P1000012-aX60000（2）设赔偿金为a元，则令由中心极限定理,上式等价于=PX60000/a0.9;排

3、队论（随机服务系统理论，是研究系统拥挤现象和排队现象的学科）排队论的应用范围：工业上：原材料的供应，产品的销售，多机床的看管，工具收发，仓库管理等服务行业，食堂，商店，修配服务网点，银行，邮局等合理地确定规模。军事上，组织武器和军事基地的分布，新武器的研制等。“顾客-攻击目标”，“服务-向目标开火”，“服务完毕-击落目标”。排队论的特性与共性排队系统：为了获得服务而到达的顾客，若不能立即获得而又允许排队等候的话，就加入等候队伍，并在获得服务之后离开系统。因顾客来的时间和受服务时间是不确定的，所以它是个随机服务系统。包括顾客输入，排队和服务三个过程。输入过程： 在输入流中，应用最广泛、最易处理的

4、是最简单流。 定长输入：顾客有规则地按等距时间到达,每隔a时间到达一个。设顾客相继到达时间间隔为t，它的分布函数记为 如产品通过传送带进入包装箱。最简单流（泊松Poisson流）令N(t)表示0到t时刻顾客到达的总数，它满足以下四个条件：平稳性：在区间(a,a+t)内有k个顾客到来的概率Vk(t)与a无关，只与t,k有关。无后效性（独立性）：在区间内有个顾客到来的概率与时刻a以前的情况无关。普通性：在同一时间瞬间内不可能有两个顾客同时到达。有限性：任意有限区间内到达有限个顾客的概率为1。因而 对这样的最简单流，长为t的时间内到达k个顾客的概率Vk(t)服从泊松分布，即 式中 为一常数，叫平均到

5、达率。 2,排队规则：指“顾客”按怎样的规定次序接受服务 根据有没有排队与等待，分三种情况： 损失制：当一个顾客到时，若所有服务机构被占用，该顾客就自动消失，永不再来。如敌机经过防空系统时没被击落，就消失了。 等待制：当顾客到达时，若所有服务机构被占用，顾客就排队等候服务。先到先服务。后到先服务。存入仓库的东西，常常后放先取。随机服务。多个服务台时。优先权服务。强占服务。救火车，救护车，长途电话的抢线通话。混合制：是损失制与等待制的混合。对长度有限制的情况。等待时间有限制的情况。顾客在系统中逗留时间有限制的情况。服务机构是在指同一时刻内有多少服务设备可接纳顾客，对每一顾客服务了多少时间。假设服

6、务时间具有指数分布，则对各个顾客的服务时间是相互独立的，且具有相同的指数分布，即式中 为一常数，表示单位时间内平均的被服务人数，即平均服务率。指数分布的特点：服务开始后，服务结束得较快 的概率很大，服务时间很长的概率很小。顾客已被服务过一段时间，还需继续服务的时间与已服务的时间无关。2三。排队论的应用实例：1.在损失制系统中常用到下列已经推导过的公式：（1）服务系统中有k个服务设备被占用的概率： (1)式中的 为到达率与服务率之比，又叫通行率。（2）所有服务设备都空闲的概率 ： (2)式中的n是服务设备总数。(3)顾客因服务设备没空而离去的概率（损失率）Pn： (3)(4)平均忙着的服务台数E

7、(k)： (4)例1 某问讯处共有n台电话机，可以同时供n个顾客通话，设顾客呼唤为最简单流，呼唤率 =3次/分钟，通话时间平均值为每半分钟3次，服务率 次/分钟，求1)电话打不通的概率（损失率）不大于5%时所需要的电话台数n.2)需要几个话务员？由公式（3）得：可由数学软件解出n=4下面讨论这4台电话机的利用率：由公式（1）设备都空闲:P0=0.369由公式(3)平均忙着的台数:E(k)=0.98利用率：0.98/4=0.245这就是说平均有3/4时间电话机是空闲的，因而不需要配备4个接话员。因设备没空顾客离开的概率：例2：某加油站有3名服务员，过往车辆到加油站,如发现服务员没空就会离去，已知

8、车辆到达率每小时36辆，一辆汽车的平均服务时间为5分钟，服务率 辆/时，则通行率 ，求损失顾客可能性的大小，应如何改善服务系统。解：由公式（3）得车辆损失的概率：这说明到加油站的每100辆车中有35辆没经服务而离去。再分析一下3名服务员都空闲的概率：由公式（2）：由公式（4）得平均工作的人数：可见服务员的利用率2.2/3=0.733,说明 利用率高，又有35%的损失率，所以有条件的话，可以添加服务员。(2)等待制系统设有n台服务设备，m个顾客，顾客流为最简单流，服务时间为指数分布。已推出以下结论：当mn时，有k台设备占用的概率：全部设备都空闲的概率：（6）（7）平均对长： （8）空闲设备台数的数学期望： （9） 服务设备利用率:例3。 关于多机床看管问题，顾客就是故障机床，服务是调整机床，设顾客流是最简单流，服务时间具有